కచ్చితంగా కావచ్చు.. కాకపోవచ్చు!
క్రికెట్‌ మ్యాచ్‌లో ఇండియా గెలుస్తుందా లేదా? వర్షం వస్తుందా రాదా? పేకలో జోకర్‌ మనకే పడుతుందా? అన్నీ అనుమానాలే! అయినా ఏమో.. కచ్చితంగా కావచ్చు.. కాకపోవచ్చు. కానీ అరిథ్‌మెటిక్‌లోని సంభావ్యత గురించి తెలుసుకుంటే అంతో ఇంతో దగ్గరగా అంచనా వేయగలిగిన అవకాశమైతే ఉంది. అందరూ నిత్యజీవితంలో రోజూ వేసే లెక్కలే అవి. కాస్త వివరంగా పరీక్షల కోణంలో అభ్యర్థులు తెలుసుకుంటే తేలిగ్గా మార్కులు తెచ్చుకోవచ్చు.
యాదృచ్ఛిక ప్రయోగంలో వెలువడే ఫలితాలను సమసంభవమైనవిగా, ప్రతిరూప ఆవరణమైనవిగా పరిగణిస్తారు. E అనే ఘటన సైద్ధాంతిక లేదా సంప్రదాయక సంభావ్యతను P(E) అని రాస్తారు. ఇక్కడ అన్ని పర్యవసానాలను సమసంభవాలుగా పరిగణించాలి. సాధారణంగా సైద్ధాంతిక సంభావ్యతను ‘సంభావ్యత’(Probability) అని అంటారు.
* సంభావ్యతను మొదటిసారిగా 1795లో పియర్‌ సిమ్సన్‌ లాప్లేస్‌ నిర్వచించాడు. 16వ శతాబ్దంలో ఇటలీకి చెందిన జె.కార్డెన్‌ అనే భౌతిక, గణిత శాస్త్రవేత్త ‘ది బుక్‌ ఆన్‌ గేమ్స్‌ ఆఫ్‌ ఛాన్స్‌’ అనే పుస్తకం రాయడంతో సంభావ్యత ఒక శాస్త్రంగా అవతరించింది.
ఘటన (Event): ఇచ్చిన నిబంధనలకు లోబడి వెలువడే పర్యవసానమే ఘటన.
ప్రాథమిక ఘటన (Primary Event): ఒక ప్రయోగంలో ఒక ఘటనకు అనుకూల పర్యవసానం ఒకటి మాత్రమే ఉంటే దాన్ని ప్రాథమిక ఘటన అంటారు.
సమసంభవ ఘటన (Equally Likely Event): ఒక ప్రయోగంలో రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ఘటనలు సంభవించడానికి సమాన అవకాశాలు ఉంటే వాటిని సమసంభవ ఘటనలు అంటారు.
పరస్పర వివర్జిత ఘటన (Mutually Exclusive Event): ఒక ప్రయోగంలో రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ ఘటనల్లో ఒక ఘటన సంభవం మిగిలిన అన్ని ఘటనల సంభవాన్ని నిరోధిస్తే వాటిని పరస్పర వివర్జిత ఘటనలు అంటారు.
పూరక ఘటన (Complementary Event): ఒక ప్రయోగంలో ఒక ఘటన అనుకూల పర్యవసానాలు లేదా ప్రతిరూప ఆవరణంలో మిగిలిన అన్ని పర్యవసానాలు గల ఘటనను మొదటిదాని పూరక ఘటన అంటారు.
కచ్చిత ఘటన (Certain Event): ఒక ప్రయోగంలో ఒక ఘటన సంభవం కచ్చితం, సంభావ్యత ఒకటి అయితే దాన్ని కచ్చిత లేదా దృఢ ఘటన అంటారు.
అసాధ్య ఘటన (Impossible Event): ఒక ప్రయోగంలో ఒక ఘటన ఎప్పుడూ సాధ్యపడకపోతే దాన్ని అసాధ్య ఘటన అంటారు.
