సంఖ్యలు

1) వరుస సరి సంఖ్యల వర్గాల మధ్య భేదం   20, 4 , 14  సంఖ్యల్లో ఏ విలువతో నిశ్శేషంగా భాగితమవుతుంది? 
జ:  4
వివరణ: వరుస సరిసంఖ్యలు అంటే 2, 4, 6, 8, 10...
వాటి వర్గాలు వరుసగా (2)2, (4)2, (6)2, (8)2, (10)2
                                  = 4, 16, 36, 64, 100
వాటి వర్గాల మధ్య భేదం: 12, 20, 28, 36
పై సంఖ్యలు అన్నీ 4 తో మాత్రమే నిశ్శేషంగా భాగితమవుతాయి.

                   
 2) వరుస బేసి సంఖ్యల వర్గాల మధ్య భేదం 23, 19, 8 లో ఏ విలువతో నిశ్శేషంగా భాగితమవుతుంది?
జ:  8 
వివరణ: వరుస బేసి సంఖ్యలు 1, 3, 5, 7, 9...
బేసి సంఖ్యల వర్గాలు:     (1)2, (3)2, (5)2, (7)2, (9)2 
                                         1, 9, 25, 49, 81
వాటి వర్గాల మధ్య భేదాలు: 8, 16, 24, 32
పై సంఖ్యలన్నీ '8' తో నిశ్శేషంగా భాగితమవుతాయి.

 జ:  108.878
వివరణ:
       

        
 జ:   42
వివరణ:

      
  81 = 2x     23 = 2x      x = 3

5) 8x+2 = 24x-3 అయితే x4 + x2 + x విలువ ఎంత?
జ:  6651
వివరణ: 8x+2  =  24x-3         (... 81 = 23)
             (23)x+2  =  24x-3       (... am=an అయితే m=n అవుతుంది)
                23x+6  =  24x-3
                   3x+6  =  4x-3
                          x =  9 
      x4 + x2 + x   (9)4 + (9)2 + 9  
                            6561 + 81 +9 = 6651

6)    అయితే   విలువ?
జ:  47
వివరణ: 

అయితే
             = (3)2-2
           = 7 అవుతుంది.

మనకు   కావాలి కాబట్టి
                  = 72-2
                = 49-2
                                 = 47
                  =47.

జ:  6.25
వివరణ:    6561 = 9⁴,       25 = 5²
                 5¹² = 8³          1³ = 1

       
           లేదా 6.25

8) ఒక సంఖ్య, దాని గుణకార విలోమాల మొత్తం 16 కు సమానం అయితే ఆ సంఖ్య వర్గం, ఆ సంఖ్య విలోమాల వర్గాల మొత్తం ఏ విలువకు సమానం?
జ: 254
వివరణ: 
ఒక సంఖ్య 'x' అనుకుంటే దాని గుణకార 1 విలోమం అనేది  అవుతుంది.
  = 16 అయితే   = 162-2 
                                              = 256 - 2
                                              = 254
 

9) a + b + c = 9, ab + bc + ca = 26 అయితే a2 + b2 + c2 విలువ ఎంత?
జ:   29
వివరణ: 
           a2+b2+c2 = (a+b+c)2 - 2(ab + bc + ca
         (9)2 - 2 (26) = 81 -52 = 29 

10) 7, 11, 496 లో  పరిపూర్ణ సంఖ్య?
జ:  496
వివరణ:  పరిపూర్ణ సంఖ్య అంటే... ఒక సంఖ్య కారణాంకాల మొత్తం ఆ సంఖ్యకు రెట్టింపు అయితే ఆ సంఖ్యను పరిపూర్ణ సంఖ్య అంటారు.

11)  3x = 2y అయితే  విలువ ఎంత?
జ:  
వివరణ:
3x = 2y అంటే =     ( x = 2, y =  3)
 

12) ఒక సంఖ్య, దాని వ్యుత్క్రమాల మొత్తం   అయితే ఆ సంఖ్య ఎంత?
జ:  4
వివరణ: ఒక సంఖ్య 'x' అయితే దాని వ్యుత్క్రమం  అనేది అవుతుంది. 
కాబట్టి By trail method 4 జవాబు అవుతుంది.

