క.సా.గు., గ.సా.భా.

1. 10, 15, 25, 30లతో నిశ్శేషంగా భాగించబడే కనిష్ఠ సంఖ్య ఏది? 
జవాబు:  150
వివరణ: 10, 15, 25, 30 లతో నిశ్శేషంగా భాగించబడే కనిష్ఠ సంఖ్య అంటే వాటి కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజం అవుతుంది.
10, 15, 25, 30 ల క.సా.గు. 

1 × 5 × 1 × 1 × 3 × 2 × 5 = 150

2. ఒక వ్యాపారి ఎ, బి, సి అనే పనివాళ్లకు వరుసగా 30, 40, 50 కాగితాలను ఒక్కొక్క సంచిలో అమర్చమని చెప్పాడు. అయితే ఆ వ్యాపారి ఆ ముగ్గురికి ఇవ్వాల్సిన కనిష్ఠ కాగితాల సంఖ్యను కనుక్కోండి? 
జవాబు: 600
వివరణ: దత్తాంశం ఆధారంగా ఆ ముగ్గురికి ఇచ్చిన కనిష్ఠ కాగితాల విలువ అనేది 30, 40, 50 లతో నిశ్శేషంగా భాగించబడాలి కాబట్టి 30, 40, 50 ల క.సా.గు. జవాబు అవుతుంది. 

 5 × 4 × 3 × 10 = 600

3. ఒక వర్తకుడు నలుగురు పనివాళ్లకు కొన్ని పెన్నులను ఇచ్చి ఒక్కొక్కరిని ఒక్కొక్క సంచిలో వరుసగా 5, 10, 15, 20 పెన్నులను నింపాలని చెప్పాడు. వాళ్లు నింపిన తర్వాత ఒక్కొక్కరి వద్ద 2 పెన్నులు మిగిలితే, ఆ వ్యాపారి నలుగురికి ఇవ్వగలిగిన కనిష్ఠ పెన్నుల సంఖ్యను కనుక్కోండి?
జవాబు: 62
వివరణ: దత్తాంశం ఆధారంగా మొదటివ్యక్తిని ఒక సంచిలో 5, రెండోవ్యక్తిని ఒక సంచిలో 10, మూడో వ్యక్తిని ఒక సంచిలో 15, నాలుగోవ్యక్తిని ఒక సంచిలో 20 పెన్నులు నింపమంటే నలుగురికీ ఇవ్వాల్సిన కనిష్ఠ పెన్నుల సంఖ్య అంటే వాటి క.సా.గు.కు సమానం అవుతుంది. ఒక్కొక్కరి వద్ద '2' ఎక్కువగా మిగిలాయి. అంటే మొత్తంగా ఒక్కొక్కరికి ఇవ్వాల్సిన పెన్నుల సంఖ్య అనేది (క.సా.గు.+2) అవుతుంది.

క.సా.గు. = 60
జవాబు = 60 +2 = 62

4. ఒక పండ్ల వ్యాపారి x, y, z అనే పనివాళ్లకు ఒక్కొక్కరిని ఒక్కొక్క బుట్టలో వరుసగా 17, 19, 23 పండ్లను అమర్చమని తెలిపాడు. ఈ ప్రకారం అమర్చడానికి ఒక్కొక్కరికి 4 పండ్లు సరిపోలేదు. అయితే వ్యాపారి ఆ ముగ్గురికీ ఇవ్వాల్సిన కనిష్ఠ పండ్ల సంఖ్యను కనుక్కోండి?
జవాబు: 7425
వివరణ:  దత్తాంశం ఆధారంగా... 
x అనే వ్యక్తి బుట్టలో 17 పండ్లు నింపాడు. 
y అనే వ్యక్తి బుట్టలో 19 పండ్లు నింపాడు. 
z అనే వ్యక్తి బుట్టలో 23 పండ్లు నింపాడు.
పై సందర్భంలో ఒక్కొక్కరికీ '4' సరిపోలేదు అంటే 17, 19, 23 ల క.సా.గు. నుంచి 4 ను తీసివేస్తే జవాబు పొందగలం.
17, 19, 23 క.సా.గు. = 7429
జవాబు = 7429 - 4 = 7425

5. ల కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజాన్ని కనుక్కోండి?
జవాబు: 105
వివరణ:  సూత్రం
            

              

6.   ల గరిష్ఠ సామాన్య భాజకాన్ని కనుక్కోండి? 
జవాబు:  
వివరణ:  సూత్రం  
            
             

