కసాగు - గసాభా

కలవాలన్నా.. కొలవాలన్నా కచ్చితమైన లెక్క!

ముగ్గురు ఆటగాళ్లు వేర్వేరు వేగాలతో ఒక ట్రాక్‌పై పరుగు ప్రాక్టీస్‌ చేస్తున్నారు. ఆ ముగ్గురు కలిసే అవకాశం ఉన్న సమయాన్ని కనుక్కోవాలంటే కసాగు కావాలి. అదే విధంగా ఒక వ్యాపారి మూడు రకాల కొలతలతో పాలు పోస్తుంటాడు. కచ్చితమైన కొలమానంగా ఉపయోగపడే పెద్ద పాత్రను ఎంచుకోవాలంటే గసాభా తెలియాలి. అందరూ తెలియకుండానే రోజూ ఈ అంకగణిత ప్రక్రియలను ఉపయోగిస్తుంటారు. ఆ అనువర్తనాలను దృష్టిలో ఉంచుకొని వాటికి సంబంధించిన మౌలికాంశాలను నేర్చుకొని, ప్రాక్టీస్‌ చేస్తే పోటీ పరీక్షల్లో తేలిగ్గా జవాబులు గుర్తించవచ్చు.  

కసాగు: కసాగు అంటే కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజం.

ఇచ్చిన సంఖ్యల కసాగును కనుక్కోవాలంటే ఆ సంఖ్యలను ప్రధాన సంఖ్యలతో భాగిస్తూ వాటి లబ్ధంగా రాయడాన్ని కసాగు అంటారు.

ప్రధాన సంఖ్యల కసాగు ఎల్లప్పుడూ వాటి లబ్ధాన్ని సూచిస్తుంది. 

ఏవైనా రెండు వరుస సంఖ్యల కసాగు కూడా వాటి లబ్ధాన్ని సూచిస్తుంది.

రెండు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యల (సాపేక్ష ప్రధాన) కసాగు కూడా వాటి లబ్ధాన్ని సూచిస్తుంది. 

గసాభా: గసాభా అంటే గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం.

గసాభాను రెండు పద్ధతుల్లో కనుక్కోవచ్చు. 

1) ఉమ్మడి కారణాంకాల పద్ధతి   2) భాగహార పద్ధతి.

 ప్రధాన సంఖ్యల గసాభా ఎల్లప్పుడూ ‘1’ అవుతుంది.

పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యల (సాపేక్ష ప్రధానాంకాలు) గసాభా, రెండు వరుస సంఖ్యల గసాభా కూడా ‘1’ అవుతుంది. 

రెండు సంఖ్యల కసాగు, గసాభా ల మధ్య సంబంధం

 రెండు సంఖ్యల లబ్ధం = కసాగు, గసాభాల లబ్ధం

xy = LCM × HCF

భిన్నాల కసాగు కనుక్కోవడానికి  

భిన్నాల గసాభా కనుక్కోవడానికి 

మాదిరి ప్రశ్నలు

1.    20, 30 ల కసాగు ఎంత?       

1) 10     2) 60     3) 20     4) 30

వివరణ: 2  20, 30 

కసాగు = 2 × 5 × 2 × 3 = 60

జ: 2

2.     5, 11, 17 ల కసాగు ఎంత?         

 1) 5     2) 11     3) 55     4) 935

వివరణ: 5, 11, 17 ప్రధాన సంఖ్యలు కాబట్టి వాటి లబ్ధం, వాటి కసాగు అవుతుంది.

( 5 × 11 × 17 )= 935

జ: 4

3.    2³ × 3⁴ × 5⁷, 2⁴ × 3³ × 5⁶, 2² × 5⁴ × 3⁵ ల కసాగు ఎంత?       

1)  2³ × 5⁴ × 3²     2) 2⁴ × 3⁵ × 5⁷ 

3) 2⁴ × 3⁴ × 5⁴         4) 2³ × 3³ × 5⁴ 

వివరణ: 2³ × 3⁴ × 5⁷, 2⁴ × 3³ × 5⁶, 2² × 5⁴ × 3⁵ సంఖ్యలను ప్రధాన సంఖ్యల కారణాంకాలుగా ఇచ్చినప్పుడు... వాటి కసాగు ప్రధాన సంఖ్యల గరిష్ఠ ఘాతాంకాల లబ్ధం కసాగు అవుతుంది.

అంటే 2 ఘాతాంకాల్లో పెద్దది = 24

3 ఘాతాంకాల్లో పెద్దది = 35

5 ఘాతాంకాల్లో పెద్దది = 57

 కసాగు = 2⁴ × 3⁵ × 5⁷ 

జ: 2

   ల కసాగు ఎంత?      

