వైశాల్యాలు

చతురస్రం
భుజం  =  a,  కర్ణం =  d  అయితే  వైశాల్యం =  a²  చ.యూ.
చుట్టుకొలత = 4a,  కర్ణం =  d  అయితే   వైశాల్యం =   
 కర్ణం  d      
 

దీర్ఘచతురస్రం
దీర్ఘచతురస్రం పొడవు l యూనిట్లు, వెడల్పు b యూనిట్లు అయితే
వైశాల్యం = పొడవు ×  వెడల్పు =  lb చ.యూ.
చుట్టుకొలత = 2 (పొడవు + వెడల్పు) = 2 (l + b) యూనిట్లు     
 

సమాంతర చతుర్భుజం
సమాంతర చతుర్భుజం భూమి AB = b, దానికి సాదృశ ఉన్నతి లేదా
ఎత్తు = h అయితే
వైశాల్యం = bh చ.యూ.
* BC భూమిగా, దానిపై సాదృశ ఎత్తుతో కూడా వైశాల్యాన్ని కనుక్కోవచ్చు.     

ట్రెపీజియం
ట్రెపీజియంలో సమాంతర భుజాలు a,  b
వాటి మధ్య (లంబ) దూరం h అయితే
వైశాల్యం =   (సమాంతర భుజాల మొత్తం) × వాటి మధ్య లంబ దూరం
=  (a + b) h చ.యూ.     

 

రాంబస్
రాంబస్ భుజం = a, కర్ణాలు d₁, d₂ అయితే రాంబస్ వైశాల్యం =   × కర్ణాల లబ్దం
=   × d₁ × d₂ చ.యూ.
కర్ణాలు ఇస్తే రాంబస్ భుజం =  

చతుర్భుజం
ఒక కర్ణం AC = d, దానిపైకి ఎదుటి శీర్షాల నుంచి గీసిన లంబాలు h₁, h₂ అయితే
వైశాల్యం =    ×  కర్ణం × దానిపైకి గీసిన అంతర లంబాల మొత్తాలు
            =    × d (h₁ + h₂) చ.యూ.     
 

గది నాలుగు గోడల వైశాల్యం
ఒక గది పొడవు, వెడల్పు, ఎత్తులు వరుసగా l, b, h అయితే
గది నాలుగు గోడల వైశాల్యం A = 2h (l + b) చ.యూ.
గది నేల చుట్టుకొలత = 2 ( l + b) కాబట్టి,
నాలుగు గోడల వైశాల్యం = నేల చుట్టుకొలత × గది ఎత్తు
చుట్టు కొలత = P అయితే = Ph చ.యూ.
గది నేల చతురస్రాకారంలో ఉంటే l = b కాబట్టి గది నాలుగు గోడల వైశాల్యం = 4lh అవుతుంది.
గది పొడవు, వెడల్పు, ఎత్తులు మూడూ సమానమైతే గది నాలుగు గోడల వైశాల్యం = 4a² చ.యూ.     

దీర్ఘ చతురస్రాకార బాటలు
i ) బయటి బాట వైశాల్యం:
దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలం చుట్టూ బయటివైపు ' x ' మీటర్ల బాటను నిర్మిస్తే,
బయటి బాట వైశాల్యం = 2 × (l + b + 2x)     

 ii ) లోపలి బాట వైశాల్యం: దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలం పొడవు l,
వెడల్పు b, దాని చుట్టూ లోపలివైపు ' x ' మీటర్ల బాటను నిర్మిస్తే
లోపలి బాట వైశాల్యం = 2x (l + b - 2x)     
 

 

iii ) రెండు బాటల వైశాల్యం: దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలం మధ్య రెండు బాటలను ఒకటి పొడవుకు సమాంతరంగా, మరొకటి వెడల్పునకు సమాంతరంగా నిర్మిస్తే
రెండు బాటల వైశాల్యం = x (l + b - x)     

