సంభావ్యత - పాచికలు

పట్టు పెంచితే పడే మార్కుల పాచిక!

  అప్పుడో ఇప్పుడో.. ఎప్పుడో ఒకసారి అందరూ పాచికలు ఆడే ఉంటారు. వాటిని వేసిన ప్రతిసారీ ఏం పడుతుందో అనే ఉత్కంఠకు గురై ఉంటారు. ఆ ఆరు ముఖాల ఘనాకార వస్తువు ప్రదర్శించే ఫలితాలు అంచనాలకు అందవు. కానీ అరిథ్‌మెటిక్‌లో కొన్ని లెక్కలు తెలుసుకుంటే కొంత వరకు పాచికలపై పట్టు సాధించవచ్చు. అవి పడే తీరును ఊహించవచ్చు. పోటీ పరీక్షల్లో మంచి మార్కులూ తెచ్చుకోవచ్చు. 

  పాచికలు ఘనాకారంలో ఉండే త్రీడీ ఆకృతులు. వీటిని జూదాలు, వినోద కార్యక్రమాల్లో ఉపయోగిస్తారు. ఘనాకారంలో ఉన్న ఈ పాచిక 6 ముఖాల మీద సాధారణంగా అంకెలు, రంగులు, ఆంగ్ల అక్షరాలు లేదా చుక్కలు వేసి ఉంటాయి. 

1. అంకెలు = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

2. అక్షరాలు = {A, B, C, D, E, F}

3. రంగులు = {తెలుపు, నలుపు, ఎరుపు, పసుపు, ఆకుపచ్చ, నీలం}

4. చుక్కలు = {*, **, ***, ****, *****, ******}

సంభావ్యత 

గమనిక: ఒక పాచిక లేదా అంతకంటే ఎక్కువ పాచికలను దొర్లించినప్పుడు ఏర్పడిన మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య 6ⁿ. ఇక్కడ n అనేది దొర్లించిన పాచికల సంఖ్య.

గమనిక: పేక దస్తా (Deck of cards)

పేక దస్తాలో 52 పేకముక్కలు ఉంటాయి. వీటిని 4 విభాగాలుగా (suits) విభజిస్తారు. ఒక్కో విభాగంలో 13 పేక ముక్కలు ఉంటాయి (4 x 13 = 52). 

ఆ కట్టలో 4 ఏస్‌లు, 4 కింగ్‌లు, 4 క్వీన్‌లు, 4 జాక్స్‌ ఉంటాయి. రాజు (king), రాణి (queen), జాక్‌ (jack) కార్డులను ముఖ కార్డులు (face cards)  అంటారు.

మాదిరి ప్రశ్నలు

1. రెండు పాచికలను ఏకకాలంలో దొర్లిస్తే అవి ప్రధాన సంఖ్యను చూపని సంభావ్యత ఎంత?

జవాబు: 3

వివరణ: మొత్తం ఫలితాల సంఖ్య 6 ´ 6 = 36

2. A, B పాచికలను విసిరినప్పుడు తి అనేది తీ కంటే తక్కువ లేదా సమానం అని పొందే సంభావ్యతను లెక్కించండి.

జవాబు: 2

వివరణ: 

అనుకూల ఫలితాలు = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

మొత్తం ఫలితాల సంఖ్య 62 = 36 

3. రెండు పాచికలను ఏకకాలంలో దొర్లించినప్పుడు కనీసం ఒక పాచికపై 5 కనిపించినట్లయితే మొత్తం 10 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ కలిగిన సంభావ్యత ఎంత? 

జవాబు: 4

వివరణ: కనీసం ఒక పాచికపై 5 కలిగి మొత్తం 10 లేదా అంతకంటే ఎక్కువ కలిగిన అనుకూల పర్యవసానాల సంభావ్యత (5, 6), (6, 5), (5, 5) = 3

మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 62

4. శివాత్మిక మూడు పాచికలను దొర్లించినప్పుడు అక్కడ నమోదైన ఫలితాలను చూస్తే ఆమె 10 పొందే సంభావ్యత ఎంత?