7. రెండు సంఖ్యల లబ్ధం 2604, వాటి గ.సా.భా. 2 అయితే వాటి క.సా.గు. ఎంత?
జవాబు:  1302
వివరణ:   సూత్రం:  రెండు సంఖ్యల లబ్ధం = వాటి క.సా.గు. × గ.సా.భా. 
                                   క.సా.గు. × 2 = 2604 
                           క.సా.గు. =

 = 1302 

8. రెండు సంఖ్యల కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజం 2079, వాటి గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం 27. వాటిలో ఒక సంఖ్య 189 అయితే రెండో సంఖ్యను కనుక్కోండి? 
జవాబు:  297
వివరణ:   189 × రెండో సంఖ్య = 2079 × 27 
                రెండో సంఖ్య = 

9. 728, 900 లను ఒక గరిష్ఠ సంఖ్యతో భాగిస్తే, వరుసగా 8, 4 శేషాలుగా వస్తే, ఆ గరిష్ఠ సంఖ్యను కనుక్కోండి?
జవాబు: 16
వివరణ:   దత్తాంశం ఆధారంగా 728, 900 ను ఒక గరిష్ఠ సంఖ్యతో భాగించినప్పుడు వాటి శేషాలు వరుసగా 8, 4. 728 లో నుంచి 8 తీసివేయగా వచ్చే విలువ గరిష్ఠ సంఖ్యతో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది. అలాగే 900 నుంచి 4 తీసివేస్తే
వచ్చిన విలువ అనేది ఆ గరిష్ఠ సంఖ్యతో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది. అంటే (728 - 8), (900 -4) = 720, 896
ల గ.సా.భా. అనేది జవాబు అవుతుంది. 720, 896 ల గ.సా.భా. 16 అవుతుంది.      

10. ఒక కనిష్ఠ సంఖ్యను 24, 32, 36 లతో భాగించినప్పుడు శేషాలు వరుసగా 19, 27, 31 వస్తే, ఆ కనిష్ఠ సంఖ్యను కనుక్కోండి? 
జవాబు: 283
వివరణ:  దత్తాంశం ఆధారంగా...
కనిష్ఠ సంఖ్యను 24, 32, 36 లతో భాగించినప్పుడు 19, 27, 31 శేషాలు వచ్చాయి.
(24 -19) = (32 -27)=(36 -31) = 5.
ప్రతి సంఖ్యతో కనిష్ఠ సంఖ్యను భాగించినప్పుడు '5' సరిపోలేదు కాబట్టి 24, 32, 36 ల క.సా.గు.లో నుంచి 5 తీసివేస్తే సరైన సమాధనం వస్తుంది. 

3 × 4 × 1 × 3 × 2 × 2 × 2 = 288      జవాబు = 288 - 5 = 283

11. 4, 6, 10, 15 లతో ఒక ఆరంకెల కనిష్ఠ సంఖ్యను భాగించినపుడు అన్ని సందర్భాల్లో శేషం '2'గా వచ్చింది. అయితే ఆ సంఖ్యను కనుక్కోండి? 
జవాబు:  100022
వివరణ:   ఆరు అంకెల కనిష్ఠ సంఖ్య = 100000

క.సా.గు. 1 × 1 × 1 × 2 × 5 × 3 × 2 = 60 
 60 తో 100000 ను భాగిస్తే 40 శేషం వస్తుంది.
60 - 40 = 20 ఆరు అంకెల కనిష్ఠ సంఖ్యకు 20 కలిపితే తర్వాత ఆ సంఖ్య 60 తో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది. ఇచ్చిన లెక్కప్రకారం అన్ని సందర్భాల్లో శేషం '2' కాబట్టి ఆ సంఖ్య (100000 + 20 + 2) = 100022

12. రెండు సంఖ్యల క.సా.గు, గ.సా.భా.ల మొత్తం 592. వాటి మధ్య భేదం 518. ఆ రెండు సంఖ్యల మొత్తం 296 అయితే ఆ రెండు సంఖ్యలను కనుక్కోండి? 
జవాబు:  111, 185
వివరణ:  క.సా.గు = H, గ.సా.భా. = L అనుకుంటే
H + L = 592 ---------- (1)                         H -  L = 518 ---------- (2)
(1) + (2) చేస్తే 2H = 1110 
 H = 555
(1) - (2) చేస్తే 2L = 74 
 L = 37 
L తెలుసు కాబట్టి ఆ సంఖ్యలు 37a, 37b అవుతాయి.
(   a, b స్థిర విలువలు)
37a + 37b = 296 
a + b = 8
సంఖ్యలు వరుసగా (3 × 37, 5 × 37) = 111, 185
(   క.సా.గు × గ.సా.భా. = రెండు సంఖ్యల లబ్ధం)
(  555 × 37 = 111 × 185)