వృత్తాకార బాట లేదా కంకణం వైశాల్యం
రెండు ఏక కేంద్ర వృత్తాల మధ్య ఉన్న ప్రదేశాన్ని కంకణం లేదా అంగుళ్యాకార స్థలం అంటారు. పటంలోని ఛాయావృత్త భాగం కంకణాన్ని సూచిస్తుంది. ఒకే తలంలో ఉన్న రెండు ఏక కేంద్ర వృత్తాల్లో బాహ్య, అంతరవృత్త వ్యాసార్ధాలు వరుసగా R, r అయితే అంగుళ్యాకార స్థలం లేదా బాట వెడల్పు  =  R - r

 
 వృత్తం
     

అర్ధవృత్తం

     
1. ఒక దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలం పొడవు 13.5 మీ., వెడల్పు 8 మీ. అయితే దాని వైశాల్యం ఎంత?
జ: 108 చ.యూ.
వివరణ:  ఈ ప్రశ్నలో పొడవు, వెడల్పు ఉన్నాయి.  కాబట్టి,
వైశాల్యం =  పొడవు  ×  వెడల్పు  =   13.5  ×   8  =  108.0 చ.యూ
 

2. ఒక దీర్ఘచతురస్రం పొడవు, వెడల్పులను 20 శాతం పెంచితే దాని వైశాల్యంలో మార్పు ఎంత శాతం?
జ: 44%      
వివరణ: ఈ ప్రశ్నలో వాస్తవ పొడవు =  x మీ. వాస్తవ వెడల్పు = y మీ.  అప్పుడు
వైశాల్యం = (x y) m²    
కొత్త  పొడవు =    

 

3. ఒక దీర్ఘ చతురస్రం పొడవు 60% పెంచితే, దాని వైశాల్యంలో మార్పు లేకుండా ఉండాలంటే, వెడల్పు ఎంత శాతం తగ్గించాలి?
జ: 37 1/2%  
వివరణ: ఈ ప్రశ్నలో వాస్తవ పొడవు = x, వాస్తవ వెడల్పు =  y  వైశాల్యం = xy
కొత్తపొడవు   

4. రెండు చతురస్రాల్లో ఒకదాని కర్ణం పొడవు మరోదాని కర్ణం పొడవుకు రెట్టింపు అయితే ఆ రెండు చతురస్ర వైశాల్యాల నిష్పత్తి ఎంత?
జ: 4 : 1
వివరణ: ఈ ప్రశ్నలో రెండు చతురస్ర కర్ణాల పొడవులు 2d, d అనుకుంటే వాటి వైశాల్యాల మధ్య నిష్పత్తి

         
5. వృత్త వ్యాసార్ధం 7 యూనిట్లయితే వైశాల్యం ఎంత?
జ: 154 చ.యూ.  
వివరణ: ఈ ప్రశ్నలో వ్యాసార్ధం ఇచ్చినప్పుడు వైశాల్యం

    
                             

6. ఒక వృత్తం వైశాల్యం 220 చ.సెం.మీ. దాని లోపల ఒక పెద్ద చతురస్రాన్ని నిర్మిస్తే చతురస్ర వైశాల్యం ఎంత?
జ: 140 cm²   
వివరణ:  ఈ ప్రశ్నలో వృత్తం లోపల చతురస్రం నిర్మించాలి.

      
 

7. ఒక దీర్ఘచతురస్రం పొడవు 18 సెం.మీ., వెడల్పు 14 సెం.మీ. దాని లోపల నిర్మించగల పెద్ద వృత్త వైశాల్యం ఎంత?
జ: 154 సెం.మీ.²

వివరణ: ఇచ్చిన సమాచారాన్ని ముందుగా పటం ద్వారా చూపి, లెక్క చేస్తే సులభంగా వస్తుంది. వృత్త వ్యాసార్ధం కావాలంటే దీర్ఘచతురస్రం వెడల్పును సగం చేయాలి.

 
8. ఒక అర్థవృత్తం వ్యాసార్ధం r. దాని లోపల ఒక పెద్ద త్రిభుజాన్ని నిర్మిస్తే త్రిభుజ వైశాల్యం ఎంత?
జ: r²
వివరణ: ఇచ్చిన సమాచారాన్ని పటం ద్వారా చూపిస్తే లెక్క సులభంగా చేయవచ్చు. అర్థవృత్త కేంద్రం 'O' నుంచి వృత్తంపైకి గీసిన రేఖను వ్యాసార్ధం r  అంటారు.    