శాంపిల్‌ స్పేస్‌: ఒక ప్రయోగంలో సాధ్యపడే అన్ని అనుకూల పర్యవసానాల సమితిని శాంపిల్‌ స్పేస్‌ అంటారు.
గమనిక 1: ఒక ఘటన E యొక్క సంభావ్యత P(E) అయితే 0 < P(E) < 1
ఒక ప్రయోగంలో ఒక ఘటనకు ఒకటి మాత్రమే అనుకూల పర్యవసానం ఉంటే దాన్ని ప్రాథమిక ఘటన అంటారు. ఒక ప్రయోగంలో అన్ని ప్రాథమిక ఘటనల సంభావ్యత మొత్తం ఒకటి అవుతుంది.
* కచ్చిత ఘటన సంభావ్యత 1
* అసాధ్య ఘటన సంభావ్యత 0
* E ఒక ఘటన అయితే Ē అనేది E కు పూరక ఘటన అవుతుంది.
P(E) + P(Ē) = 1
* అన్ని పర్యవసానాల ఆధారంగా ఒక ఘటన సంభావ్యతను ప్రయోగం చేయకుండానే అంచనా వేయవచ్చు. దీన్నే సైద్ధాంతిక సంభావ్యత (Theoritical probability ability) లేదా సంప్రదాయక సంభావ్యత (Classical probability) అంటారు.
గమనిక 2: ఒక నాణెం లేదా అంతకంటే ఎక్కువ నాణేలను పైకి ఎగరేసినప్పుడు ఏర్పడిన పర్యవసానాల సంఖ్య 2n. ఇక్కడ n అనేది పైకి ఎగరేసిన నాణేల సంఖ్య.
మాదిరి ప్రశ్నలు
1. రెండు నాణేలను పైకి విసిరినప్పుడు ఒక బొమ్మ, ఒక బొరుసు పడే సంభావ్యతను లెక్కించండి.
జవాబు: 2
వివరణ: రెండు నాణేలను పైకి విసిరినప్పుడు సాధ్యపడే పర్యవసానాలు (H, T), (T, H), (T, T), (H, H).
2. మూడు నాణేలను పైకి విసిరినప్పుడు రెండు బొమ్మలు, ఒక బొరుసు పడే సంభావ్యత ఎంత?
జవాబు: 4
వివరణ: మూడు నాణేలను పైకి విసిరినప్పుడు సాధ్యపడే పర్యవసానాలు (H, H, H), (H, T, H), (T, H, H), (H, H, T), (T, T, T), (T, H, T), (T, T, H), (H, T, T).
3. ఐదు నాణేలను పైకి విసిరినప్పుడు కనీసం ఒక బొమ్మ పడే సంభావత్యను లెక్కించండి.
జవాబు: 3
వివరణ: ఐదు నాణేలను పైకి విసిరినప్పుడు కనీసం ఒక బొమ్మ పడే సంభావత్య (T, T, T, T, T) మినహా అనుకూలమైన కేసుల సంఖ్య 31.
4. 8 నాణేలను ఏకకాలంలో పైకి విసిరినప్పుడు కచ్చితంగా మూడు బొరుసులు పడే సంభావ్యత ఎంత?
జవాబు: 2
వివరణ: 8 నాణేలను పైకి విసిరినప్పుడు కనీసం 3 బొరుసులు పడే సంభావ్యత
5. ఆరు నాణేలను పైకి విసిరినప్పుడు కనీసం 3 బొరుసులు పడే సంభావ్యతను లెక్కించండి.
జవాబు: 4
వివరణ: ఆరు నాణేలను పైకి విసిరినప్పుడు కనీసం 3 బొరుసులు పడే సంభావ్యత
3 లేదా 4 లేదా 5 లేదా 6 బొరుసులు నమోదవుతాయి.
6. ఒక నాణేన్ని 10 సార్లు పైకి విసిరిప్పుడు కచ్చితంగా 6 బొరుసులు పొందే సంభావత్యను లెక్కించండి.
రచయిత: కంచుమర్తి దొర
