క.సా.గు & గ.సా.భా 

* రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల సామాన్య కారణాంకాల్లో మిక్కిలి చిన్నదాన్ని వాటి 'కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజం' (క.సా.గు.) అంటారు.
* రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల సామాన్య కారణాంకాల్లో మిక్కిలి పెద్దదాన్ని వాటి 'గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం' (గ.సా.భా.) అంటారు.
* రెండు సంఖ్యల లబ్ధం వాటి గ.సా.భా., క.సా.గు.ల లబ్ధానికి సమానం.
* రెండు సహ ప్రధాన సంఖ్యల గ.సా.భా 1 అవుతుంది.

భిన్న రూపంలో 
 

      
 

* క.సా.గు., గ.సా.భా.లను లెక్కించడానికి రెండు పద్ధతులు ఉన్నాయి.
         1. ప్రధాన కారణాంకాల పద్ధతి
         2. భాగహార పద్ధతి
ఉదా: 48, 60 ల క.సా.గు., గ.సా.భా.లను కనుక్కోండి.
సాధన:
i) మొదటి పద్ధతి: ఇచ్చిన సంఖ్యలను ప్రధాన సంఖ్యల లబ్ధంగా రాయాలి.
       48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 24 × 3
       60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 22 × 3 × 5
       క.సా.గు. = 2⁴ × 3 × 5 = 16 × 3 × 5 = 240
       గ.సా.భా. = 2² × 3 = 4 × 3 = 12
ii) రెండో పద్ధతి:

క.సా.గు. = 2 × 3 × 2 × 2 × 2 × 5 = 240
గ.సా.భా. = పెద్ద సంఖ్యను చిన్న సంఖ్యతో భాగించాలి. ఈ పద్ధతిలో భాజకాలను వచ్చిన శేషాలతో వరుసగా శేషం సున్నా వచ్చేదాకా భాగించాలి. చివరి భాజకం ఇచ్చిన సంఖ్యల గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం అవుతుంది.

 కాబట్టి 48, 60 ల గ.సా.భా. 12 అవుతుంది.

మాదిరి ప్రశ్నలు

1. 112, 140, 168 లతో భాగించగల కనిష్ఠ సంఖ్య ఏది?
      ఎ) 1680       బి) 1780       సి) 1880       డి) 1580
జవాబు: ఎ

     క.సా.గు.= 2 × 2 × 2 × 7 × 2 × 5 × 3 = 1680
 

2. రెట్టింపు చేసినప్పుడు 12, 18, 21, 30 లతో నిశ్శేషంగా భాగించగల కనిష్ఠ సంఖ్య ఏది?
      ఎ) 196       బి) 630       సి) 1260       డి) 2520
జవాబు: బి

క.సా.గు. = 2 × 3 × 2 × 3 × 7 × 5 = 1260
కావాల్సిన సంఖ్య =   = 630
 

3. ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యను 12, 15, 20, 54 లతో భాగిస్తే ప్రతిదానిలో 8 శేషం వస్తుంది?
      ఎ) 504       బి) 536       సి) 544       డి) 548
జవాబు: డి

         
    క.సా.గు. = 2 × 3 × 5 × 2 × 9 = 540
    కావాల్సిన సంఖ్య = 540 + 8 = 548
 

4. ఏ కనిష్ఠ సంఖ్య నుంచి 7 ను తీసివేస్తే 12, 16, 18, 21, 28 లతో నిశ్శేషంగా భాగితమవుతుంది?
      ఎ) 1008       బి) 1015       సి) 1022       డి) 1032
జవాబు: బి

క.సా.గు. = 2 × 3 × 7 × 2 × 4 × 3 = 1008
కావాల్సిన సంఖ్య = 1008 + 7 = 1015
                        తీసివేస్తే అన్నప్పుడు +
                         కలిపితే అన్నప్పుడు -
 

5. 16, 20, 24 లతో భాగించగల కనిష్ఠ వర్గం ఏది?
      ఎ) 1600       బి) 3600       సి) 6400       డి) 14400
జవాబు: బి

 

                  
                        = 240
పై కారణాంకాలను జతలుగా చేసి, మిగిలిన వాటిని క.సా.గు.తో గుణించాలి.
కావాల్సిన సంఖ్య = 240 × 5 × 3 = 3600
 

6. ఆరు గంటలు ఒకే కాలంలో మోగడం ప్రారంభించి, 2, 4, 6, 8, 10, 12 సెకన్లకు ఒకేసారి మోగుతాయి. 30 నిమిషాల్లో అన్ని గంటలు ఎన్నిసార్లు ఒకే సమయంలో మోగుతాయి?
      ఎ) 4       బి) 10       సి) 15       డి) 16