13)   (8)5 × (15)2 × (11)3 × (14)21 × (30)4  ప్రధాన సంఖ్యల కారణాంకాలెన్ని?
జ:  76
వివరణ: = (8)5 × (15)2 × (11)3 × (14)21 × (30)4
              = (23)5× (3×5)2 × (11)3 × (2×7)21 × (2×3×5)4 
              = (2)15+21+4 × (3)2+4 × (5)2+4 × (7)21 × (11)3 
              = (2)40×(3)6×(5)6×(7)21×(11)3
పై సంఖ్యల కారణాంకాలు = ఘనాల మొత్తం = 40 + 6 + 6 + 21 + 3 = 76

జ:  1.5
వివరణ:

          
15) రెండు సంఖ్యల మొత్తం, వ్యత్యాసం వరసగా 20, 8 అయితే వాటి వర్గాల వ్యత్యాసం ఎంత?
జ:  160
వివరణ:
రెండు సంఖ్యలు a, b లుగా తీసుకుంటే a + b  = 20, a - b = 8

వాటి వర్గాల మధ్య వ్యత్యాసం (a2-b2) = 20×8             
                                           = 160 (Ans) 

16) రెండు సంఖ్యల మొత్తం 22. ఒక సంఖ్య '5' రెట్లు మరో సంఖ్య '6' రెట్లతో సమానం అయితే ఆ రెండు సంఖ్యల్లో గరిష్ఠ సంఖ్య?
జ:  12
వివరణ:  రెండు సంఖ్యలు, x, y గా అనుకుంటే ఇచ్చిన దత్తాంశంబట్టి x + y = 22 
                      5x = 6y 
                       x : y =  6 : 5
         అయితే గరిష్ఠ సంఖ్య 'x' కాబట్టి
                      x =    × 6 = 12  
                            ...  x = 12

17) కిందివాటిలో పెద్ద ఫలితం ఇచ్చే సమీకరణం ఏది?
a) 3 + 3 + 3           b) 3 × 3 × 3            c) 33 + 33             d) 

జ: 
వివరణ:  వివరణ:      3 +  3  +  3 = 12,   3 × 3 × 3 = 27 ,  33 + 33 = 54,   = 19683
మొదటి మూడింటి విలువల కంటే  విలువ అధికంగా ఉంటుంది. 

18) 1 నుంచి 20 మధ్యలో ఎన్ని ప్రధాన సంఖ్యలు ఉంటాయి?
జ:   8
వివరణ:   1 నుంచి 20 మధ్యగల ప్రధాన సంఖ్యలు
       వరుసగా = (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19)
       మొత్తం సంఖ్యలు = 8 

19)   (2)x+3 . (4)2x-5 = (2)3x+13  అయితే అప్పుడు x  విలువ ఎంత?
జ:  10
వివరణ:   (2)x+3. (4)2x-5 = (2)3x+13 
             (2)2x+3. (2)4x-10 = 23x+13 
            2x + 3 + 4x - 10 = 3x + 13 
               

జ:  720
వివరణ:
            

       

సంఖ్యలు  (Numbers)

మాదిరి ప్రశ్నలు 

1. రెండు సంఖ్యల మొత్తం 24 వాటి మధ్య భేదం 18 అయితే అందులో పెద్ద సంఖ్య ఎంత?
ఎ) 21           బి) 20           సి) 24           డి) 18
సాధన: రెండు సంఖ్యలు వరుసగా x, y అనుకుందాం. దత్తాంశం ప్రకారం x + y = 24

మరొక సంఖ్య: 21 + y = 24   y = 24 - 21 = 3
 పెద్ద సంఖ్య = 21

సంక్షిప్త పద్ధతి:

జవాబు: ఎ

2. రెండు సంఖ్యల మొత్తం 14, వాటి మధ్య భేదం 10 అయితే చిన్న సంఖ్య ఎంత?
ఎ) 12           బి) 2           సి) 10           డి) 4
సాధన: రెండు సంఖ్యలు వరుసగా x, y అనుకుందాం. దత్తాంశ ప్రకారం..
x + y = 14

x - y = 10 (కూడితే)
--------------
2x = 24
x =  = 12
మరొక సంఖ్య: 12 + y = 14  y = 14 - 12 = 2
సంక్షిప్త పద్ధతి:

