• facebook
  • whatsapp
  • telegram

పూర్ణ సంఖ్య‌లు

ముఖ్యాంశాలు

 1, 2, 3, 4... లను లెక్కించడానికి ఉపయోగిస్తారు. కాబట్టి ఈ సంఖ్యలను లెక్కించే సంఖ్యలు (Counting numbers) అంటారు. వీటినే సహజ సంఖ్యలు (Natural numbers) అని కూడా అంటారు.

సహజ సంఖ్య సమితిని N తో సూచిస్తారు.

N = {1, 2, 3, 4...}

 0 తో ఉన్న సహజ సంఖ్యలను పూర్ణాంకాలు అంటారు.

పూర్ణాంకాల సమితిని W తో సూచిస్తారు.

W =  {0, 1, 2, 3, 4...}
పూర్ణసంఖ్యలు: ధన సంఖ్యలు, రుణ సంఖ్యలు, సున్నాను (0) కలిగి ఉన్న సమితిని పూర్ణసంఖ్యల సమితి అంటారు. దీన్ని Z లేదా I తో సూచిస్తారు.

Z = {.... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3....}

ధన పూర్ణ సంఖ్యలు: 1, 2, 3, 4... అనే సహజ సంఖ్యలను ధనపూర్ణ సంఖ్యలు అంటారు. వీటిని  Z+ లేదా I+ తో సూచిస్తారు.

Z= {1, 2, 3, 4...} = N = ధన పూర్ణ సంఖ్యల సమితి

రుణ పూర్ణ సంఖ్యలు: -1, -2, -3, -4... లను రుణపూర్ణ సంఖ్యలు అంటారు. వీటిని Z- లేదా I- తో సూచిస్తారు.

Z= {-1, -2, -3, -4...} 
 

​​​​​​​ 0 అనేది ధనాత్మకం, రుణాత్మకం రెండూ కాదు.

​​​​​​​ {0, 1, 2, 3, 4...} అనే సమితిని రుణేతర పూర్ణ సంఖ్యలు (Set of non-negative integers) అంటారు.

​​​​​​​ {-0, -1, -2, -3, -4...} అనే సమితిని ధనేతర పూర్ణ సంఖ్యలు (Set of non-positive integers) అంటారు.


మాదిరి ప్రశ్నలు

1. కింది అంశాలను జతపరచండి.

i) 97 + 39 a) −58
ii) 97 + (−39) b) −136
iii) (−97) + 39 c) 136
iv) (−97) + (−39)  d) 58

1) i-c, ii-a, iii-d, iv-b

2) i-c, ii-d, iii-a, iv-b

3) i-d, ii-c, iii-b, iv-a

4) i-d, ii-b, iii-c, iv-a
 

సాధన: i) 97 + 39 = 136 = c
ii) 97 + (−39) = 97 − 39 = 58 = d
iii) (−97) + 39 = −97 + 39 = −58 = a
iv) (−97) + (−39) = −97 − 39 = − 136 = b      

సమాధానం: 2

2. 50 − (−48) − (−2) −120 ను సూక్ష్మీకరిస్తే వచ్చే విలువకు సమానమైన విలువ.....

1) 40        2) 30        3) 20        4)10


సాధన: 50 − (−48) − (−2) − 120
= 50 + 48 + 2 − 120
= 100 − 120 = −20 

సమాధానం: 3

3. 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + ... + 99 − 100 = ...

1) 50       2) 100       3) 50        4) 100


సాధన: 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + ... + 99 − 100 =
= (1 − 2) + (3 − 4) + (5 − 6) + ... + (99 − 100)
= (−1) + (−1) + (−1) + ... + (−1) (50 సార్లు)
= 50 × (−1) = −50
 

సమాధానం: 1

4. ఒక పరీక్షలో ప్రతి సరైన జవాబుకు (+4) మార్కులు, తప్పు సమాధానానికి (-2) మార్కులు ఇచ్చారు. సౌమ్య అన్ని ప్రశ్నలకు జవాబులు రాస్తే, 32 కరెక్ట్‌ అయ్యాయి. ఆమెకు వచ్చిన మార్కులు 102 అయితే సౌమ్య పరీక్షలో తప్పుగా గుర్తించిన జవాబులు ఎన్ని?

