క్షేత్రగణితం

 * దీర్ఘచతురస్ర పొడవు =l యూనిట్లు, వెడల్పు = b యూనిట్లు అయితే, 

* దీర్ఘచతురస్ర చుట్టుకొలత (P) =  2(l*b)

* దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం (A) = l*b చ.యూ. 

* దీర్ఘచతురస్ర కర్ణం (d) =   యూనిట్లు

*  చతురస్ర భుజం S అయితే,

*  చతురస్ర చుట్టుకొలత (P) = 4S యూనిట్లు

* చతురస్ర వైశాల్యం A = S² చదరపు యూనిట్లు

* చతురస్ర కర్ణం(d)  =

 యూనిట్లు

* వృత్తవ్యాసార్ధం r  అయితే

*  వృత్తవ్యాసం (d) = 2r యూనిట్లు

*  వృత్తపరిధి(c)= 2∏r యూనిట్లు

* వృత్తవైశాల్యం(A) =∏r²  చదరపు యూనిట్లు

మాదిరి ప్రశ్నలు

1.    ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార పొలం పొడవు, వెడల్పులు  5 : 3 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి. ఆ పొలానికి కంచె వేసేందుకు మీటరుకు రూ.17.50 చొప్పున రూ.14,000 ఖర్చయింది. అయితే  ఆ పొలం పొడవు, వెడల్పుల మధ్య భేదం ఎంత?

    1) 50            2)  100        3) 125         4) 150

సాధన: దీర్ఘచతురస్రాకార పొలం పొడవు, వెడల్పుల  నిష్పత్తి = 5 : 3

          పొడవు = 5x ;   వెడల్పు = 3x అనుకోండి.

          పొలం చుట్టుకొలత = 2 (పొడవు + వెడల్ప్)     = 2(5x+ 3x)  =16x

           పొలం చుట్టూ కంచె వేసేందుకు అయిన ఖర్చు = రూ.14,000

           16x* 17.50 = 14,000      = 50 మీటర్లు

         పొడవు = 5x = 5 *50 = 250 మీటర్లు

        వెడల్పు = 3x = 3* 50 = 150 మీటర్లు

         దీర్ఘచతురస్రాకార పొలం పొడవు, వెడల్పు మధ్య  భేదం   =  250 - 150 = 100 మీటర్లు

                                                                                         సమాధానం: 2

2.    ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార పార్కు పొడవు, వెడల్పుల నిష్పత్తి 3 : 2. ఒక వ్యక్తి సైకిల్‌పై 12 కి.మీ./గం. వేగంతో పార్కు చుట్టూ ఒకసారి చుట్టి వచ్చేందుకు  8 నిమిషాల సమయం పడుతుంది. అయితే ఆ పార్కు వైశాల్యం ఎంత?

      1)  153650                  2) 135600          3) 153600         4)156300

సాధన: దీర్ఘ చతురస్రాకార పార్కు పొడవు, వెడల్పుల   నిష్పత్తి = 3 : 2

           పొడవు = 3x          వెడల్పు = 2x అనుకోండి.

           పార్కును ఒకసారి చుట్టి వచ్చేందుకు అతడు ప్రయాణించిన దూరం = ఆ పార్కు చుట్టుకొలత

          =>  2(l+b) = 2(3x+2x) = 10x

            సైకిల్‌ వేగం = 12 కి.మీ./గం.                 

    
3.    ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార స్థలం పొడవు, వెడల్పులు వరుసగా 38, 32 మీటర్లు. ఆ స్థలం లోపల చుట్టూ 600 చ.మీ. వైశాల్యమున్న బాట ఉంది. అయితే ఆ బాట వెడల్పు ఎంత?

        1)  30         2)  5           3) 10        4) 15

   సాధన: దీర్ఘ చతురస్రాకార స్థలం

             పొడవు (l) = 38 మీటర్లు                                                            

            వెడల్పు (b)= 32 మీటర్లు

            బాట వెడల్పు = w అనుకోండి.