13. ఒక వ్యాపారి దగ్గర మూడు రకాల సారాయి ఉంది. మొదటి రకం 450 లీటర్లు, రెండో రకం 550 లీటర్లు, మూడో రకం 650 లీటర్లు. వీటిని సమాన పరిమాణం ఉన్న సంచుల్లో నింపాలి. అయితే ఒక్కొక్క సంచిలో నింపే గరిష్ఠ పరిమాణం ఎంత? 
జవాబు:  50 లీ.
వివరణ: దత్తాంశం ఆధారంగా 450 లీ. 550 లీ. 650 లీ. వీటి గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం అనేది వాటిని గరిష్ఠంగా సంచిల్లో నింపగల పరిమాణానికి సమానం అవుతుంది.
(450, 550, 650) లీ. గ.సా.భా. = 50 లీ.
(  పై మూడింటిని భాగించగలిగిన గరిష్ఠ సంఖ్య గ.సా.భా.అవుతుంది)

14. నాలుగు గంటలు 6, 8, 12, 18 నిమిషాల కాలవ్యవధిలో మోగుతాయి. నాలుగింటిని ఉదయం 12 గంటలకు మోగిస్తే, అదే రోజు 6 గంటల్లో ఎన్నిసార్లు అవి ఒకేసారి మోగుతాయో తెలపండి? 
జవాబు:  ఆరుసార్లు
వివరణ: దత్తాంశం ఆధారంగా 6, 8, 12, 18 ల కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజం అనేది ఆ నాలుగు గంటలు ఒకేసారి మోగే సమయానికి సమానం. కాబట్టి వాటి క.సా.గు. 72 నిమిషాలు లేదా ఒక గంట 12 నిమిషాలు '6' గంటల్లో ఆ 4 గంటలు 
 = 6 సార్లు మోగుతాయి.

15. ఒక గది పొడవు, వెడల్పులు వరుసగా 220, 40 మీటర్లు. అయితే ఆ గదిలో ఒక్కొక్క పలక భుజం పొడవు ఎంత ఉండే చతురస్రాకార పలకలను అమర్చవచ్చు?
జవాబు: 20 మీ.
వివరణ: గది పొడవు 220 మీటర్లు, వెడల్పు 40 మీటర్లు. గది అడుగు భాగంలో అమర్చాల్సిన చతురస్త్రాకార పలక భుజం పొడవు అనేది గది పొడవు, వెడల్పుల గరిష్ఠ సామాన్య భాజకానికి సమానం అవుతుంది.
   220 మీ., 40 మీ. గ.సా.భా = 20 మీ.                
నోట్: 
        

16. 148, 185 ల క.సా.గు. ఎంత?
జ. 740
సాధన :
                      
క.సా.గు. = 37 × 4 × 5 = 740

17. 36, 84 ల గ.సా.భా. ఎంత?
జ. 12
సాధన :
                     
36, 84 ల గ.సా.భా. 12 అవుతుంది.

18. 12, 15, 20, 54 లను ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యతో భాగిస్తే శేషం 8 వస్తుంది?
జ. 548
సాధన:
           కనిష్ఠ సంఖ్య అంటే క.సా.గు.ను కనుక్కోవాలి.
           
క.సా.గు. 3 × 5 × 2 × 2 × 9 = 540
శేషం 8 మిగలాలంటే 8 ని క.సా.గు.కు కలపాలి.
                                           = 540 + 8 = 548

19. 261, 933, 1381లను ఏ గరిష్ఠ సంఖ్యతో భాగిస్తే శేషం 5 వస్తుంది?
జ. 32

సాధన : గరిష్ఠ సంఖ్య అంటే గ.సా.భా.ను కనుక్కోవాలి.
              

                32 అనేది 928 ను నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
                     కాబట్టి గరిష్ఠ సంఖ్య 32.

20. 8, 12, 15, 18 లను ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యతో భాగిస్తే వరుసగా శేషాలు 5, 9, 12, 15 వస్తాయి?
జ. 357
సాధన :
                         
క.సా.గు. = 360
ఇప్పుడు

కావాల్సిన సంఖ్య = 360 - 3 = 357 అవుతుంది.