1) 15    2) 14     3) 13    4) 12


సాధన: ప్రతి సరైన జవాబుకు పొందే మార్కులు = +4

తప్పు జవాబుకు పొందే మార్కులు = -2

సరైన జవాబులు రాసిన ప్రశ్నల సంఖ్య = 32

తప్పు జవాబులు రాసిన ప్రశ్నల సంఖ్య = X అనుకోండి

సౌమ్య పొందిన మార్కులు = 102

⇒  32 x (+4) + X  x (−2) = 102

⇒ 128 − 2X = 102
⇒ 128 − 102 = 2X
⇒ 2X = 26

⇒ X = 26/2 = 13

 తప్పుగా జవాబులు రాసిన ప్రశ్నల సంఖ్య = 13

సమాధానం: 3

5. కశ్మీర్‌లో మధ్యాహ్నం 12 గంటల సమయంలో  12C ఉష్ణోగ్రత ఉన్నట్లు గుర్తించారు. ఉష్ణోగ్రత ప్రతి గంటకు 1.2​​​​​​​o C చొప్పున తగ్గుతూ ఉంటే ఎన్ని గంటలకు ఉష్ణోగ్రత 0​​​oC  కంటే 6​​​oC తక్కువగా ఉంటుంది?

1) 10 pm     2) 11 pm    3) 2 am    4) 3 am


సాధన: కశ్మీర్‌లో మధ్యాహ్నం 12 గంటల సమయంలో ఉష్ణోగ్రత = 12C

X గంటల తర్వాత ఉష్ణోగ్రత = 0​​​oC  కంటే 6​​​oC తక్కువ

⇒ 12 − x × 1.2 = −6
⇒ 12 + 6 = x × 1.2 ⇒ 18 = 1.2x

సమయం = మధ్యాహ్నం 12 గం.  + 15 గంటలు

            = ఉదయం 3 గం. = 3.00 am           

సమాధానం: 4

6. కిందివాటిలో పూర్ణసంఖ్యల్లో సంకలన స్థిత్యంతర ధర్మం ఏది?

1) 13 + 0 = 0 + 13 = 13

2) (10 + 12) + 13 = 10 + (12 + 13)

3) 5 × (6 + 7) = 5 × 6 + 5 × 7

4) 13 + 17 = 17 + 13


సాధన: 

1) 13 + 0 = 0 + 13 = 13 (సంకలన తత్సమ ధర్మం)

2) (10 + 12) + 13 = 10 + (12 + 13) (సంకలన సహచర ధర్మం)

3) 5 × (6 + 7) = 5 × 6 + 5 × 7 (గుణకార విభాగన్యాయం సంకలనంపై)

4) 13 + 17 = 17 + 13 (సంకలన స్థిత్యంతర ధర్మం)

సమాధానం: 4

7. ఒక సిమెంట్‌ కంపెనీకి ఒక్కో తెల్లబస్తా సిమెంట్‌పై రూ.11 లాభం, బూడిద రంగు బస్తాపై రూ.7 నష్టం చొప్పున వచ్చాయి. ఒక నెలలో 8000 తెల్ల సిమెంట్‌ బస్తాలు, 6000 బూడిద రంగు సిమెంట్‌ బస్తాలు అమ్మితే, ఆ నెలలో పొందిన లాభ నష్టాలు ఎంత?

