• facebook
  • whatsapp
  • telegram

సూక్ష్మీకరణులు

సంక్లిష్టత నుంచి సరళీకరణకు!

ప్రతి పనికీ ఒక క్రమం ఉంటుంది. అది తప్పితే ఆ పని కష్టం కావచ్చు లేదా పూర్తికాకపోవచ్చు. ఈ సూత్రం గణితానికీ అతికినట్లు సరిపోతుంది. ఏ లెక్క చేయాలన్నా ఒక పద్ధతి ఉంటుంది. దాన్ని పాటించకపోతే సరైన జవాబు రాదు. సూక్ష్మీకరణులు అనే అధ్యాయాన్ని ప్రాక్టీస్‌ చేస్తే  సంక్షిష్టమైన గణిత ప్రక్రియలను సరళీకరించి సమాధానాలు రాబట్టే నియమాలపై అవగాహన పెరుగుతుంది. ఇది అన్ని రకాల లెక్కలు చేయడానికి ఉపయోగపడుతుంది.

 

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
(a − b)2 = a2 + b2 − 2ab
(a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2)
(a + b)2 − (a − b)2 = 4ab
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
(a + b)3 = a3 + b3 + 3a2b + 3ab2
(a − b)3 = a3 − b3 − 3a2b + 3ab2
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)


            


మాదిరి ప్రశ్నలు

    పైన ఉన్నx విలువను ప్రతిక్షేపించగా

    6 + x = x2
    x2 − x − 6 = 0
    x2 − 3x + 2x − 6 = 0
    x(x − 3) + 2(x − 3) = 0
   (x − 3)(x + 2) = 0
   x = 3, x = −2

   ∴   x = 3 అవుతుంది.

     సంక్షిప్త పద్ధతి:   

                        
   + ఉంది కాబట్టి పెద్ద సంఖ్యను తీసుకోవాలి.

  గమనిక: + ఉంటే పెద్ద సంఖ్యను,  - ఉంటే చిన్న సంఖ్యను తీసుకోవాలి.

  + ఉంది కాబట్టి పెద్ద సంఖ్యను తీసుకోవాలి.

     x2 − 20 = 5
     x2 = 5 + 20
     x2 = 25
     x2 = 52
    ∴  x = 5 
అవుతుంది.

7.     72519 x 99999 = ............. 

    1) 7251827481       2) 7151827481   

    3) 7251847481      4) 7252827481

సమాధానం: 1

సాధన: ఎన్ని 9 లు ఉంటే అన్ని సున్నాలు రాసి ఎడమ వైపు సంఖ్యను తీసివేయాలి.


  


8.  106 × 106 − 94 × 94 = .............
1) 2100         2) 2200          3) 2300        4) 2400

సమాధానం: 4

సాధన: ముందున్న సూత్రాలను ఉపయోగిస్తే సూక్ష్మీకరణుల్లో సమాధానాన్ని సులువుగా గుర్తించవచ్చు.

    106 = a, 94 = b అనుకుందాం

    అప్పుడు దత్తాంశం ప్రకారం

     a2 − b2 = (a + b)(a − b)
     = (106 + 94)(106 − 94)
     = 200 × 12 = 2400


      ఈ పద్ధతి గ.సా.భా.లో ఉంది. 

  a + b + c = 2 + 1 + 8 = 11 అవుతుంది. 

               రచయిత: బిజ్జుల విష్ణువర్ధన్‌ రెడ్డి

Posted Date : 24-01-2023

గమనిక : ప్రతిభ.ఈనాడు.నెట్‌లో కనిపించే వ్యాపార ప్రకటనలు వివిధ దేశాల్లోని వ్యాపారులు, సంస్థల నుంచి వస్తాయి. మరి కొన్ని ప్రకటనలు పాఠకుల అభిరుచి మేరకు కృత్రిమ మేధస్సు సాంకేతికత సాయంతో ప్రదర్శితమవుతుంటాయి. ఆ ప్రకటనల్లోని ఉత్పత్తులను లేదా సేవలను పాఠకులు స్వయంగా విచారించుకొని, జాగ్రత్తగా పరిశీలించి కొనుక్కోవాలి లేదా వినియోగించుకోవాలి. వాటి నాణ్యత లేదా లోపాలతో ఈనాడు యాజమాన్యానికి ఎలాంటి సంబంధం లేదు. ఈ విషయంలో ఉత్తర ప్రత్యుత్తరాలకు, ఈ-మెయిల్స్ కి, ఇంకా ఇతర రూపాల్లో సమాచార మార్పిడికి తావు లేదు. ఫిర్యాదులు స్వీకరించడం కుదరదు. పాఠకులు గమనించి, సహకరించాలని మనవి.

 

కానిస్టేబుల్స్‌ : మెయిన్స్

పాత ప్రశ్నప‌త్రాలు

 

విద్యా ఉద్యోగ సమాచారం

 

నమూనా ప్రశ్నపత్రాలు

 

లేటెస్ట్ నోటిఫికేష‌న్స్‌