21. 29, 60, 103 లను ఏ గరిష్ఠ సంఖ్యతో భాగిస్తే వరుసగా శేషాలు 5, 12, 7 వస్తాయి?
జ. 24
సాధన :
                           
      48ని 24 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.
          కాబట్టి గరిష్ఠ సంఖ్య 24.

22. 12, 20, 25 లతో భాగించగల కనిష్ఠ వర్గం ఏది?
జ. 900
సాధన :
                        
క.సా.గు. = 5 × 2 × 2 × 3 × 5
             = 300.
ఇందులో జతల కారణాంకాలను వదిలి మిగిలిన వాటి క.సా.గు.నే గుణించాలి.
            = 300 × 3 (5, 7 లు జతలు ఉన్నాయి)
            = 900

23. 98, 120, 153 లను ఏ గరిష్ఠ సంఖ్యతో భాగిస్తే అన్నింటిలో ఒకే శేషం (సమాన శేషం) వస్తుంది?
జ. 11
సాధన : పెద్ద సంఖ్యల నుంచి చిన్న సంఖ్యలను తీసివేసి గ.సా.భా. కనుక్కోవాలి.
             153 - 98 = 55; 153 - 120 = 33; 120 - 98 = 22
             
33ను కూడా 11 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది. కాబట్టి గరిష్ఠ సంఖ్య 11.

24. రెండు సంఖ్యల మధ్య నిష్పత్తి 5 : 7. వాటి క.సా.గు. 350 అయితే అందులో పెద్ద సంఖ్య ఎంత?
జ. 70
సాధన : రెండు సంఖ్యలు 5x, 7x అనుకుందాం.
             వాటి క.సా.గు. 35x అవుతుంది
             అప్పుడు 35 x = 350
                           
                 పెద్ద సంఖ్య = 7x = 7 × 10
                                     = 70

25. 15, 25, 40, 75 లతో భాగించగల నాలుగు అంకెల గరిష్ట సంఖ్య ఏది?
జ. 9600
సాధన:  నాలుగు అంకెల పెద్ద సంఖ్య = 9999
                                     
                

క.సా.గు. = 600    
కావాల్సిన సంఖ్య = 9999 - 399 = 9600

26. రెండు సంఖ్యల లబ్ధం 1320, వాటి గ.సా.భా. 6 అయితే వాటి క.సా.గు. ఎంత?
జ. 220
సాధన : రెండు సంఖ్యల లబ్ధం = ఆ రెండు సంఖ్యల L.C.M.× H.C.F.
                             1320 = L.C.M. × 6
                           
                             క.సా.గు. = 220 అవుతుంది

27. ఒక పాల వ్యాపారి దగ్గర మూడు విభిన్న పాత్రలలో 496 లీ., 403 లీ., 713 లీటర్ల పాలు, నీళ్ల మిశ్రమాలు ఉన్నాయి. వాటిని కచ్చితంగా కొలిచే గరిష్ఠ పరిమాణం ఎంత?
జ. 31 లీటర్లు
సాధన : గరిష్ఠ కొలత అంటే ఇచ్చిన వాటికి గ.సా.భా. కనుక్కోవాలి.
            496, 403, 713 ల  గ.సా.భా.
                                                 
      31 అనేది 496 ను నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది. కాబట్టి గరిష్ఠ కొలత 31 లీ.

28. ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యను రెట్టింపు చేసినప్పుడు 12, 18, 21, 30 లతో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు?
జ. 630
సాధన: కనిష్ఠ సంఖ్య అంటే క.సా.గు. కనుక్కోవాలి
            12, 18, 21, 30 ల క.సా.గు.
                            
               క.సా.గు. = 1260.  దీన్ని 2 తో భాగించాలి
               
              కావల్సిన సంఖ్య = 630

29. 36, 84 ల గ.సా.భా. ఎంత?
జ:   12
వివరణ:   ఈ ప్రశ్నలో పెద్దసంఖ్య 84ను చిన్నసంఖ్య 36తో భాగించాలి. శేషం సున్నా వచ్చే వరకు ఈ క్రమాన్ని చేయాలి.