జవాబు: 2

వివరణ: మూడు పాచికలను పైకి విసిరినప్పుడు 10 పొందే అనుకూల పర్యవసానాలు

(1, 3, 6), (1, 4, 5), (1, 5, 4), (1, 6, 3), (2, 2, 6), (2, 3, 5), (2, 4, 4), (2, 5, 3), (2, 6, 2), (3, 1, 6), (3, 2, 5), (3, 3, 4), (3, 4, 3,) (3, 5, 2), (3, 6, 1), (4, 1, 5), (4, 2, 4), (4, 3, 3), (4, 4, 2), (4, 5, 1), (5, 1, 4), (5, 2, 3), (5, 3, 2), (5, 4, 1), (6, 1, 3), (6, 2, 2), (6, 3, 1)

మొత్తం అనుకూల ఫలితాల సంఖ్య = 27

5. ఒక పాచికను రెండుసార్లు దొర్లిస్తే అది కనీసం ఒకసారి 4 పడే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.

జవాబు: 1

వివరణ: ఒక పాచికను రెండుసార్లు దొర్లిస్తే కనీసం ఒకసారి 4 పడే అనుకూల పర్యవసానాలు 

(1, 4), (4, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 4), (5, 4), (4, 5), (6, 4), (4, 6) 

6. దేవి మూడు పరీక్షలకు హాజరైంది. ఆమె మూడింటిలో ఉత్తీర్ణత సాధించే సంభావ్యత వరుసగా ౌ, ౌ, ౌ. అయితే ఆమె ఈ పరీక్షల్లో కనీసం ఒకదానిలోనైనా ఉత్తీర్ణత సాధించే సంభావ్యత ఎంత?

జవాబు: 3

వివరణ: 

7. ఒక పర్సులో 4 రాగి, 3 వెండి నాణేలు; రెండో పర్సులో 6 రాగి, 2 వెండి నాణేలు ఉన్నాయి. ఏదైనా పర్సు నుంచి ఒక నాణేన్ని తీస్తే అది రాగి నాణెం కావడానికి సంభావ్యత ఎంత?

జవాబు: 4

వివరణ: 2 పర్సులు ఉండటం వల్ల మొదటి పర్సును ఎంచుకునే సంభావ్యత  , రెండో పర్సును ఎంచుకునే సంభావ్యత .

4 రాగి, 3 వెండి నాణేల నుంచి ఒక రాగి నాణేన్ని తీయడానికి గల సంభావ్యత = 

 6 రాగి, 2 వెండి నాణేల నుంచి ఒక రాగి నాణెం తీయడానికి గల సంభావ్యత = 

8. ఒక సంచిలో 8 ఎర్ర బంతులు, 7 ఆకుపచ్చ బంతులు ఉన్నాయి. ఆ సంచిలో నుంచి 2 బంతులను యాదృచ్ఛికంగా తీస్తే ఒకటి ఎర్ర బంతి, ఒకటి ఆకుపచ్చ బంతి కావడానికి గల సంభావ్యత ఎంత?    

జవాబు: 2

వివరణ: మొత్తం బంతుల సంఖ్య 7 ్ఘ 8 = 15

8 ఎర్ర బంతుల్లో ఒకదాన్ని ఎంపిక చేసుకునే సంఖ్య 8C₁.

7 ఆకుపచ్చ బంతుల్లో ఒకదాన్ని ఎంపిక చేసుకునే సంఖ్య 7c₁.

9. ఒక సంచిలో 6 నీలం, 2 నలుపు, 4 ఆకుపచ్చ, 3 పసుపు బంతులు ఉన్నాయి. ఒకవేళ 3 బంతులను యాదృచ్ఛికంగా తీస్తే ఒక్క బంతి కూడా పసుపు రంగులో ఉండని సంభావ్యత ఎంత?

జవాబు: 4

వివరణ: మొత్తం బంతుల సంఖ్య = 6 + 2 + 4 + 3 = 15

పసుపు బంతులు కానివి = 15 - 3 = 12

10. ఒక సంచిలో నాలుగు ఎరుపు బంతులు, రెండు ఆకుపచ్చ బంతులు, మూడు పసుపు బంతులు ఉన్నాయి. ఆ సంచి నుంచి మూడు బంతులను యాదృచ్ఛికంగా తీస్తే ఆ మూడు బంతులు ఒకే రంగులో ఉండే సంభావ్యతను లెక్కించండి.

జవాబు: 1

వివరణ: మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 4 + 2 + 3 = 9

11. బాగా కలిపిన పేక ముక్కల కట్ట నుంచి పొరపాటున నాలుగు పేక ముక్కలు జారిపడ్డాయి. ఆ పడిపోయిన నాలుగు పేక ముక్కలు ఒక్కో విభాగం నుంచి ఒక్కో పేక ముక్క అయ్యేలా ఉండే సంభావ్యతను లెక్కించండి.

