వయసులు

సరళ సమీకరణాల్లో సమస్యల పరిష్కారం!

అప్పట్లో, ఆ ప్రాయంలో అంటూ అందరి సంభాషణల్లో తరచూ వయసుల ప్రస్తావన వస్తూ ఉంటుంది. వాటిని లెక్కగట్టడంలో చకచకా కూడికలు, తీసివేతలు చేస్తుంటారు. కొన్నిసార్లు గుణిస్తుంటారు. మొత్తం మీద ఎవరి మధ్య వయసు తేడా ఎంత ఉందో తేల్చేస్తారు. తరగతి గదిలో, ఆటల్లో, ఆఫీసుల్లో సరాసరి వయసుల వివరాలు అవసరమవుతుంటాయి.  నిత్యజీవితాలతో ముడిపడిన ఈ లెక్కలపై పోటీ పరీక్షల్లోనూ ప్రశ్నలు వస్తుంటాయి. తెలిసిన గణిత పరిక్రియలను కొద్దిగా వేగంగా, కచ్చితంగా చేయడం నేర్చుకుంటే మంచి మార్కులు సంపాదించుకోవచ్చు. 

‘వయసు’ అనేది ఒక వ్యక్తి జీవించిన లేదా ఒక వస్తువును ఉత్తేజపరిచిన కాలంగా నిర్వచిస్తారు. దీన్ని నెలలు, సంవత్సరాలు, దశాబ్దాలుగా కొలుస్తారు. పుట్టినప్పటి నుంచి చనిపోయే వరకు ఏ ఇద్దరు వ్యక్తుల వయసుల మధ్య వ్యత్యాసం ఎప్పటికీ మారదు. వయసుకు సంబంధించిన సమస్యల అంశాన్ని సరళ సమీకరణాల్లో ఒకటిగా చెప్పొచ్చు. ఈ అధ్యాయంలోని సమస్యలను పరిష్కరించేటప్పుడు ఇద్దరు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ మంది వ్యక్తుల వయసుల నిష్పత్తిని ‘భిన్నం’ లేదా ‘శాతం’తో పోల్చవచ్చు.  

ఇచ్చిన సమాచారం ఆధారంగా ‘వయసుకు సంబంధించిన ప్రశ్నలు ప్రస్తుతం, గతం, భవిష్యత్తు... ఇందులో వేటికి సంబంధించినవి? అనేది అభ్యర్థి అంచనా వేయాల్సి ఉంటుంది.

మాదిరి ప్రశ్నలు 

1. అరవింద్‌ కంటే శివ పెద్దవాడు, రాజేష్‌ కంటే చిన్నవాడు. అరవింద్, రాజేష్‌ల వయసుల మొత్తం 58 ఏళ్లు. అయితే శివకు ఎన్నేళ్లు? 

1) 21   2) 28   3) 29   4) 23 

వివరణ: ఇచ్చిన లెక్క ప్రకారం 

  జ: 3

2. 6 సంవత్సరాల కిందట రమేష్, రాజేష్‌ల వయసు 6 : 5. నాలుగేళ్ల తర్వాత వారి వయసుల నిష్పత్తి 11 : 10 అవుతుంది. అయితే రమేష్‌కు ప్రస్తుతం ఎన్నేళ్లు? 

1) 12     2) 14      3) 15     4) 18

వివరణ: 6 సంవత్సరాల కిందట రమేష్, రాజేష్‌ వయసులు 6 : 5

 రమేష్‌ = 6x, రాజేష్‌ వయసు = 5x అనుకుంటే 

6 సంవత్సరాల తర్వాత రమేష్, రాజేష్‌ల వయసు = 6x + 6, 5x + 6

4 సంవత్సరాల తర్వాత వారి వయసుల నిష్పత్తి = 11 : 10 

 ప్రస్తుతం రమేష్‌ వయసు =6x + 6 =- 6(2) +6 = 18సంవత్సరాలు         

జ: 4

3.  5 సంవ్సతరాల తర్వాత తండ్రి వయసు అతడి కొడుకు వయసు కంటే 3 రెట్లు ఉంటుంది. 5 ఏళ్ల కిందట, అతడు తన కొడుకు వయసు కంటే 7 రెట్లు ఎక్కువ. అయితే తండ్రి ప్రస్తుత వయసు ఎంత? 

 1) 35 ఏళ్లు  2) 40 ఏళ్లు  3) 50 ఏళ్లు 4) 30 ఏళ్లు 

వివరణ: 5 సంవత్సరాల తర్వాత కొడుకు వయసు = x

 5 సంవత్సరాల తర్వాత తండ్రి వయసు = 3x

5 సంవత్సరాల కిందట అతడి కొడుకు వయసు కంటే 7 రెట్లు 

3x - 10 =(x - 10)7 ⇒ 3x - 10 = 7x - 70

4x = 60 ⇒ x = 15

తండ్రి ప్రస్తుత వయసు = 3x - 5

= 3(15)  5 = 40 సంవత్సరాలు      

జ: 2

4.   భార్య, భర్తల వయసుల నిష్పత్తి 4 : 3. నాలుగేళ్ల తరువాత అది 9 : 7 అవుతుంది. ఆ జంట పెళ్లి జరిగినప్పుడు వారి వయసుల నిష్పత్తి 5 : 3గా ఉంటే, ఎన్ని సంవత్సరాల కిందట వారికి పెళ్లి అయ్యింది?