​​​​​

జ: 1

5.    రాము, శ్యామ్, గీత, లత నలుగురు ఒక వృత్తాకారపు బాటను వరుసగా 120 సె., 150 సె., 180 సె., 240 సెకన్లలో పూర్తి చేస్తారు. అలా ఆ నలుగురు ఒకే స్థానం నుంచి పరుగును ప్రారంభించి మళ్లీ అదే స్థానం వద్ద మొదటిసారి కలుసుకోవడానికి ఎంతకాలం పడుతుంది?       

  1) 2 గం.  2) 1 గం.  3) 30 ని.  4) 45 ని.

వివరణ: ఒకే స్థానం వద్ద బయలుదేరి మళ్లీ ఒకేసారి అదే స్థానానికి మొదటిసారి రావడానికి పట్టే కాలం కావాలంటే వారి ప్రయాణానికి పట్టే కాలాల కసాగు అవుతుంది.

​​​​​

కసాగు = 30 × 2 × 2 × 1 × 5 × 3 × 2 

= 3600 సెకన్లు =  = 60 నిమిషాలు 

= 1 గంట

జ: 2

6.     రెండు సంఖ్యల మధ్య నిష్పత్తి 3 : 8, ఆ సంఖ్యల కసాగు 72. అయితే ఆ సంఖ్యల మొత్తం ఎంత?

1) 30     2) 36      3) 33      4) 42

వివరణ: రెండు సంఖ్యల మధ్య నిష్పత్తి 3 : 8 కాబట్టి ఆ సంఖ్యలు 3్ల, 8్ల అనుకుంటే 

వాటి కసాగు 

 

కసాగు = 24x = 72 

x = 3 

ఆ సంఖ్యలు = 3x = 3(3) = 9 

= 8x = 8(3) = 24 

ఆ సంఖ్యల మొత్తం = 9 + 24 =- 33 

జ: 3

7.    కిందివాటిలో 180, 270, 450 సంఖ్యలతో నిశ్శేషంగా భాగించబవే కనిష్ఠ సంఖ్య ఏది?        

 1) 270     2) 2700     3) 3600      4) 4500

వివరణ: 

= 90 × 2 × 3 × 5 = 2700 

ఆ కనిష్ఠ సంఖ్య = 2700

జ: 2

8.     మొదటి 100 సహజ సంఖ్యల గసాభా ఎంత?       

 1) 100     2) 10,000     3) 1      4) చెప్పలేం

వివరణ: ఇచ్చిన సంఖ్యల్లో లేదా వచ్చిన సంఖ్యల్లో ‘1’ ఉంటే ఆ సంఖ్యల గసాభా ‘1’ అవుతుంది.

1, 2, 3, ....... 100 సహజ సంఖ్యల్లో మొదటి సంఖ్య 1 ఉంది కాబట్టి వాటి గసాభా = 1

జ: 3

9.    23 × 34 × 56, 25 × 33 × 58, 26 × 37 × 52 ల గసాభా ఎంత?       

1) 1              2) 23 × 33 × 52    3) 23 × 37 × 52      4) 26 × 37 × 58

వివరణ: 23 × 34 × 56, 25 × 33 × 58, 26 × 37 × 52 సంఖ్యలను ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధంగా ఇచ్చినప్పుడు, ప్రధాన సంఖ్యల్లో కనిష్ఠ ఘాతాంక సంఖ్యల లబ్ధం గసాభా అవుతుంది. 

2³× 3³× 5²

జ: 2

 

   

 11. 410, 751, 1030 సంఖ్యలను ఏ గరిష్ఠ సంఖ్యతో భాగించిన ప్రతీసారి ఒకే శేషం వస్తుంది? 

1) 62    2) 31    3) 2    4) 1

గరిష్ఠ సంఖ్య: 31

జ: 2

12. ఒక పాల వ్యాపారి వద్ద 195 లీ., 325 లీ., 715 లీటర్ల పాల ట్యాంకులున్నాయి. వాటిని కచ్చితంగా నింపాలంటే ఉపయోగించాల్సిన గరిష్ఠ పాత్ర పరిమాణం ఎంత? 

  1) 87 లీ.  2) 13 లీ.  3) 65 లీ.  4) 5 లీ.

వివరణ: 195 లీ., 325 లీ., 715 లీటర్ల గసాభా ఆ పాత్ర పరిమాణం అవుతుంది.

130 సమాధానం లేదు కాబట్టి దాని కారణాంకాల్లో గరిష్ఠ సంఖ్య పాత్ర పరిమాణం అవుతుంది. 

జ: 3

13. రెండు సంఖ్యల నిష్పత్తి 3 : 4, వాటి గసాభా 17. అయితే ఆ సంఖ్యల మొత్తం ఎంత? 

1) 51  2) 68   3) 119  4) 129

వివరణ: రెండు సంఖ్యల నిష్పత్తి 3 : 4 కాబట్టి ఆ సంఖ్యలు 3x, 4x అనుకుంటే 3x, 4x గసాభా = x = 17 

ఆ సంఖ్యల మొత్తం =  3x + 4x 

7x = 7(17) = 119 

జ: 3

14. రెండు సంఖ్యల కసాగు, గసాభా వరుసగా 600, 30. వాటిలో ఒక సంఖ్య 150 అయితే, రెండో సంఖ్య ఎంత?

