ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు

అనువైన అమరికలు.. సాధ్యమయ్యే సమూహాలు!

  ఒక పాఠశాలలో స్వాతంత్య్రదినోత్సవాన్ని నిర్వహిస్తున్నారు. మూడు తరగతుల విద్యార్థులను గ్రౌండ్‌లో  ఒక క్రమంలో ఏవిధంగా  నిలబెట్టాలో నిర్వాహకుడికి ఎంతకీ అర్థం కావడం లేదు. ఇంతలో లెక్కల మాస్టారు వచ్చి ప్రస్తారాలు పాఠాన్ని ప్రయోగించి ఎన్ని రకాల అనువైన అమరికల్లో నిలబెట్టవచ్చో చెప్పి సమస్య పరిష్కరించారు. పిల్లలకి పంచడానికి నాలుగు రకాల చాక్లెట్లు తెచ్చారు. అన్ని కలిపి పంచిపెట్టాలా, విడివిడిగా ఇవ్వాలా అనే అనుమానం వచ్చింది. అన్ని అందరికీ అందకపోతే పిల్లలు ఫీల్‌ అయ్యే అవకాశం ఉంది. విడివిడిగా పంచితే ఎక్కువ సమయం పడుతుంది. మళ్లీ గణితం టీచర్‌ను ఆశ్రయించారు. ఆయన సంయోగాలు పాఠాన్ని ఉపయోగించి చాక్లెట్లన్నింటినీ కలిపి పంచమని సలహా ఇచ్చారు. నాలుగు చాక్లెట్లతో సాధ్యమయ్యే సమూహాలను లెక్కగట్టి చెప్పారు. ఆ సందర్భంగా ప్రతి పరీక్షలో ముఖ్యమైన సంభావ్యత లెక్కలు సులభంగా చేయాలంటే ప్రస్తారాలు-సంయోగాలు కచ్చితంగా నేర్చుకోవాలని మరోసారి విద్యార్థులకు వివరించారు.  

ఇచ్చిన 'n' విభిన్న వస్తువుల్లో కొన్నింటిని లేదా అన్నింటిని తీసుకుని వాటి వల్ల ఏర్పరచగలిగిన విభిన్న అమరికలను ప్రస్తారాలు (Permutations) అంటారు.

ఉదా: a, b, c అనే అక్షరాల నుంచి ఒకేసారి రెండు అక్షరాలు తీసుకుని వాటి వల్ల ఏర్పరచగలిగిన విభిన్న ప్రస్తారాలు లేదా అమరికలు ab, ba, ac, ca, dc.

ప్రస్తారాల సంఖ్య: ఇచ్చిన 'n' వస్తువుల్లో 'r' వస్తువులను ఒకేసారి తీసుకున్నప్పుడు ఏర్పడే అన్ని ప్రస్తారాల సంఖ్యను తో సూచిస్తాం.

ఉదా: 

ఉప సిద్ధాంతం (Corallory): n వస్తువున్నింటినీ ఒకేసారి తీసుకుంటే ఏర్పడే ప్రస్తారాల సంఖ్య n!

గమనిక: ఒకే విధంగా ఉండే P₁ వస్తువులు, మరో రకంలో ఒకే విధంగా ఉండే P₂ వస్తువులు, ఒకే విధంగా ఉండే మూడో రకం P₃ వస్తువులు ....... ఒకే విధంగా ఉండే rవ రకం P_r వస్తువులు  అయ్యేవిధంగా ఉంటే 

ఈ n వస్తువుల ప్రస్తారాల సంఖ్య = 

ఉదా: MISSISSIPPI అనే పదంలోని అక్షరాలను ఉపయోగించుకుని ఎన్ని పదాలను తయారు చేయవచ్చు?

వివరణ: MISSISSIPPI అనే పదంలోని అక్షరాలు 11

అందులో M = 1, I = 4, S = 4, P = 2

సంయోగాలు (Combinations): ఒక సంఖ్యలో ఉన్న వస్తువుల్లో కొన్నింటిని లేదా అన్నింటిని ఒకేసారి తీసుకుంటే వాటి వల్ల ఏర్పడే విభిన్న సమూహాలు లేదా ఎంపికల్లో ప్రతిదాన్ని సంయోగం అంటారు.

ఉదా: నలుగురు వ్యక్తులు A, B, C, D ల నుంచి ఇద్దరు చొప్పున ఏర్పడే విభిన్న సమూహాలు AB, AC, AD, BC, BD, CD.

సంయోగాల సంఖ్య: n విభిన్న వస్తువుల నుంచి r చొప్పున తీసుకుని ఏర్పరచగలిగిన సంయోగాల సంఖ్యను తో సూచిస్తారు.