            బాట లోపల ఉంటే, బాట వైశాల్యం  = 2w(l+b-2w)

            => 2w(l+b-2w) = 600 చ.మీ.

            

4.    ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార హాలు పొడవు, వెడల్పు కంటే 5 మీటర్లు ఎక్కువ. ఆ హాలు వైశాల్యం 750 చ.మీ. అయితే హాలు పొడవు ఎంత? 

      1)  15         2)   22.5        3)  25            4) 30 

సాధన: దీర్ఘచతురస్రాకార హాలు పొడవు(l)  = వెడల్పు(b) కంటే 5 మీటర్లు ఎక్కువ = (b+5)
  

5.    ఒక దీర్ఘచతురస్రం పొడవు, వెడల్పుల భేదం 23 మీటర్లు, దాని చుట్టుకొలత 206 మీటర్లు అయితే ఆ దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం ఎంత? 

    1)  1520           2) 2420       3) 2480           4) 2520

సాధన: దీర్ఘచతురస్రం పొడవు =l, వెడల్పు =  b అ.కో.

        l= b+23 మీటర్లు

 

6.    ఒక దీర్ఘచతురస్రం పొడవును 25%, వెడల్పును 20% పెంచితే ఆ దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం ఎంత శాతం పెరుగుతుంది?

          1) 50%              2) 45%            3) 25%         4) 40%

సాధన: దీర్ఘచతురస్ర  పొడవు 25%, వెడల్పు 20%  పెరిగింది.

7.    ఒక దీర్ఘచతురస్ర పొడవును 20% పెంచి, వెడల్పును 10% తగ్గిస్తే దాని వైశాల్యంలో మార్పు శాతం ఎంత? 

      1) 10% తగ్గుదల     2) 8% తగ్గుదల     30 5% పెరుగుదల     4)8% పెరుగుదల

సాధన: దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యంలో మార్పు 
      

8.    ఒక వృత్తం, దీర్ఘచతురస్రం చుట్టుకొలతలు సమానం. దీర్ఘచతురస్ర పొడవు, వెడల్పులు వరుసగా 26సెం.మీ.,  18 సెం.మీ. అయితే వృత్తవైశాల్యం?

           1) 125 సెం.మీ.²     2) 230 సెం.మీ.²       3) 616 సెం.మీ.²     4)  550 సెం.మీ.²

సాధన: వృత్తవ్యాసార్ధం = r, దీర్ఘచతురస్ర పొడవు (l) = 26 సెం.మీ. 

           వెడల్పు(b) = 18 సెం.మీ. 

 వృత్తంచుట్టుకొలత(c) = దీర్ఘచతురస్రం చుట్టుకొలత (p)
 
      

    9.    ఒక సైకిల్‌ చక్రం 5000 భ్రమణాలు చేస్తే అది  11 కి.మీ. దూరం ప్రయాణించగలదు. అయితే ఆ చక్రం వ్యాసం పొడవు ఎంత? 

          1)  35            2) 55           3) 65         4) 70

సాధన:   5000 భ్రమణాలు చేసిన సైకిల్‌ ప్రయాణించే దూరం = 11 కి.మీ.  

       
 

10. రెండు చతురస్రాల వైశాల్యాల నిష్పత్తి 225 : 256 అయితే వాటి చుట్టుకొలతల నిష్పత్తి ఎంత?

    1) 225 : 256       2) 256 : 225     3) 15 : 16           4)16 : 15

సాధన:  రెండు చతురస్రాల వైశాల్యాల నిష్పత్తి =  A! : A2

           చతురస్రాల భుజాల నిష్పత్తి = r1  : r1

          చతురస్రాల చుట్టుకొలతల నిష్పత్తి = p1: p2  అయితే 
  

గమనిక: రెండు చతురస్రాల చుట్టుకొలతల నిష్పత్తి వాటి వైశాల్యాల వర్గమూలాల నిష్పత్తికి సమానం.

