సంక్లిష్ట ఘాతాల గణనకు.. సరళీకరణకు!
ఒక నాణేన్ని వందసార్లు ఎగుర వేస్తే ఎన్నిసార్లు బొమ్మలు, బొరుసులు పడే అవకాశం ఉంది అంటే వెంటనే చెప్పడం కష్టం. కొంత సొమ్మును వడ్డీకి ఇచ్చారు. పది సంవత్సరాలకు ఎంత వడ్డీ వస్తుందంటే సాధారణ పద్ధతుల్లో లెక్కగట్టడానికి సమయం పడుతుంది. కానీ ఆ రెండు సమస్యలను బీజీయ సమాస రూపంలో రాసుకొని గణిస్తే జవాబు వేగంగా దొరుకుతుంది. రెండు పదాలను బీజగణిత రూపంలో వ్యక్తీకరించడమే ద్విపద. కూడికలు, తీసివేతలతో ఉన్న ఆ రెండు పదాల పెద్ద పెద్ద ఘాతాలను విస్తరించడానికి సూత్రాలను అందించేదే ద్విపద సిద్ధాంతం. ఇది సంక్లిష్ట వ్యక్తీకరణలను సరళీకరించి, సమాధానాలను సులభంగా సాధించడానికి సాయపడుతుంది.
రెండు పదాలు ఉన్న బీజీయ సమాసాన్ని ద్విపది అంటారు. ద్విపద సిద్ధాంతాన్ని పరిచయం చేసినవారు న్యూటన్‌.
ఉదా:x + y, 2x + y, x2 + y2, a − b
* ద్విపది విస్తరణలోని పదాల సంఖ్య, దాని ఘాతాంకం కంటే ఒకటి ఎక్కువ.
ఉదా: (a + b)2 లోని పదాల సంఖ్య = 3
(a + b)nలోని పదాల సంఖ్య = n + 1
* విస్తరణలో మొత్తం పదాలు = n + 1
* మొదటిపదం(T1) =nC0xny0, రెండో పదం(T2) = nC1xn−1y1
* విస్తరణలో(r + 1) వ పదాన్ని సామాన్య పదం అంటారు.
1) (1 + x)n = C0 + C1x + C2x2 + .... + Cnxn
C0, C1, C2, .... Cnలను ద్విపది గుణకాలు అంటారు.
2) (1 + x)nవిస్తరణలోx = 1ను ప్రతిక్షేపిస్తే(1 + 1)n = C0 + C1 + C2 + .... + Cn
ద్విపది గుణకాల మొత్తం = 2n
3) (1 + x)n విస్తరణలోx = −1ను ప్రతిక్షేపిస్తే(1 − 1)n = C0 − C1 + C2 − C3 .....
C0 − C1 + C2 − C3 .... = 0
4) C0 + C2 + C4 .... = C1 + C3 + C5 .... = 2n−1
మాదిరి ప్రశ్నలు
1. (x + y)2023 విస్తరణలోని పదాల సంఖ్య ఎంత?
1) 2023 2) 2024 3) 0 4) 2026
వివరణ: (x + y)nవిస్తరణలో(n + 1)పదాలు ఉంటాయి.
(x + y)2023లో n = 2023 కాబట్టి n + 1 = 2023 + 1 = 2024
2024 పదాలు ఉంటాయి
జ: 2
2. (x + y + z)n విస్తరణలోని పదాల సంఖ్య?
1) nC2 2) n + 1C1 3) n + 2C2 4) n + 1C2
వివరణ:(x1 + x2 + x3 .... xr)n విస్తరణలో పదాల సంఖ్య = n + r − 1Cr − 1
(x + y + z)n లో n = n, r = 3
పదాల సంఖ్య = n + 3 − 1C3−1 = n + 2C2
జ: 3
3. (a + b + c + d)5 విస్తరణలో పదాల సంఖ్య?
1) 20 2) 120 3) 336 4) 56
వివరణ: పదాల సంఖ్య = n + r −1Cr −1
n = 5, r = 4
జ: 4
4. (1 + x)5 విస్తరణలో గుణకాల మొత్తం?
1) 16 2) 30 3) 32 4) 64
వివరణ: x = 1ను ప్రతిక్షేపిస్తే విస్తరణలో గుణకాల మొత్తం వస్తుంది.
(1 + x)5 = (1 + 1)5 = 25 = 32
జ: 3
5. (1 + x - 3x2)171 విస్తరణలోని పదాల సంఖ్య?
1) 0 2) 32 3) 64 4) 1
వివరణ: x = 1ను ప్రతిక్షేపించగా (1 + 1 − 3(1)2)171
= (2 − 3)171 = (−1)171 = −1
జ: 4
6. (3x - 4y)7విస్తరణలో 5 వ పదం?
1) 7C4 (3x)3 (4y)4 2) 7C4 (3x)4 (4y)3
3) 7C4 (3x)5 (4y)2 4) ఏదీకాదు
వివరణ: T5 = T4 + 1
Tr + 1 = nCr (x)n −ryr
T5 = T4 + 1 = 7C4 (3x)7− 4 (−4y)4
= 7C4 (3x)3 (4y)4
జ: 1
7. (2a + 5b)8విస్తరణలో 6 వ పదం?
1) 8C5 23 55 a3 b5 2) 8C5 25 53 a3 b5
3) 8C4 23 53 a3 b6 4) ఏదీకాదు
వివరణ: Tr + 1 = nCr (x)n −ryr
T6 = T5 + 1 = 8C5 (2a)8 −5 (5b)5
= 8C5 23 a3 55 b5
= 8C5 23 55 a3 b5
జ: 1
8. (3a - 5b)6 విస్తరణలో మధ్యపదం ఎంత?
1) 6C3 35 53 a3 b3 2) −6C3 33 53 a3 b3
3) −6C3 35 53 a3 b3 4) ఏదీకాదు
వివరణ: (x + y)nవిస్తరణలో n సరిసంఖ్య అయితే
(3a − 5b)6, n = 6అనేది సరిసంఖ్య కాబట్టి
T4 = T3+1 = 6C3 (3a)6 −3(−5b)3
6C3 33 a3 (−5)3 b3
=−6C3 33 53 a3 b3
జ: 2
9. (2x + 3y)7 విస్తరణలో మధ్యపదం?
1) T4, T5 2) T3, T4 3) T5, T6 4) ఏదీకాదు
వివరణ: (x + y)nలో n బేసిసంఖ్య అయితే మధ్యపదాలు రెండు ఉంటాయి. అవి
14. (1 + x)n విస్తరణలో గుణకాల మొత్తం 4096 అయితే గరిష్ఠ గుణకం?
1) 12C3 2) 12C6 3) 12C9 4) 12C10
వివరణ: గుణకాల మొత్తం కావాలంటేx = 1 ను ప్రతిక్షేపించాలి.
(1 + 1)n = 4096
2n = 4096 ⇒ 2n = 212
n = 12
జ: 2
15. 25C10 + 24C10 + 23C10 + ..... + 10C1 =
1) 26C10 2) 26C11 3) 26C15 4) 25C11
వివరణ: 10C10 + 11C10 + 12C10 + ..... + 25C10
(nCr + nCr −1 = (n + 1)Cr)
= 11C11 + 11C10 + 12C10 + ..... + 25C10
= 12C11 + 12C10 + ..... + 25C10
25C11 + 25C10 = 26C11
జ: 2
రచయిత: డి.సీహెచ్‌.రాంబాబు