          త్రిభుజం వైశాల్యం =   ×  భూమి × ఎత్తు
                                 =   ×  2r ×  r =  అవుతుంది.

9. 7 సెం.మీ. వ్యాసార్ధమున్న 4 వృత్తాకార కార్డుబోర్డు ముక్కలను ఒకదానిపక్కన ఒకటి, ప్రతి రెండూ కలిసేలా అమరిస్తే, దాని మధ్య భాగంలో ఖాళీ స్థల వైశాల్యం ఎంత?
జ: 42  సెం.మీ.²
వివరణ: ఇచ్చిన సమాచారం ప్రకారం కావాల్సిన స్థల వైశాల్యం               

10.  ఒక వృత్త వ్యాసార్ధాన్ని రెట్టింపు చేస్తే దాని వైశాల్యం ఎంత శాతం పెరుగుతుంది?
జ: 300% 
వివరణ: వ్యాసార్ధం  R  అనుకుంటే  కొత్త వ్యాసార్ధం = 2R అవుతుంది.

                   

11. రాంబస్ వైశాల్యం 25 చ.సెం.మీ. దాని ఒక కర్ణం పొడవు మరో కర్ణం పొడవుకు రెట్టింపు అయితే, రెండు కర్ణాల మొత్తం ఎంత?
జ: 15  సెం.మీ.
వివరణ: రాంబస్ ఒక కర్ణం పొడవు d. మరో కర్ణం పొడవు 2d  అవుతుంది. రెండు కర్ణాలు తెలిసినప్పుడు
       వైశాల్యం 25 =   ×  d  ×  2d  
                   d²  =  52    d  =  5
      కర్ణాల మొత్తం (d + 2d)  =  3d   
                                       =  3 ( 5 ) = 15 సెం.మీ. 

త్రిభుజాలు

భుజాలను బట్టి త్రిభుజాలు మూడు రకాలు అవి:
1) సమబాహు త్రిభుజం
2) సమద్విబాహు త్రిభుజం
3) విషమబాహు త్రిభుజం
సమబాహు త్రిభుజం: ఒక త్రిభుజం మూడు భుజాల పొడవులు సమానమైతే దాన్ని సమబాహు త్రిభుజం అంటారు. సమబాహు త్రిభుజంలో కోణాలన్నీ సమానం. ఒక్కో కోణం 60º ఉంటుంది.
సమద్విబాహు త్రిభుజం: ఒక త్రిభుజంలో రెండు భుజాలు సామానమైతే దాన్ని సమద్విబాహు త్రిభుజం అంటారు. సమద్విబాహు త్రిభుజంలో భూకోణాలు సర్వసమానం.
విషమబాహు త్రిభుజం: ఏ రెండు భుజాల కొలతలు సమానంకాని త్రిభుజాన్ని విషమబాహు త్రిభుజం అంటారు.
ఒక త్రిభుజంలో మూడు కోణాల కొలతల మొత్తం 180º.
త్రిభుజ వైశాల్యం =  × భూమి × ఎత్తు.     =  × b × h

త్రిభుజ భుజాల కొలతలు a, b, c లు అయితే
త్రిభుజ వైశాల్యం = 

                     

* త్రిభుజ చుట్టుకొలత  (p) = a + b + c
* సమబాహు త్రిభుజ భుజం 'a' అయితే

i) వైశాల్యం =  చ.యూ. ()
ii) చుట్టుకొలత = 3a యూ.    
  iii) సమబాహు త్రిభుజం ఎత్తు h = 
*  లంబకోణ త్రిభుజం  (i) చుట్టుకొలత b + h + d కర్ణం d =  (b, h లు భుజాలు )
వైశాల్యం =  చ.యూ.