వృత్తాకార ప్రస్తారణ (Circular Permutation) : వృత్తాకార ప్రస్తారణ అనేది n విభిన్న వస్తువులను అమర్చగలిగిన మొత్తం మార్గాల సంఖ్య. వృత్తాకార ప్రస్తారణలో ప్రారంభం, ముగింపు లాంటివి ఉండవు.

* సవ్యదిశ(Clock wise) , అపసవ్య దిశ (Anti-clockwise wise) ఆర్డర్‌లను వేర్వేరుగా తీసుకుంటే అప్పుడు విభిన్న ప్రస్తారాలు (n-1)!  

* సవ్యదిశ, అపసవ్య దిశ ఆర్డర్‌లను ఒకేవిధంగా తీసుకున్నప్పుడు విభిన్న ప్రస్తారణలు 

ఉదా: సౌమ్య 3 పసుపు గాజులు, 5 ఎరుపు గాజులు, 2 ఆకుపచ్చ గాజులను లూప్‌లో ఎలాంటి ఆంక్షలు లేకుండా అమర్చుకోవాలనుకుంటే, ఇది చేయగల మార్గాల సంఖ్యను లెక్కించండి.

వివరణ: సౌమ్య వద్ద ఉన్న మొత్తం గాజులు = 3 + 5 + 2 = 10

వాటిని అమర్చగల మార్గాల సంఖ్య (n-1)! = (10-1)! = 9!

9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3,62,880 

మాదిరి ప్రశ్నలు

1. కాకినాడ నుంచి రాజమండ్రి వరకు మధ్యలో 10 స్టేషన్లు ఉంటే ఒక స్టేషన్‌ నుంచి మరో స్టేషన్‌కు ప్రయాణించడానికి ఎన్ని రకాలుగా టికెట్లను ముద్రించవచ్చు?

1) 144     2) 132     3) 136     4) 100

జవాబు: 2

వివరణ: కాకినాడ నుంచి రాజమండ్రి వరకు = 1 టికెట్‌ 

రాజమండ్రి నుండి కాకినాడ వరకు = 1 టికెట్‌ 

మధ్యలో స్టేషన్ల సంఖ్య = 10

ఒక స్టేషన్‌ నుంచి మరో స్టేషన్‌కు ప్రయాణించడానికి కావాల్సిన మొత్తం టికెట్ల సంఖ్య ¹²P₂ = 12 x 11 = 132

2. ఒక సభా ప్రాంగణానికి 5 లోపలికి వెళ్లే మార్గాలు, 4 బయటకు వచ్చే మార్గాలు ఉన్నాయి. అయితే ఒక మనిషి ఎన్ని మార్గాల్లో లోపలికి వెళ్లి బయటకు రావచ్చు?

1) 10    2) 15    3) 20    4) 25

జవాబు: 3

వివరణ: లోపలికి వెళ్లే మార్గాల సంఖ్య = 5

బయటకు వచ్చే మార్గాల సంఖ్య = 4

ఒక మనిషి లోపలికి వెళ్లి బయటకు వచ్చే మార్గాల సంఖ్య = 5 x 4 = 20 మార్గాలు 

3. ఏడు అక్షరాలు ఉన్న ఒక పదం నుంచి ఏవైనా మూడు అక్షరాలను ఉపయోగించి ఎన్ని పదాలను తయారుచేయవచ్చు?

1) 210    2) 240    3) 390    4) 125

జవాబు: 1

వివరణ: ఏడు అక్షరాలు ఉన్న ఒక పదం నుంచి ఏవైనా మూడు అక్షరాలను ఉపయోగించి తయారుచేసే పదాల సంఖ్య = ⁷P₃ = 7 x 6 x 5 = 210

4. SUCCESS అనే పదంలోని అన్ని అక్షరాలను ఉపయోగించి ఎన్ని పదాలను రూపొందించవచ్చు?

1) 420    2) 840    3) 2520    4) 5040

జవాబు: 1

వివరణ: SUCCESS అనే పదంలోని అక్షరాలు 7

అందులో S = 3,  C = 2,  E = 1, U = 1

5. BUILDER అనే పదంలోని అక్షరాల్లో అన్ని అచ్చులు వరుసగా కలిసి ఉండేలా ఎన్ని రకాలుగా అమర్చవచ్చు?

1) 7!    2) 5!4!    3) 4!3!    4) 5!3!

జవాబు: 4

వివరణ: builder అనే పదంలోని మొత్తం అక్షరాల సంఖ్య 7

వీటిలో E, I, U అనే అక్షరాలు అచ్చులు.

