భిన్నాలు

భిన్నం: ఒక మొత్తంలో కొంత భాగం లేదా ఒక సమూహంలో కొన్నింటిని భిన్నం అంటారు.

భిన్నాలు - రకాలు
    i) క్రమ భిన్నం
    ii) అపక్రమ భిన్నం
    iii) మిశ్రమ భిన్నం
    iv) సజాతి భిన్నం
    v) విజాతి భిన్నం
    vi) సమాన భిన్నాలు

క్రమ భిన్నం: లవం కంటే హారం (x < y) ఎక్కువగా ఉన్న భిన్నాలను క్రమ భిన్నాలు అంటారు.

అపక్రమ భిన్నం: హారం కంటే లవం (x > y) పెద్దదిగా ఉన్న భిన్నాలను అపక్రమ భిన్నాలు అంటారు.

మిశ్రమ భిన్నం: ఒక పూర్ణ సంఖ్య, ఒక క్రమభిన్నం కలిసి ఉండే సంఖ్యను మిశ్రమ భిన్నం అంటారు.

సజాతి భిన్నం: సమాన హారాలు ఉండే భిన్నాలను సజాతి భిన్నాలు అంటారు.

విజాతి భిన్నం: హారాలు అసమానంగా ఉండే భిన్నాలను విజాతి భిన్నాలు అంటారు.

భిన్నాల‌ను పోల్చడం
 హారాలు స‌మాన‌మైన‌ప్పుడు ల‌వం విలువ పెరిగే కొద్దీ భిన్నం విలువ పెరుగుతుంది.

      
  లవాలు సమానమైనప్పుడు హారం విలువ పెరిగేకొద్దీ భిన్నం విలువ తగ్గుతుంది.

       

మిశ్రమ భిన్నాన్ని అపక్రమ భిన్నంగా మార్చడం

 ఒక భిన్నం యొక్క లవ, హారాలు రెండింటినీ ఒకే సంఖ్యతో గుణించినా లేదా భాగించినా ఆ భిన్నం విలువ మారదు.

    

 ఒక క్రమ భిన్నం యొక్క లవ, హారాలు రెండింటికీ ఒకే సంఖ్యను కలిపితే ఆ భిన్నం విలువ పెరుగుతుంది.

      

 ఒక క్రమ భిన్నం యొక్క లవ, హారాలు రెండింటి నుంచి ఒకే సంఖ్యను తీసివేస్తే ఆ భిన్నం విలువ తగ్గుతుంది.

   

భిన్నాల సంకలనం
హారాలు సమానమైనప్పుడు భిన్నాల కూడికలో పై లవాలను చూడాలి.

     

 మిశ్రమ భిన్నాలను అపక్రమ భిన్నాలుగా మార్చి సంకలనం చేయవచ్చు.

       

భిన్నాల వ్యవకలనం
హారాలు సమానమైనప్పుడు భిన్నాల తీసివేతలో పై లవాలను చూడాలి.

  
   

  మిశ్రమ భిన్నాలను అపక్రమ భిన్నాలుగా మార్చి వ్యవకలనం చేయవచ్చు.

      

భిన్నాల గుణకారం
* ఒక భిన్నాన్ని ఒక పూర్ణాంకంతో లేదా మరొక భిన్నంతో గుణిస్తే వచ్చే భిన్నాన్ని లబ్ధ భిన్నం అంటారు.
* రెండు భిన్నాలను గుణిస్తే వచ్చే లబ్ధ భిన్నంలోని లవం ఆ రెండు భిన్నాల్లోని లవాల లబ్ధానికి, హారం ఆ రెండు భిన్నాల్లోని హారాల లబ్ధానికి సమానంగా ఉంటాయి.

   

భిన్నాల భాగహారం
ఒక భిన్నాన్ని మరొక భిన్నంతో భాగించాలంటే మొదటి భిన్నాన్ని, భాగించే భిన్నం యొక్క గుణకార విలోమంతో గుణించాలి.