1) ఒక త్రిభుజం మూడు భుజాల పొడవులు 5 సెం.మీ., 12 సెం.మీ., 13 సెం.మీ. అయితే వైశాల్యం ఎంత? 
జ:  30 cm²
వివరణ: ఇచ్చిన త్రిభుజం లంబకోణ త్రిభుజం. ఎందుకంటే రెండు భుజాల వర్గాల మొత్తం మూడో భుజం వర్గానికి సమానం. 
(5)² + (12)² = (13)²
అప్పుడు భూమి = 12 cm, ఎత్తు = 5 cm
 వైశాల్యం =  × b × h

              
 

2) త్రిభుజం వైశాల్యం 1176 , దాని భూమి, ఎత్తుల మధ్య నిష్పత్తి 3 : 4 అయితే దాని ఎత్తు ఎంత?
జ:  56 సెం.మీ.
వివరణ: ఈ ప్రశ్నలో త్రిభుజం భూమి = 3x cm , ఎత్తు = 4x అనుకోవాలి. 
అయితే వైశాల్యం =   × 3 × X4 × = 1176 
12x² = 2352 

x² =  = 196 
x² = 96 
x = 14 
.^.. ఎత్తు = 4x = 4 (14) = 56 సెం.మీ.
 

3) ఒక సమబాహు త్రిభుజం ఎత్తు 10 సెం.మీ.అయితే వైశాల్యం ఎంత?
 జ:   
వివరణ:  సమబాహు త్రిభుజం భుజం a అనుకోండి
(కర్ణం)² = (ఎ.భు)² + (ఆ.భు)²
     

వైశాల్యం = 

          
4) ఒక త్రిభుజం భుజాల పొడవులు 3 సెం.మీ., 4 సెం.మీ., 5 సెం.మీ. వాటి మధ్య బిందువులతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం ఎంత?
జ:    
వివరణ:  ఒక త్రిభుజం పొడవులు a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm ఇందులో రెండు భుజాల వర్ణాల మొత్తం మూడో భుజ వర్గానికి సమానం. కాబట్టి, ఇది లంబకోణ త్రిభుజం. భూమి = 3 సెం.మీ. ఎత్తు = 4 సెం.మీ. 1     

వైశాల్యం =  × 3 × 4 = 6 సెం.మీ.²
వాటి మధ్య బిందువులతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం

5) ఒక లంబకోణ త్రిభుజ చుట్టుకొలత 60 సెం.మీ. దాని కర్ణం పొడవు 26 సెం.మీ. అయితే, ఆ త్రిభుజ వైశాల్యం ఎంత?
జ: 120 సెం.మీ.²
వివరణ: లంబకోణ త్రిభుజం భూమి = 
b^cm ఎత్తు = h^cm అనుకోండి
చుట్టుకొలత సూత్రం ప్రకారం       
b + h + 26 = 60
b + h = 60 - 26
b + h = 34
b² + h² = (26)²
(b + h)² - (b² + h²) = (34)² - (26)²
b² + h² + 2bh - b² - h² = 1156 - 676

2bh = 480
bh =    = 240
 × 240 = 120 cm²
 

6) లంబకోణ త్రిభుజం ఒక భుజం మరో భుజానికి రెట్టింపు. కర్ణం పొడవు 10 సెం.మీ అయితే వైశాల్యం ఎంత? 
జ: 20 సెం.మీ.²
వివరణ:  ఒక భుజం a సెం.మీ అనుకుంటే మరో భుజం 2a సెం .మీ అవుతుంది.
(a)² + (2a)² = (10)²
a² + 4a² = 100
5a² = 100     
a² = 20      
వైశాల్యం =   × a × 2a
            = a² = 20 cm²

చతురస్రం: భుజం = a,
కర్ణం = d
i) చుట్టుకొలత = 4a
ii) వైశాల్యం = a² చ.యూ. 
iii) వైశ్యాల్యం =  చ.యూ. 
 