జవాబు: 1

వివరణ: కింద పడిపోయిన నాలుగు కార్డుల సంభావ్యత = 52ది4

కింద పడిపోయిన నాలుగు కార్డులు ఒక్కో విభాగం నుంచి ఉండే సంభావ్యత = 13C₁ x 13C₁ x 13C₁ x 13C₁

= 13 x 13 x 13 x 13 = 134

12. ఒక కవరులో 4 తెల్లని, 5 పసుపు, శి నీలం రంగు బుడగలు ఉన్నాయి. ఆ కవరు నుంచి ఒక నీలం రంగు బుడగను యాదృచ్ఛికంగా తీసినప్పుడు దాని సంభావ్యత

గా నమోదు చేస్తే, ఆ సంచిలోని నీలం రంగు బుడగల సంఖ్య ఎంత?

1) 18   2) 9      3) 36    4) 12

జవాబు: 2

వివరణ: కావాల్సిన సంభావ్యత = 

13. బాగా కలిపిన పేక ముక్కల కట్ట నుంచి రెండు పేక ముక్కలను తీస్తే ఆ రెండు పేక ముక్కలు డైమండ్‌లు లేదా రాజులు అయ్యే సంభావ్యతను లెక్కించండి.

జవాబు: 3

వివరణ: మొత్తం పర్యవసానాల సంఖ్య = 52C₂

రెండు డైమండ్‌ అయ్యే సంభావ్యత = 13C₂

రెండు రాజు అయ్యే సంభావ్యత = 4C₂

కావాల్సిన సంభావ్యత (డైమండ్‌ లేదా రాజు) = 

ప్రాక్టీస్‌ ప్రశ్నలు

1. 200 పేజీల పుస్తకంలో వర్గసంఖ్య కలిగిన పేజీని పొందే సంభావ్యత ఎంత?

2. 1 నుంచి 401 వరకు గల సంఖ్యల్లో 9 లేదా 11తో భాగించబడే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.

 

3. బాగా కలిపిన పేకముక్కల కట్ట నుంచి మూడు పేకముక్కలను యాదృచ్ఛికంగా తీస్తే ఆ మూడు పేకముక్కలు క్లబ్‌ లేదా స్పేడ్‌ అయ్యే సంభావ్యతను లెక్కించండి.

4. మూడు పాచికలను ఏకకాలంలో దొర్లించినప్పుడు వాటి మొత్తం 16 కంటే ఎక్కువగా ఉండే సంభావ్యత ఎంత?

5. ఒక కుటుంబంలో ముగ్గురు పిల్లలు ఉన్నారు. ఆ కుటుంబంలో కనీసం ఇద్దరు ఆడపిల్లలు ఉండేలా సంభావ్యతను లెక్కించండి.

6. ఒక పెట్టెలో 12 బల్బులు ఉన్నాయి. వాటిలో 2 బల్బులు లోపాలతో ఉంటే, ఆ పెట్టె నుంచి 3 బల్బులు యాదృచ్ఛికంగా తీసినప్పుడు కనీసం ఒక బల్బు మంచిగా ఉండే సంభావ్యతను లెక్కించండి.

7. రాజేష్‌ 55% నిజం మాట్లాడతాడు. అరవింద్‌ 60% అబద్ధాలు మాట్లాడతాడు. ఒక వాస్తవాన్ని పేర్కొంటూ వారు చెప్పే సంభావ్యతను లెక్కించండి.

8. ఒక సాధారణ సంవత్సరంలో (లీపు సంవత్సరం కానిది) కచ్చితంగా 52 శనివారాలు ఉండే సంభావ్యత ఎంత?

9. P, Q, R అనే ముగ్గురు వ్యక్తులు ఒక రేస్‌లో పాల్గొన్నారు. R గెలిచే సంభావ్యత Q కంటే  ఎక్కువ. R గెలిచే సంభావ్యత P కంటే  ఎక్కువ. అయితే ఆ రేసులో P గెలిచే సంభావ్యత ఎంత?

10. ఒక బుట్టలో 7 మామిడి పండ్లు ఉన్నాయి. అందులో 3 మామిడి పండ్లు కుళ్లినవి. వాటి నుంచి 2 మామిడి పండ్లను ఎంచుకుంటే ఆ రెండు మామిడి పండ్లు కుళ్లినవి అవడానికి సంభావ్యత ఎంత?