        
 ఒక భిన్నాన్ని పూర్ణాంకంతో భాగిస్తే లవంలో మార్పు ఉండదు. ఇచ్చిన భిన్నంలోని హారం, భాగించే పూర్ణాంకాల లబ్ధం భిన్న హారమవుతుంది.

మాదిరి ప్రశ్నలు

1. నలుగురు సభ్యులున్న కుటుంబంలో రోజూ 15 చపాతీలు తింటారు. తల్లి భాగం, పిల్లలు  భాగం తినగా, మిగిలిన ఎన్ని చపాతీలు తండ్రి తిన్నాడు?
సాధన: 

  
  తండ్రి తిన్న చపాతీలు = ?
  మొత్తం 15 చపాతీల్లో 12 తీసివేయగా 3 మిగిలాయి.
 
 

2. ఒక భిన్నంలో హారం లవం కంటే 3 ఎక్కువ. ఒకవేళ లవం 7 పెంచి హారం 2 తగ్గిస్తే వచ్చే ఫలితం 2 అయితే ఆ భిన్నం ఎంత?
సాధన:
 
 

3. ఒక బాలికను ఒక సంఖ్యను

తో గుణించమంటే ఆమె పొరపాటున భాగించింది.
దాని వల్ల వచ్చే ఫలితం అసలు ఫలితం కంటే 15 ఎక్కువ అయితే ఆ సంఖ్య ఎంత?
సాధన:
 

4. ఉపేంద్ర కూరగాయలు కొనడానికి బజారుకు వెళ్లాడు. అతడు రెండు కిలోల 250 గ్రాముల టమాటాలు, రెండు కిలోల 500 గ్రాముల బంగాళదుంపలు, 750 గ్రాముల బెండకాయలు, 125 గ్రాముల పచ్చిమిర్చి కొన్నాడు. అయితే ఉపేంద్ర కొన్న మొత్తం కూరగాయల బరువు ఎంత?
సాధన:

5. కింది భాగాహారాలు చేయండి.

దశాంశ భిన్నాలు
* హారాలు 10, 100, 1000 ........ (10 యొక్క ఘాతాలు) గా ఉండే భిన్నాలను దశాంశ భిన్నాలు అంటారు.

 * ఒక దశాంశ భిన్నంలో రెండు భాగాలు ఉంటాయి. దశాంశ బిందువుకు ఎడమ వైపు ఉన్న భాగాన్ని పూర్ణాంక భాగం, కుడివైపు ఉన్న భాగాన్ని దశాంశ భాగం అంటారు.

 * ఒక సంఖ్య యొక్క దశాంశ భాగం ఎప్పుడూ 1 కంటే తక్కువ (<1)
 * దశాంశ భిన్నంలో కుడి పక్కన అత్యంత చివరలో సున్నాలు చేర్చడం వల్ల ఆ భిన్న విలువ మారదు.
ఉదా: 0.5 = 0.50 = 0.500 = 0.5000.....
 * భిన్నంలో లవహారాల్లో ఒకే సంఖ్యలో దశాంశ స్థానాలు ఉంటే, దశాంశ బిందువును తొలగించవచ్చు.
     
 

దశాంశ భిన్నాలను సామాన్య భిన్నాలుగా మార్చడం
* దశాంశ బిందువును తొలగించి ఏర్పడిన సంఖ్యను లవంగా రాయాలి.
* దశాంశ భాగంలో ఎన్ని స్థానాలున్నాయో గుర్తించి అన్ని సున్నాలను 1 తర్వాత ఉంచి హారంగా రాయాలి.
 

 
 

సామాన్య భిన్నాలను దశాంశాలుగా మార్చడం
* సామాన్య భిన్నాన్ని దశాంశ భిన్నంగా మార్చాలంటే దాని లవాన్ని హారంతో భాగించాలి.
   