1) రూ.46,000 లాభం   2) రూ.48,000 లాభం

3) రూ.44,000 నష్టం   4) రూ.38,000 నష్టం

సాధన: ఒక్కో తెల్ల సిమెంట్‌ బస్తాపై లభించే లాభం = రూ.11

8000 తెల్ల బస్తాల సిమెంట్‌పై లభించిన లాభం = రూ.8000 x 11 = రూ.88,000

ఒక్కో బూడిదరంగు సిమెంట్‌ బస్తాపై వచ్చే నష్టం = రూ.7

6000 బూడిద రంగు సిమెంట్‌ బస్తాలపై వచ్చిన నష్టం = రూ.6000 x 7 = రూ.42,000

లభించిన లాభం > లభించిన నష్టం

(రూ.88000)  (రూ.42000)

సిమెంట్‌ కంపెనీ నికర లాభం 

= రూ.88000 - రూ.42000 = రూ.46000    

సంక్షిప్త పద్ధతి:

సిమెంట్‌ కంపెనీ నెలలో పొందిన నికర ఆదాయం 

= 8000 × (+11) + 6000 × (−7)

= 88000 - 42000

= రూ.46000 (ధనాత్మకం కాబట్టి లాభం వచ్చింది)

సిమెంట్‌ కంపెనీ నికర లాభం = రూ.46000

సమాధానం: 1

9. ఒక దుకాణదారుడు ఒక పెన్ను అమ్మకంపై రూ.1 లాభం, ఒక పెన్సిల్‌ అమ్మకంపై 35 పైసల నష్టం పొందుతాడు. ఒకరోజు ఎలాంటి లాభం కానీ నష్టంకానీ రాలేదు. ఆ రోజు అమ్మిన పెన్నులు 70 అయితే, అతడు ఎన్ని పెన్సిళ్లు విక్రయించినట్లు?

1) 150   2) 175   3) 200   4) 225

సాధన: వ్యాపారి ఆ రోజు అమ్మిన పెన్సిళ్ల సంఖ్య = X అనుకోండి.

దత్తాంశం ప్రకారం, పెన్నుల అమ్మకం ద్వారా లభించిన లాభం = పెన్సిళ్ల అమ్మకం ద్వారా వచ్చిన నష్టం

⇒ 70 × రూ.-1 = x × 35  పైసలు
⇒ రూ. 70 ×  35 x  పైసలు

⇒ 70 × 100 పైసలు = 35x  పైసలు

సమాధానం: 3

10. 968 x 73 + 968 x 27 విలువ ఎంత?

1) 96600          2) 96800        3) 96900          4)  97800


సాధన: 968 x 73 + 968 x 27 =

​​​​​​​

= 968 x (73 + 27)

= 968 x 100 = 96800

సమాధానం: 2

పూర్ణ సంఖ్యల్లో సంకలన ధర్మాలు

1) సంవృత ధర్మం: a, b లు ఏవైనా రెండు పూర్ణ సంఖ్యలు అయితే a+b కూడా పూర్ణసంఖ్య అవుతుంది.

2) స్థిత్యంతర ధర్మం (వినిమయ న్యాయం): a, b లు ఏదైనా రెండు పూర్ణ సంఖ్యలు అయితే a + b = b + a అవుతుంది.

3) సహచర ధర్మం: a, b, c లు ఏవైనా మూడు పూర్ణసంఖ్యలైతే (a + b) + c = a + (b + c)అవుతుంది.

4) సంకలన తత్సమాంశం: a ఏదైనా పూర్ణసంఖ్య అయితే a + 0 = 0 + a = a

* ‘0’ ను పూర్ణసంఖ్యల్లో సంకలన తత్సమాంశం అంటారు.

5) సంకలన విలోమం: a ఒక పూర్ణ సంఖ్య అయితే a + (−a) = 0 అయ్యేట్లు (−a) అనే పూర్ణ సంఖ్య ఉంటుంది.

* a, (−a) లు ఒకదానికొకటి సంకలన విలోమాలు

పూర్ణసంఖ్యలో గుణకార ధర్మాలు


1) సంవృత ధర్మం: a, bలు ఏవైనా పూర్ణసంఖ్యలు అయితే a × b కూడా పూర్ణసంఖ్యే.