7) 'a' సెం.మీ. భుజం పొడవున్న చతురస్ర వైశాల్యానికి సమానమైన 'a' సెం.మీ. భూమి ఉన్న త్రిభుజ వైశాల్యానికి సమానమైతే త్రిభుజం ఎత్తు ఎంత?
జ: 2a
వివరణ:  a భుజం పొడవున్న చతురస్ర వైశ్యాల్యం =  a² cm² a సెం.మీ. భూమి ఉన్న త్రిభుజ వైశాల్యం =   × a × h
ఈ రెండు సమానం.
 × a × h = a²
h = a² × 
h = 2a cm

8) సమబహు త్రిభుజ వైశాల్యం X, చతురస్ర వైశాల్యం Y వాటి చుట్టుకొలతలు సమానమైతే X విలువ ఎంత? 
జ: Y  కంటే తక్కువ 
వివరణ:  సమబాహు త్రిభుజ భుజం పొడవు a సెం.మీ. , చతురస్ర భుజం పొడవు b సెం.మీ. అనుకోవాలి. 
అయితే X =  a², Y = b²
వాటి చుట్టుకొలతలు  సమానం 3a = 4b
b = 
.^.. X =  Xa²,  

Y = 
ఇప్పుడు  a² a² = 0.433 a²
 = 0.5625 a²
 X < Y అవుతుంది.
 

9) ఒక చతురస్రాకార గది భుజం పొడవు 3 మీ. దాని లోపల 20 సెం.మీ. X 20 సెం.మీ. పొడవు ఉన్న బండలను పరచాలి. అయితే ఎన్ని బండలు అవసరం?
జ: 225

వివరణ: గది చతురస్రాకారంలో ఉంది. కాబట్టి పొడవు, వెడల్పు సమానం. 3 మీటర్లు. అంటే 300 సెం.మీ.అవుతుంది.

                     
10) ఒక వ్యక్తి చతురస్ర భుజాన్ని 2% ఎక్కువ కొలిస్తే దాని వైశాల్యం ఎంత శాతం ఎక్కువగా ఉంటుంది? 
జ: 4.04 %
వివరణ: దీనిలో మొదట చతురస్ర భుజం పొడవు 100 సెం.మీ. కానీ ఎక్కువ కొలిచింది 2 శాతం కాబట్టి దాని పొడవు 102 సెం.మీ. అవుతుంది.
A₁ = (100 × 100) cm², A₂ = (102 × 102) cm²
A₂ - A₁ = [(102)² - (100)²] = (102 + 100)
(102 - 100) = 404 cm²
పెరిగిన వైశాల్యం =  × 100 = 4.04% 

 

11) చతురస్ర వైశాల్యం 69 శాతం పెరిగితే దాని భుజం పొడవు ఎంత శాతం పెరుగుతుంది?
జ:  30%
వివరణ:  మొదట చతురస్ర వైశాల్యం = 100 cm²
కొత్త చతురస్ర వైశాల్యం = 169 cm²
మొదటి చతుర్రస భుజం పొడవు = 10 సెం.మీ.
కొత్త చతురస్ర భుజం పొడవు = 13 సెం.మీ.
పెరిగిన భుజం పొడవు = 13 - 10 = 3 సెం.మీ.
 పెరిగిన % =  × 100 = 30%.
 

12) రెండు చతురస్ర వైశాల్యాల మధ్య నిష్పత్తి 225 : 256 అయితే వాటి చుట్టుకొలతల మధ్య నిష్పత్తి ఎంత?
జ: 15 : 16 
వివరణ: ఒక చతురస్ర వైశాల్యం  a² మరొక చతురస్ర వైశాల్యం  b² అనుకుంటే వాటి మధ్య నిష్పత్తి

చుట్టుకొలత మధ్య నిష్పత్తి 

 = 15 : 16 
 

13) చతురస్ర భుజాన్ని 20% పెంచితే దాని చుట్టుకొలత ఎంత శాతం పెరుగుతుంది?
జ:  20%
వివరణ:  చతురస్ర భుజాన్ని 100 సెం.మీ. అనుకుంటే దాని చుట్టుకొలత 400 సెం.మీ.పెరిగితే చతురస్ర భుజం చుట్టుకొలత = 120 దాని చుట్టుకొలత = 4 × 120 = 480
పెరిగిన చుట్టుకొలత = 480 - 400 = 80. 
పెరిగిన శాతం =  × 100 = 20%
గమనిక: చతురస్ర భుజం ఎంత శాతం పెరుగుతుందో లేదా తగ్గుతుందో దాని చుట్టుకొలత కూడా అంతే శాతం పెరుగుతుంది లేదా తగ్గుతుంది.