           
30. రెండు సహప్రధాన సంఖ్యల లబ్దం 117 అయితే క.సా.గు. ఎంత?
జ:  117 
వివరణ:   ఈ ప్రశ్నలో రెండు సంఖ్యల లబ్దం ఇచ్చారు. క.సా.గు. కనుక్కోవాలి. అప్పుడు
రెండు సంఖ్యల లబ్దం = క.సా.గు × గ.సా.భా. కానీ, లెక్కలో ఇచ్చినా ఇవ్వకపోయినా రెండు సహ ప్రధాన సంఖ్యల గ.సా.భా. ఎప్పుడూ 1 అవుతుంది.   117 = H.C.F × L.C.M.117 = 1 × L.C.M.
L.C.M. = 117 అవుతుంది.

31. 16, 24, 25 ల క.సా.గు. ఎంత?
జ:  1200

క.సా.గు. = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5 × 1 × 1 = 1200   

32. 3 సంఖ్యల మధ్య నిష్పత్తి 1 : 2 : 3, వాటి గ.సా.భా. 12 అయితే ఆ సంఖ్యలు ఏవి?
జ:   12, 24, 36
వివరణ:   ఈ ప్రశ్నలోని 3 సంఖ్యలను x, 2x, 3x అనుకోవాలి. వాటి గ.సా.భా. 12 అంటే 12 ప్రతి సంఖ్యను నిశ్శేషంగా భాగించాలి.
x = 12, 2x = 2(12) = 24, 3x = 3(12) = 36.

33. ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యను 48, 60, 72, 108, 140 లతో భాగిస్తే వరుసగా 38, 50, 62, 98, 130 శేషాలు వస్తాయి?
జ:  15,110
వివరణ:   ఈ ప్రశ్నలో ఇచ్చిన సంఖ్యలు 48, 60, 72, 108, 140 నుంచి వాటి శేషాలు వరుసగా 38, 50, 62, 98, 130 లను తీసివేయాలి.

ముందుగా 48, 68, 72, 108, 140లకు క.సా.గు. కనుక్కోవాలి. దానినుంచి 10 ని తీసివేయాలి. 
    

   క.సా.గు = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 2 × 2 × 3 × 7 
                   = 15120 -10=15,110.          

34. ఏ కనిష్ఠ సంఖ్య నుంచి 7 తగ్గిస్తే లేదా తీసివేస్తే 12, 16, 18, 21, 28 లతో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు?
జ: 1015 
వివరణ:   ఈ ప్రశ్నలో కనిష్ఠ సంఖ్య అంటే ఇచ్చిన సంఖ్యల క.సా.గు. తగ్గించినా లేదా తీసివేసినా అంటే వచ్చిన క.సా.గు.లకు ఆ సంఖ్యను కలపాలి. 
             
   క.సా.గు = 2 × 3 × 7 × 2 × 2 × 2 ×  3 = 1008 + 7 = 1015 అవుతుంది.

35. 12, 15, 18లతో భాగితమయ్యే 5 అంకెల అతి చిన్న సంఖ్య ఎంత?
జ:  10,080
వివరణ:   ఈ ప్రశ్నలో 5 అంకెల చిన్న సంఖ్య = 10000 తర్వాత 12, 15, 18 లకు క.సా.గు కనుక్కోవాలి.   
      
ఇప్పుడు 180లో నుంచి 100 ను తీసివేయాలి. 180 - 100 = 80 తర్వాత 80 ని 10,000 కి కలపాలి.
     = 10,000 + 80 = 10,080.

36. 15, 25, 40, 75 లతో భాగితమయ్యే 4 అంకెల అతిపెద్ద సంఖ్య ఏది?
జ:  9,800
వివరణ:   ఈ ప్రశ్నలో 4 అంకెల పెద్ద సంఖ్య 9999.
       15, 25, 40, 75ల క.సా.గు.   
       
క.సా.గు. = 5 × 3 × 5 × 2 × 2 × 1 × 1 × 2 × 1 = 600
ఇప్పుడు 9999ని 600లతో భాగించాలి.
    
వచ్చిన శేషాన్ని 9999 నుంచి తీసివేయాలి.
9999 - 399 = 9600
 

37.   ల క.సా.గు. ఎంత?
జ:  

వివరణ:   ఈ ప్రశ్నలోని సంఖ్యలు భిన్న రూపంలో ఉన్నాయి. కాబట్టి క.సా.గు.= లవాల క.సా.గును హారాల గ.సా.భా.తో భాగించాలి. 
5, 6, 10 ల క.సా.గు.                 7, 14, 21ల గ.సాభా.

5, 6, 10 ల క.సా.గు. = 2 × 5 × 1 × 3 × 1 = 30        7, 14, 21ల గ.సాభా. = 7

  ల క.సా.గు. =   అవుతుంది.