 

దీర్ఘఘనం 

          క్షేత్రగణితానికి సంబంధించి దీర్ఘఘనం, సమఘనం ముఖ్యమైన విభాగాలు. ఘనపరిమాణం, భూవైశాల్యం, సంపూర్ణతల వైశాల్యం, పక్కతల వైశాల్యాల గురించి అభ్యర్థులు అవగాహన పెంచుకోవాలి.
                                  
     

  

1. ఒక దీర్ఘఘనం పొడవు, వెడల్పు, ఎత్తులు 3 : 2 : 1 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి. దాని సంపూర్ణతల వైశాల్యం 88 చ.సెం.మీ అయితే ఆ దీర్ఘఘనం ఘనపరిమాణం ఎంత? (ఘ.సెం.మీలలో) 

1) 24              2) 48            3) 64             4) 120

సాధన: దీర్ఘఘనం పొడవు, వెడల్పు, ఎత్తులు వరుసగా    l,b,h అనుకోండి.

    l:b:h = 3 : 2 : 1 

   l =3x,   b = 2x,  h = 1x

  సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 88 చ.సెం.మీ 

   2(lb+bh+hl) = 88 

  2(3x(2x)+2x(1x)+1x(3x)= 88 

   2(6x²+2x²+3x²) = 88

   2(11x²)  = 88

  11x² =88/2  = 44 

 x²= 44/11= 4

  
 l = 3x = 3 x 2 = 6 సెం.మీ. 

b = 2x = 2 x 2 = 4 సెం.మీ. 

h = 1x= 1 x 2 = 2 సెం.మీ.

దీర్ఘఘనం ఘనపరిమాణం(v) = lbh

 = 6 x 4 x 2 ఘ.సెం.మీ.

= 48 ఘ.సెం.మీ

                                                                      సమాధానం: 2

2. దీర్ఘఘనాకృతిలో ఉన్న ఒక పెట్టె కొలతలు 8 సెం.మీ ´ 6 సెం.మీ ´ 2 సెం.మీ. అయితే ఆ పెట్టెలో ఉంచదగిన అతిపెద్ద పెన్సిల్‌ పొడవు ఎంత? (సెం.మీ.లలో)

 

                                                                              సమాధానం: 3

3. ఒక గది కొలతలు 4 మీ. x  3 మీ., ఆ గది ఎత్తు  3 మీ. ఆ గది గోడలకు, పైకప్పు(ceiling) కు రంగువేసేందుకు 1 చ.మీ.కు రూ.56 ఖర్చు అయితే రంగువేసేందుకు అయిన మొత్తం ఖర్చు ఎంత? (రూపాయల్లో)

1) 3024      2) 3124      3) 3076      4) 2976

సాధన: గది నేల కొలతలు = 4 మీ x  3 మీ.

 l = 4 మీ.,   b = 3 మీ.,    ఎత్తు(h)  = 3 మీ.

గది గోడలు, పైకప్పుకి రంగు వేయాల్సిన ప్రదేశ వైశాల్యం =  2h(l+b)+lb

      = 2 x 3 [4 + 3] + 4 x 3

      = 6 (7) + 12  = 42 +  12 = 54 చ.మీ.

 రంగు వేసేందుకు 1 చ.మీ.కు అయ్యే ఖర్చు = రూ.56 

54 చ.మీ.కు రంగువేసేందుకు అయ్యే ఖర్చు   = 54 x  56 = రూ.3024  

                                                                                  సమాధానం: 1

4. దీర్ఘఘనాకృతిలో ఉన్న ఒక వాటర్‌ ట్యాంకు పొడవు, వెడల్పు, ఎత్తులు వరుసగా 5 మీ., 3 మీ., 2 మీ. ఆ ట్యాంక్‌ పూర్తిగా నీటితో నిండి ఉంటే, దానిలోని నీటి ఘనపరిమాణం ఎంత? (లీటర్లలో) 

1)  25000             2)  30000        3) 40000        4) 50000

సాధన:  దీర్ఘఘనాకృతిలో ఉన్న వాటర్‌ ట్యాంక్‌

పొడవు (l) = 5 మీ.