1 +  4  = 5! మార్గాలు. వాటిలో అవే 3! మార్గాలుగా అమర్చవచ్చు.

మొత్తం 5!3! విధాలుగా అమర్చవచ్చు.

6. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 సంఖ్యలను ఉపయోగించి ఎన్ని రెండంకెల సంఖ్యలను రూపొందించవచ్చు? (స్థానం పునరావృతం కాకపోతే) 

1) 19   2) 27   3) 36   4) 42

జవాబు: 4

వివరణ: మొత్తం ఇచ్చిన సంఖ్యలు 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

పై సంఖ్యల నుంచి ఏర్పరచగల/రూపొందించగల రెండంకెల సంఖ్యలు 7శి2 = 7 ´ 6 = 42 

(లేదా)

7. 3, 4, 5, 6, 7 సంఖ్యలను ఉపయోగించి ఎన్ని మూడంకెల సంఖ్యలను రూపొందించవచ్చు? (స్థానం పునరావృతం కావచ్చు) 

1) 125    2) 130    3) 140   4) 150

జవాబు: 1

వివరణ: ఇచ్చిన సంఖ్యలు 3, 4, 5, 6, 7

మొత్తం సంఖ్యలు = 5

8. ఒక తరగతి గదిలో ఏడుగురు విద్యార్థులు ఉన్నారు. ఆ సమూహం నుంచి ఎవరైనా నలుగురు విద్యార్థుల ఎంపికను ఎన్ని విధాలుగా చేయవచ్చు? 

ఎ) ఒక నిర్దిష్ట విద్యార్థి ఎల్లప్పుడూ ఆ నలుగురు విద్యార్థుల్లో చేరి ఉంటాడు.    

1) 20    2) 30   3) 40    4) 50

జవాబు: 1

వివరణ: ఒక నిర్దిష్ట విద్యార్థి ఎల్లప్పుడూ ఆ నలుగురు విద్యార్థుల్లో చేరి ఉంటే, ఇక మిగిలిన విద్యార్థులు ఆరుగురు మాత్రమే. మిగిలిన ఆరుగురి నుంచి ముగ్గురు విద్యార్థులను ఎంపికచేసే మార్గాలు

బి) ఒక నిర్దిష్ట విద్యార్థి ఎల్లప్పుడూ ఆ నలుగురు విద్యార్థుల్లో లేకుండా ఉంటాడు.

1) 30  2) 15  3) 25  4) 55

జవాబు: 2

వివరణ: ఒక నిర్దిష్ట విద్యార్థిని మినహాయించినప్పుడు మిగిలిన ఆరుగురి నుంచి నలుగురు విద్యార్థులను ఎంపిక చేసుకోవాలి.

కావాల్సిన మార్గాల సంఖ్య ⁶C₄

9. ఒక తరగతి గదిలో అయిదుగురు బాలికలు, 11 మంది బాలురు ఉన్నారు. మొత్తం విద్యార్థుల నుంచి ఎవరైనా నలుగురు విద్యార్థులను ఎంపిక చేస్తే..

ఎ) కచ్చితంగా ఇద్దరు బాలికలు ఎంపికయ్యే మార్గాల సంఖ్య ఎంత?

1) 500  2) 720  3) 550  4) 790

జవాబు: 3

వివరణ: అయిదుగురు బాలికల నుంచి కచ్చితంగా ఇద్దరు బాలికలను ఎంపిక చేస్తే అప్పుడు మిగిలిన ఇద్దరిని 11 మంది బాలుర నుంచి ఎంపిక చేయాలి.

మార్గాల సంఖ్య ⁵C₂ x ¹¹C₂

బి) కనీసం ఇద్దరు బాలికలు ఎంపికయ్యే మార్గాల సంఖ్య?

1) 665  2) 550  3) 535  4) 520

జవాబు: 1

వివరణ: కనీసం ఇద్దరు బాలికలను ఎంపిక చేసే మార్గాలు మూడు విధాలుగా ఉంటాయి. 

i) ఇద్దరు బాలికలు, ఇద్దరు బాలురు అయితే ⁵C₂ x ¹¹C₂ = 550

ii) కనీసం ఇద్దరు బాలికలు అని అడిగారు కాబట్టి ముగ్గురు బాలికలు, ఒక బాలుడిని తీసుకుంటే = ⁵C₃ x ¹¹C₁ = 110

 iii) నలుగురు బాలికలు, సున్నా బాలురు అయితే = ⁵C₄ x ¹¹C₀ = 5

సాధ్యమయ్యే మొత్తం ఎంపికల సంఖ్య = 550 + 110 + 5 = 665

రచయిత: కంచుమర్తి దొర