 4 దశాంశ స్థానాలున్న మిక్కిలి చిన్న దశాంశ భిన్నం = 0.0001
 4 దశాంశ స్థానాలున్న మిక్కిలి పెద్ద దశాంశ భిన్నం = 0.9999
 

దశాంశాలు - రకాలు
1. ఆవృత దశాంశం: దశాంశ భిన్నంలో ఒక అంకె లేదా కొన్ని అంకెల సముదాయం ఎడతెగకుండా పునరావృతమైతే, అలాంటి సంఖ్యను ఆవృత దశాంశం అంటారు.
   
* ఒక దశాంశంలో అంతం లేకుండా పునరావృతం అయ్యే అంకెల సంఖ్యను అవధి అంటారు. పునరావృతమయ్యే అంకెల సమూహాన్ని వ్యవధి అంటారు.
  

 

2. శుద్ధ ఆవృత దశాంశం: ఒక ఆవృత దశాంశంలో, దశాంశ బిందువు తర్వాత అన్ని అంకెలూ పునరావృతమైతే దాన్ని శుద్ధ ఆవృత దశాంశం అంటారు.
   
 

3. మిశ్రమ ఆవృత దశాంశం: దశాంశ భిన్నంలోని కొన్ని అంకెలు మాత్రమే పునరావృతమవుతూ కొన్ని కాకుండా ఉంటే దాన్ని మిశ్రమ ఆవృత దశాంశం అంటారు.

దశాంశ భిన్నాల సంకలన, వ్యవకలనాలు
భిన్నాలను ఒక దాని కింద ఒకటి దశాంశ బిందువు ఒకే నిలువ గీతపై ఉండేలా రాయాలి. ఇప్పుడు ఆయా స్థానాల్లో ఉండే అంకెలను మామూలు పద్ధతిలో కలపడం (కూడటం) లేదా తీసివేయడం చేయవచ్చు.

దశాంశాల గుణకారం
ఒక దశాంశ భిన్నాన్ని 10, 100, 1000.... లాంటి సంఖ్యలతో గుణించినప్పుడు, ఇచ్చిన భిన్నంలోని దశాంశ బిందువు గుణించే సంఖ్యలో ఎన్ని సున్నాలున్నాయో అన్ని స్థానాలు కుడి వైపు జరుగుతాయి. తగినన్ని స్థానాలు కుడి వైపు లేకపోతే '0'లు ఉంచాలి.

ఉదా: 1) 2.54 × 10 = 25.4
         2) 1.325 × 100 = 132.5
        3) 625.7 × 1000 = 625700
 రెండు దశాంశ భిన్నాలను గుణించగా వచ్చిన లబ్ధంలో దశాంశ బిందువును ఆ రెండు దశాంశ భిన్నాల్లో ఎన్ని దశాంశ స్థానాలున్నాయో అన్ని స్థానాలు కుడి నుంచి ఎడమవైపు లెక్కించి ఆ తర్వాత బిందువును ఉంచాలి.
ఉదా: 1) 6.25 × 1.723 = 10.76875
         2) 45.27 × 1.32 = 59.7564
 

దశాంశాల భాగాహారం
ఒక దశాంశ భిన్నాన్ని 10, 100, 1000..... లాంటి సంఖ్యలతో భాగించినప్పుడు ఇచ్చిన సంఖ్యలో దశాంశ బిందువు భాజకంలో ఎన్ని సున్నాలుంటే అన్ని స్థానాలు ఎడమకు జరుగుతుంది.
ఉదా: 1) 125.75 ÷ 100 = 1.2575
        2) 6.75 ÷ 10 = 0.675
        3) 31.5 ÷ 100 = 0.315
        4) 3.57 ÷ 10 = 0.357
       5) 124.47 ÷ 100 = 1.2447
       6) 2.3 ÷ 100 = 0.023
      7) 127.1 ÷ 1000 = 0.1271
      8) 3.45 ÷ 10000 = 0.000345

     

 
దశాంశ సంఖ్యను దశాంశ సంఖ్యతో భాగించడం