 వెడల్పు (b) = 3 మీ.

  ఎత్తు (h) = 2 మీ.

వాటర్‌ ట్యాంక్‌ ఘనపరిమాణం (v) = lbh

 = 5 x 3 x  2 ఘ.మీ. = 30 ఘ.మీ.

వాటర్‌ ట్యాంక్‌లోని నీటి ఘనపరిమాణం 

 = 30 x 1000 లీ.  (1 ఘ.మీ. = 1000 లీ.)   = 30000 లీ.    

                                                                              సమాధానం: 2

5. ఒక పెట్టె పొడవు 1.8 మీ., వెడల్పు 90 సెం.మీ., ఎత్తు 60 సెం.మీ., పెట్టెలో అమర్చే సబ్బు కొలతలు  6 సెం.మీ. x  5 సెం.మీ. x 40 మి.మీ. సబ్బులు అమర్చిన తర్వాత పెట్టెలో ఏ విధమైన ఖాళీ స్థలం మిగలలేదు. అయితే ఆ పెట్టెలోని సబ్బుల సంఖ్య? 

1)  9200  2) 9000 3) 8400 4) 8100

సాధన: పెట్టె పొడవు (l) = 1.8 మీ. = 180 సెం.మీ.

 వెడల్పు (b) = 90 సెం.మీ.

ఎత్తు (h) = 60  సెం.మీ.

పెట్టె ఘనపరిమాణం = l x b x h

                              = 180 x 90 x 60 ఘ.సెం.మీ.

సబ్బు పొడవు = 6 సెం.మీ.

 వెడల్పు = 5 సెం.మీ.

ఎత్తు = 40 మి.మీ = 4 సెం.మీ.

సబ్బు ఘనపరిమాణం = 6 x  5 x 4 ఘ.సెం.మీ.

సమాధానం: 4

6. 2000 జనాభా ఉన్న ఒక గ్రామంలో ఒక్కొక్కరికి రోజుకి 150 లీటర్ల నీరు అవసరం. గ్రామంలోని నీటి ట్యాంకు కొలతలు 15 మీ., 12 మీ., 5 మీ. అయితే ఒక ట్యాంకు నీళ్లు ఆ గ్రామంలోని వారికి ఎన్ని రోజులకు సరిపోతాయి?

1) 3      2) 5      3)  6      4) 9

సాధన: ట్యాంకు ఘనపరిమాణం = 15 x 12 x 5 మీ.³

= 900 మీ.³ = 900 x 1000  లీటర్లు

= 900000 లీటర్లు

ఒక వ్యక్తికి ఒకరోజుకి అవసరమయ్యే నీరు 

= 150 లీటర్లు

గ్రామంలోని 2000 మందికి ఒకరోజుకి అవసరమయ్యే నీరు

= 150 x 2000  లీటర్లు

= 300000 లీ.

  
  3 రోజులు

సమాధానం: 1

7. ఒక రిజర్వాయర్‌లోకి పంపు ద్వారా నిమిషానికి 50 లీటర్ల నీరు సరఫరా అవుతుంది. రిజర్వాయర్‌ ఘనపరిమాణం 96 ఘ.మీ.లు అయితే దాన్ని నింపేందుకు ఎన్ని గంటల సమయం పడుతుంది?  

1) 24     2) 28     3) 32     4) 36

సాధన: రిజర్వాయర్‌ ఘనపరిమాణం = 96 ఘ.మీ.

                      = 96 x 1000 లీటర్లు

                      = 96000 లీటర్లు

రిజర్వాయర్‌లోకి నిమిషానికి చేరే నీరు = 50 లీటర్లు

          

సమాధానం: 3 

8. ఒక దీర్ఘఘనాకృతిలోని పాత్ర 30 సెం.మీ.ల పొడవు, 25 సెం.మీ. వెడల్పు కలిగిఉంది. ఆ పాత్ర ఎన్ని  సెం.మీ.ల ఎత్తు ఉంటే అందులో 7.5 లీటర్ల నీటిని నింపవచ్చు? 