జవాబు: డి

క.సా.గు. = 2 × 2 × 3 × 2 × 5 = 120 సెకన్లు 120
నిమిషాలు =  = 2 ని||
కావాల్సింది = 

 + 1 = 16 సార్లు
 

7. రెండు సంఖ్యల క. సా. గు 48, వాటి మధ్య నిష్పత్తి 2 : 3 అయితే పెద్ద సంఖ్య ఏది?
      ఎ) 16       బి) 24       సి) 32       డి) 40
జవాబు: బి
సాధన:
కావాల్సిన సంఖ్యలు 2x, 3x అనుకుంటే వాటి క. సా. గు.  6x = 48
 x =  = 8
 పెద్ద సంఖ్య 3x = 3 × 8 = 24
 

8. 12, 15, 18 లతో నిశ్శేషంగా భాగించగల 5 అంకెల చిన్న సంఖ్య ఏది?
      ఎ) 10010       బి) 10015       సి) 10020       డి) 10080
జవాబు: డి

   క.సా.గు. = 3 × 2 × 2 × 5 × 3 = 180
   5 అంకెల చిన్న సంఖ్య = 10000

180 - 100 = 80
* కావాల్సిన సంఖ్య = 10000 + 80 = 10080
 

9. 480, 450, 120 లను భాగించే గరిష్ఠ సంఖ్య ఏది?
      ఎ) 30       బి) 45       సి) 90       డి) 120
జవాబు: ఎ
సాధన: పెద్ద సంఖ్యను చిన్న సంఖ్యతో భాగించాలి.

10. ఏ గరిష్ఠ సంఖ్యతో 47, 67, 107 లను భాగిస్తే ప్రతిదానిలో శేషం 7 వస్తుంది?
      ఎ) 15       బి) 20       సి) 25       డి) 30
జవాబు: బి
సాధన: ముందు అన్నింటిలోంచి 7 తీసేసి, గ.సా.భా. కనుక్కోవాలి.
             
 కావాల్సిన సంఖ్య = 20
 

11. రెండు సంఖ్యల క.సా.గు. 1320, వాటి గ.సా.భా. 12. అందులో ఒకటి 132 అయితే మరో సంఖ్య ఎంత?
      ఎ) 120       బి) 150       సి) 90       డి) 180
జవాబు: ఎ
సాధన: రెండు సంఖ్యల లబ్ధం = క.సా.గు. × గ.సా.భా.
132 × x = 1320 × 12

x = 120
 

12. 15, 25, 40, 75 లతో భాగించగల 4 అంకెల పెద్ద సంఖ్య ఏది?
      ఎ) 9000       బి) 9400       సి) 9600       డి) 9800
జవాబు: సి

 క.సా.గు = 5 × 3 × 5 × 8 = 600
4 అంకెల పెద్ద సంఖ్య = 9999

* కావాల్సిన సంఖ్య = 9999 - 399 = 9600

3, 9, 81, 27 ల క.సా.గు.
క.సా.గు. = 3 × 3 × 3 × 3 = 81


14. రెండు సహ ప్రధాన సంఖ్యల లబ్ధం 117 అయితే వాటి క.సా.గు. ఎంత?
      ఎ) 1       బి) 117      సి) వాటి H.C.F. కు సమానం       డి) లెక్కించలేం
జవాబు: బి
సాధన: రెండు సహ ప్రధాన సంఖ్యల గ.సా.భా. ఎల్లప్పుడు 1కి సమానం
రెండు సంఖ్యల లబ్ధం = క.సా.గు. × గ.సా.భా.
117 = x × 1
_.._.  x = 117
 

15. రెండు సంఖ్యల లబ్ధం 4212, గ.సా.భా. 9 అయితే అందుకు సాధ్యమయ్యే సంఖ్యల జతను కనుక్కోండి.
జ: 36, 117
 

16. రెండు సంఖ్యల లబ్ధం 1320, వాటి గ.సా.భా. 6 అయితే ఆ సంఖ్యల క.సా.గు. ఎంత?
జ: 220
 

17. 26, 56, 104, 182 ల క.సా.గు. ఎంత?
జ: 728
 

18. ప్రతిసారి శేషం 2 వచ్చే, 42, 142 లను భాగిస్తే వచ్చే మిక్కిలి పెద్దసంఖ్య కిందివాటిలో ఏది?
జ: 20
 

19. 7, 10, 15, 21, 28 లతో నిశ్శేషంగా భాగించగల అయిదంకెల గరిష్ఠ సంఖ్య ఏది?
జ: 99960