11. ఒక సంచిలో 6 గోధుమ రంగు, 5 నలుపు రంగు బంతులు ఉన్నాయి. ఆ సంచిలో నుంచి 3 బంతులను యాదృచ్ఛికంగా తీస్తే, అవన్నీ నలుపు రంగు బంతులు కావడానికి గల అసమానత ఎంత?

1) 31 : 2   2) 29 : 3   3) 28 : 5   4) 19 : 13

12. విమానం A, విమానం B లక్ష్యం సాధించడానికి సంభావ్యత వరుసగా 0.3, 0.2. విమానం A లక్ష్యాన్ని తప్పిపోతే మాత్రమే విమానం B బాంబును వేస్తుంది. అయితే విమానం B ద్వారా లక్ష్యాన్ని సాధించే సంభావ్యత ఎంత?

1) 0.06   2) 0.14   3) 0.7   4) 0.32

13. సత్య, ఆది, అమల పరీక్షల్లో ఉత్తీర్ణులయ్యే సంభావ్యత 60%, 40%, 20%. అయితే సత్య, ఆది ఆ పరీక్షల్లో ఉత్తీర్ణులై అమల ఉత్తీర్ణత కాని సంభావ్యత లెక్కించండి.

1) 38.4%   2) 60%   3) 4.8%   4) 19.2%

14. P అనే సంచిలో 3 ఆకుపచ్చ, 7 నీలం బంతులు ఉన్నాయి. Q అనే సంచిలో 10 ఆకుపచ్చ, 5 నీలం బంతులు ఉన్నాయి. ఈ రెండు సంచుల నుంచి ఒక్కో బంతిని తీస్తే, ఆ రెండు బంతులు ఆకుపచ్చవి అయ్యే సంభావ్యతను లెక్కించండి.

15. ఒక పురుషుడు 10 సంవత్సరాలు జీవించే సంభావ్యత  . అతడి భార్య మరో 10 సంవత్సరాలు జీవించే సంభావ్యత  . అలాంటప్పుడు వారిలో ఒక్కరు కూడా మరో 10 సంవత్సరాలు జీవించి ఉండకపోవడానికి గల సంభావ్యతను లెక్కించండి.

16. ఒక వ్యక్తి, అతడి భార్య ఒకే విభాగంలోని రెండు పోస్టులకు ఇంటర్వ్యూకు హాజరయ్యారు. భర్త ఎంపిక సంభావ్యత , భార్య ఎంపిక సంభావ్యత 

. అయితే వారిలో ఒకరిని మాత్రమే ఎంపిక చేసే సంభావ్యత ఎంత?

17. ఒక వ్యక్తి ప్రతి మూడు షాట్‌లలో ఒకసారి లక్ష్యాన్ని ఛేదించాడు. అతడు వరుసగా 4 షాట్లు పేలిస్తే, లక్ష్యాన్ని ఛేదించే సంభావ్యతను కనుక్కోండి.

18. ఒక సంచిలో 2 ఎర్ర, 3 ఆకుపచ్చ, 2 నీలం బంతులు ఉన్నాయి. 2 బంతులను యాదృచ్ఛికంగా తీస్తే ఆ రెండు బంతుల్లో ఏ బంతి కూడా నీలం బంతి కాకపోవడానికి సంభావ్యతను లెక్కించండి.

19. రెండు పాచికలను ఏకకాలంలో దొర్లించినప్పుడు, వాటి మొత్తం ప్రధాన సంఖ్య కావడానికి సంభావ్యత ఎంత?

20. ఉద్యోగం కోసం దరఖాస్తు చేసుకున్న 13 మందిలో 5 మంది మహిళలు, 8 మంది పురుషులు ఉన్నారు. ఉద్యోగం కోసం ఇద్దరు వ్యక్తులను ఎంపిక చేయాలనుకుంటే, ఎంపిక చేసిన ఇద్దరు వ్యక్తుల్లో కనీసం ఒకరైనా మహిళ ఉండే సంభావ్యత ఎంత?

సమాధానాలు

1-4, 2-4, 3-3, 4-1, 5-3, 6-4, 7-4, 8-1, 9-2, 10-3, 11-1, 12-4, 13-4, 14-2, 15-4, 16-3, 17-1, 18-1, 19-1, 20-2.

రచయిత: కంచుమర్తి దొర