1) 10     2) 12     3) 15     4) 18

సాధన: దీర్ఘ ఘనాకృతిలో ఉన్న పాత్ర 

 పొడవు   = l = 30 సెం.మీ.

  వెడల్పు = b = 25 సెం.మీ.

ఆ పాత్రలోని నీటి ఘనపరిమాణం = 7.5 లీటర్లు

      = 7.5 x  1000 ఘ.సెం.మీ.

      = 7500 ఘ.సెం.మీ.

7.5 లీటర్ల నీరు ఉండేందుకు పాత్రలో ఉండాల్సిన నీటి ఎత్తు (మట్టం) 

    

సమాధానం: 1 

9. ఒక దీర్ఘఘనం పొడవు, వెడల్పులను రెట్టింపు చేసి, ఎత్తును సగం చేస్తే దాని ఘనపరిమాణం?

1) సగం అవుతుంది      2) రెట్టింపు అవుతుంది 

3) మూడు రెట్లు అవుతుంది   4) నాలుగు రెట్లు అవుతుంది

సాధన: ఒక దీర్ఘఘనం పొడవు = l

వెడల్పు = b, ఎత్తు = h అయితే

దీర్ఘఘనం ఘనపరిమాణం (v) = lbh ఘనపు యూనిట్లు 

పొడవు, వెడల్పు, ఎత్తులను మార్పు చేసిన తర్వాత 

                        

సమాధానం: 2

అభ్యాస ప్రశ్నలు

1. దీర్ఘఘనాకృతిలోని ఒక గది పొడవు, వెడల్పు, ఎత్తులు వరుసగా 12 మీ., 4 మీ., 3 మీ. అయితే ఆ గదిలో ఉంచగల స్తంభం ్బ్ప్నః’్శ గరిష్ఠ పొడవు ఎంత?

1) 17 మీటర్లు        2) 20 మీటర్లు  

3) 16 మీటర్లు       4) 13 మీటర్లు

2. పూర్తిగా మూత కలిగిన దీర్ఘఘనాకృతిలోని ఒక చెక్కపెట్టె పొడవు, వెడల్పు, ఎత్తులు వరుసగా 60  సెం.మీ., 40 సెం.మీ., 30 సెం.మీ. ఆ పెట్టె బాహ్యతలానికి రంగువేసేందుకు  ప్రతి 20 చ.సెం.మీ.లకు రూ.5 చొప్పున ఎంత ఖర్చు అవుతుంది?

1) రూ.2,700           2) రూ.2,800   

3) రూ.3,600           4) రూ.3,200

3. దీర్ఘఘనాకృతిలోని ఒక పెట్టె పొడవు, వెడల్పు, ఎత్తులు వరుసగా 45 సెం.మీ., 30 సెం.మీ., 18 సెం.మీ., ఆ పెట్టెలో 5 సెం.మీ. x 3 సెం.మీ. x  2 సెం.మీ. కొలతలు ఉన్న సబ్బులు ఎన్ని పడతాయి? 

1) 900   2) 840   3) 810   4) 780

4. ఒక దీర్ఘఘనం పొడవు, వెడల్పు, ఎత్తులను రెట్టింపు చేస్తే దాని ఘనపరిమాణం ఎన్ని రెట్లు అవుతుంది?

1) 6     2) 8     3) 12     4) 3

5. ఒక ఇంటిపై ఉన్న వాటర్‌ట్యాంక్‌ పొడవు, వెడల్పు, ఎత్తులు వరుసగా 90 సెం.మీ., 80 సెం.మీ., 50 సెం.మీ. అయితే ఆ వాటర్‌ట్యాంక్‌లో పట్టే నీటి ఘనపరిమాణం ఎంత? (లీటర్లలో)

1) 480  2) 540   3) 360   4) 640

సమాధానాలు

1- 4         2- 1         3- 3         4- 2         5- 3