1) 12    2) 15    3) 16   4) 5 

వివరణ: భార్యభర్తల వయసుల నిష్పత్తి 4 : 3

భార్య వయసు = 4x, భర్త వయసు = 3x అనుకుంటే 

4 సంవత్సరాల తరువాత వారి వయసుల నిష్పత్తి = 9 : 7 

భార్య వయసు = 4x = 32 

భర్త వయసు = 3x = 24 

సంవత్సరాల కిందట వారికి పెళ్లి అయిందనుకుంటే వారి పెళ్లి జరిగినప్పుడు వారి నిష్పత్తి 5 : 3

12 సంవత్సరాల కిందట వారికి వివాహమైంది. 

జ: 1

5.   సౌమ్య పుట్టినప్పుడు ఆమె తండ్రి వయసు 38 సంవత్సరాలు. ఆమె కంటే నాలుగేళ్లు చిన్నవాడైన తమ్ముడు పుట్టినప్పుడు ఆమె తల్లి వయసు 36 సంవత్సరాలు. అయితే వారి తల్లిదండ్రుల వయసులో తేడా ఎన్నేళ్లు? 

1) 2     2) 4     3) 6     4) 8 

వివరణ: సౌమ్య తమ్ముడు పుట్టినప్పుడు తల్లి వయసు = 36 సంవత్సరాలు

తండ్రి వయసు = 38 + 4 = 42

వారి వయసుల మధ్య తేడా = 42  36 = 6 ఏళ్లు.

జ: 3

6.  ఒక వ్యక్తిని తనకి ఎంత వయసు ఉంటుందని అడిగినప్పుడు ‘‘ఇప్పటి నుంచి 3 సంవత్సరాల తరువాత నా వయసును 3తో గుణించి, దాని నుంచి 3 సంవత్సరాల కిందట నా వయసుకు 3 రెట్లు తీసివేస్తే, ఆ ఫలితం నేను ఎంత వయసు ఉన్నవాడినో చెబుతుంది’’. అని చెప్పాడు. అయితే అతడి వయసు ఎంత? 

1)18 సం.    2) 32 సం.   3) 24 సం.  4) 20 సం.

వివరణ: ప్రస్తుత వయసు = x అనుకుంటే

పైన చెప్పిన వివరణ ప్రకారం 

3(x + 3) - 3 (x - 3) = x

3x + 9 - 3x + 9 = x

x = 18 సంవత్సరాలు.           

జ: 1

7. అమలకు 6 సంవత్సరాల కిందట పెళ్లి అయ్యింది. ఈ రోజు ఆమె వయసు వివాహ సమయానికి 1 1/4 రెట్లు ఎక్కువ. ఆమె కొడుకు వయసు ఆమె వయసుకు 1/10 రెట్లు. అయితే ఆమె కుమారుడికి ఎన్నేళ్లు?

1) 2      2) 3     3) 4     4) 5 

వివరణ: 6 సంవత్సరాల క్రితం అమల వయసు = x

జ: 2

8.  దొర, స్వామి అనే ఇద్దరు వ్యక్తుల మొత్తం వయసు; స్వామి, అమల మొత్తం వయసు కంటే 12 సంవత్సరాలు ఎక్కువ. అయితే ఆమె, దొర కంటే ఎన్ని సంవత్సరాలు చిన్నది?     

1) 11   2) 13   3) 15   4) ఏదీకాదు 

వివరణ: దొర వయసు = x

స్వామి వయసు = y, అమల వయసు = z

లెక్క ప్రకారం (x + y) - (y + z) = 12

x + y - y - z =12 ⇒  x - z = 12

అమల దొర కంటే 12 సంవత్సరాలు చిన్నది. 

జ: 4 

9. రవి కంటే అతడి అన్నయ్య 3 సంవత్సరాలు పెద్దవాడు. అతడి సోదరి పుట్టినప్పుడు అతడి తండ్రి వయస్సు 28 ఏళ్లు, రవి పుట్టినప్పుడు తల్లి వయసు 26. అతడి సోదరి పుట్టినప్పుడు ఆమె వయసు 4 ఏళ్లు. అయితే అతడి సోదరుడు పుట్టినప్పుడు రవి తండ్రి, తల్లి వయసులు ఎంత? 

1) 32, 23    2) 32, 29    3) 35, 39    4) 35, 33 

వివరణ: రవి పుట్టినప్పుడు అతడి తల్లి వయసు = 26 సంవత్సరాలు 

అతడి సోదరుడు జన్మించినప్పుడు సోదరి వయసు = 4 

సోదరుడు పుట్టినప్పుడు తండ్రి వయసు = 28 + 4 = 32 సంవత్సరాలు

రవి అన్నయ్య పుట్టినప్పుడు తల్లి వయసు 

26 - 3 = 23 సంవత్సరాలు                              

జ: 1

 

రచయిత: దొర కంచుమర్తి