2) స్థిత్యంతర ధర్మం (వినిమయ న్యాయం): a, b లు ఏవైనా రెండు పూర్ణ సంఖ్యలైతే  a × b = b × a

3) సహచర ధర్మం: a, b, c లు ఏవైనా మూడు పూర్ణ సంఖ్యలైతే(a × b) × c = a × (b × c)

4) గుణకార తత్సమాంశం: a ఒక పూర్ణ సంఖ్య అయితే   a × 1 = 1 × a = a

* 1ని పూర్ణ సంఖ్యల్లో గుణకార తత్సమాంశం అంటారు.

5) విభాగ న్యాయం: a, b, c లు ఏవైనా మూడు పూర్ణ సంఖ్యలు అయితే  

a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
పూర్ణ సంఖ్యల్లో గుణకారం సంకలనంపై విభాగ న్యాయం పాటిస్తుంది.


అభ్యాస ప్రశ్నలు

 

1. కిందివాటిలో పూర్ణ సంఖ్యల్లో గుణకార తత్సమాంశం....

1) 0     2) 1    3) 2     4) 10

జ: 1

 

2.  - 168 సంకలన విలోమం....

1) 168   2) -168    3) 1   4) 0

జ:  168


3. కిందివాటిలో ఏది అసత్యం?

1) a, b ∈ z, a + b = b + a 

2) a, b ∈ z, a × b = b × a 

3) a, b ∈ z, a ÷ b = b ÷ a 

4) a, b, c ∈ z, a × (b + c) 

= (a × b) + (a × c)

జ:  a, b ∈ z, a ÷ b = b ÷ a 


4. 143 x 127 - 143 x 27 = ......

జ:  14300


5.  2 + (−2) + 2 + (−2) + ...... (125 సంఖ్యలు)=

జ:  2


6. కిందివాటిలో ఏది సత్యం?

1) -16 < - 17       2) -16 = -17

3) -16 > -17        4)  పైవన్నీ

జ:   -16 > -17 

 

Posted Date : 24-01-2022

గమనిక : ప్రతిభ.ఈనాడు.నెట్లో వచ్చే ప్రకటనలు అనేక దేశాల నుండి, వ్యాపారస్తులు లేదా వ్యక్తుల నుండి వివిధ పద్ధతులలో సేకరించబడతాయి. ఆయా ప్రకటనకర్తల ఉత్పత్తులు లేదా సేవల గురించి ఈనాడు యాజమాన్యానికీ, ఉద్యోగస్తులకూ ఎటువంటి అవగాహనా ఉండదు. కొన్ని ప్రకటనలు పాఠకుల అభిరుచిననుసరించి కృత్రిమ మేధస్సు సాంకేతికతతో పంపబడతాయి. ఏ ప్రకటనని అయినా పాఠకులు తగినంత జాగ్రత్త వహించి, ఉత్పత్తులు లేదా సేవల గురించి తగిన విచారణ చేసి, తగిన జాగ్రత్తలు తీసుకొని కొనుగోలు చేయాలి. ఉత్పత్తులు / సేవలపై ఈనాడు యాజమాన్యానికి ఎటువంటి నియంత్రణ ఉండదు. కనుక ఉత్పత్తులు లేదా సేవల నాణ్యత లేదా లోపాల విషయంలో ఈనాడు యాజమాన్యం ఎటువంటి బాధ్యత వహించదు. ఈ విషయంలో ఎటువంటి ఉత్తర ప్రత్యుత్తరాలకీ తావు లేదు. ఫిర్యాదులు తీసుకోబడవు.

 

స‌బ్ ఇన్‌స్పెక్ట‌ర్ ఆఫ్ పోలీస్ : ప్రిలిమ్స్

పాత ప్రశ్నప‌త్రాలు

 

విద్యా ఉద్యోగ సమాచారం

 

నమూనా ప్రశ్నపత్రాలు

 

లేటెస్ట్ నోటిఫికేష‌న్స్‌