1) 120   2) 60  3) 40  4) 80

వివరణ: రెండు సంఖ్యల లబ్ధం = కసాగు ×  గసాభా

రెండో సంఖ్య =  600 ×  30

జ: 1

15. 2 సంఖ్యల గసాభా 15, ఆ సంఖ్యల మొత్తం 120. అయితే అలాంటి సంఖ్యల జతలు ఎన్ని ఉంటాయి?

1) 4    2) 3    3) 2    4) 1

వివరణ: రెండు సంఖ్యల గసాభా 15x, 15yఅనుకుంటే వాటి మొత్తం

15x + 15y = 120

15(x + y) = 120

 x + y = 8
1 + 7
2 + 6
3 + 5
4 + 4 

రెండింటి నుంచి 1 తప్ప మరే సంఖ్యా కారణాంకంగా వచ్చిన అలాంటి జతలను లెక్కించరాదు. కాబట్టి పై దానిలో రెండు జతలున్నాయి.

జ: 3

      ప్రాక్టిస్‌ బిట్స్‌

1.    42, 168, 210ల గసాభా ఎంత? 

    1) 14   2) 21   3) 42   4) 7

2.    48, 50, 98, 54, 72 ల కసాగు ఎంత?

1) 2⁴ × 3³ × 5² × 7² 

2) 2³ × 3² × 5² × 7² 

3)  24 × 32 × 52 × 72

4) 2³ × 3³ × 5 × 7 

3.     3.6, 1.8, 0.144 ల కసాగు ఎంత?

1) 36   2) 360   3) 3.6   4) 3600

4.  ల గసాభా ఎంత?

ల కసాగు ఎంత?

 

 6.     (3⁴⁵ - 1), (3³⁵ - 1) ల గసాభా ఎంత?

1) 243  2) 242  3) 245  4) 244

7.   (x⁴ - 1), (x³ - 3x² + 3x - 1), (x³ - 2x² + x) ల గసాభా ఎంత? 

 1) (x − 4)  2) (x − 2)  3) (x − 8)  4) (x − 1) 

8.     రెండు సంఖ్యల గసాభా, కసాగు వరుసగా 6, 5040. అందులో ఒక సంఖ్య 210 అయితే రెండో సంఖ్య ఎంత? 

  1) 256  2) 144  3) 30  4) 630

9.     రెండు సంఖ్యల గసాభా, కసాభా లబ్ధం 3321. అందులో ఒక సంఖ్య 369, అయితే వాటి గసాభా ఎంత? 

1) 21   2) 9   3) 3   4) 27

10. రెండు సంఖ్యల మొత్తం 528, వాటి గసాభా 33. అయితే అలాంటి సంఖ్యల జతలు ఎన్ని ఉంటాయి? 

 1) 4   2) 6   3) 8   4) 12

11. రెండు సంఖ్యల కసాగు 495, గసాభా 5, ఆ రెండు సంఖ్యల మొత్తం 100. అయితే ఆ రెండు సంఖ్యల భేదం ఎంత? 

1) 10   2) 46   3) 70   4) 90

12. రెండు సంఖ్యల కసాగు వాటి గసాభాకు 22 రెట్లు. ఆ సంఖ్యల్లో ఒక సంఖ్య 132. కసాగు, గసాభాల మొత్తం 216. అయితే రెండో సంఖ్య ఎంత?

1) 30   2) 24   3) 20   4) 25

13. 556, 763, 349 లను ఏ గరిష్ఠ సంఖ్యతో భాగించిన ప్రతిసారి శేషం 4 వస్తుంది? 

 1) 69   2) 36   3) 92   4) 54

14. ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యను 4, 5, 6, 7, 8లతో భాగించిన ప్రతిసారి శేషం ‘2’ వస్తుంది. అదే సంఖ్య 13తో  నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది. అయితే ఆ కనిష్ఠ సంఖ్య ఏది? 

1) 2520  2) 2522  3) 842  4) 840

15. మూడు ట్రాఫిక్‌ జంక్షన్ల వద్ద ఉన్న ట్రాఫిక్‌ లైట్లు వరుసగా ప్రతి 48 సె., 72 సె., 108 సెకన్లకు ఒకసారి మారతాయి. 8 : 20AM కి అన్ని 

 లైట్లు ఒక్కసారిగా మారితే మళ్లీ అన్నీ ఒకేసారి ఎప్పుడు మారతాయి?

  1) 8 : 27 : 12 AM          2) 8 : 33 : 32 AM   3) 9 : 12 : 18 AM       4) 8 : 40 : 14 AM

జవాబులు: 1-3; 2-1; 3-3; 4-1; 5-1; 6-2; 7-2; 8-2; 9-2; 10-1; 11-1; 12-2; 13-1; 14-2; 15-1.

రచయిత: రాంబాబు