జవాబు: బి

3. రెండు సంఖ్యల మొత్తం 20, వాటి మధ్య భేదం 8 అయితే వాటి వర్గాల మధ్య భేదం ఎంత?
ఎ) 12           బి) 28          సి) 160           డి) 180
సాధన: రెండు సంఖ్యలు వరుసగా x, y అనుకుందాం. దత్తాంశం ప్రకారం ....
x + y = 20
x - y = 8 (కూడితే)
--------------
2x = 28
x =  = 14
మరొక సంఖ్య: 14 + y = 20  y = 20 - 14 = 6
x వర్గం = (14) = 196
y వర్గం = (6) = 36

 వాటి మధ్య భేదం = 196 - 36 = 160
సంక్షిప్త పద్ధతి
20 × 8 = 160
జవాబు: సి

4. రెండు సంఖ్యల మొత్తం 40, వాటి మధ్య భేదం 4 అయితే ఆ సంఖ్యల మధ్య నిష్పత్తి ఎంత?
ఎ) 11 : 9           బి) 11 : 18           సి) 21 : 19            డి) 22 : 9
సాధన: రెండు సంఖ్యలు వరుసగా x, y అనుకుందాం. దత్తాంశం ప్రకారం ...
x + y = 40
x - y = 4 (కూడితే)
--------------
2x = 44
x =  = 22
మరొక సంఖ్య: 22 + y = 40 
 y = 40 - 22 = 18

సంక్షిప్త పద్ధతి
40 + 4 : 40 - 4
       44 : 36
        11 : 9
జవాబు: ఎ

5. 587 × 999 = ?
ఎ) 586413         బి) 587523         సి) 614823         డి) 615173
సాధన: 999 ని (1000 - 1) గా రాసి గుణించాలి.
587 × (1000 - 1) = 587000 - 587.
 కావాల్సిన సంఖ్య = 587000
                                     587 (-)
                                --------------
                                     586413
జవాబు: ఎ

6. 106 × 106 - 94 × 94 = ?
ఎ) 2400         బి) 2000         సి) 1904         డి) 1906
సాధన: (106)² - (94)²
                         [a² - b² = (a + b) (a - b)]
= (106 + 94) (106 - 94)
= 200 × 12 = 2400
జవాబు: ఎ

7. 325325 ను కిందివాటిలో దేంతో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు?
ఎ) 5          బి) 7          సి) 11          డి) అన్నింటితో
సాధన: ఒకటx స్థానంలో 5 ఉంది, దాన్ని కచ్చితంగా 5తో భాగించవచ్చు.
సరి స్థానాల మొత్తం = 2 + 3 + 5 = 10
బేసి స్థానాల మొత్తం = 3 + 5 + 2 = 10
కాబట్టి 325325 ను 11 తోనూ భాగించవచ్చు. కాబట్టి అన్నింటితో అనేది జవాబు.
జవాబు: డి

8. 517  324 అనే సంఖ్యను 3 తో నిశ్శేషంగా భాగించాలంటే

 బదులు వచ్చే కనిష్ఠ సంఖ్య ఏది?
ఎ) 0          బి) 1          సి) 2          డి) ఏదీకాదు
సాధన: ఇచ్చిన సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తాన్ని '3' తో నిశ్శేషంగా భాగించగలిగితే మొత్తం సంఖ్యను 3 తో భాగించవచ్చు.
5 + 1 + 7 + x + 3 + 2 + 4 = 22 + x
x = 2
అప్పుడు 22 + 2 = 24
24 ను 3 తో భాగించవచ్చు.
కాబట్టి  బదులు 2 రాయాలి.
జవాబు: సి

9. 461+ 462 + 463 + 464 ను కిందివాటిలో దేనితో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు?
ఎ) 3           బి) 10           సి) 11           డి) 13
సాధన:
461 (1 + 41 + 42 + 43)
461 (1 + 4 + 16 + 64)
461 (85)
4 ఘాతం సరి సంఖ్య అయితే ఒకట్ల స్థానం 6, బేసి సంఖ్య అయితే 4 ఉంటుంది.
4 × 85 = 340
ఒకటx స్థానంలో 0 ఉంది కాబట్టి 10తో నిశ్శేషంగా భాగించవచ్చు.
జవాబు: బి

10. ఒక సంఖ్యను 15 తో గుణిస్తే, దాని విలువ 196 పెరుగుతుంది. అయితే ఆ సంఖ్య ఏది?
ఎ) 14       బి) 15       సి) 16       డి) 13
సాధన: ఒక సంఖ్య x అనుకుందాం. దాన్ని 15 తో గుణిస్తే
15 x = x + 196
15 x - x = 196
14 x = 196
x =  = 14
 కావాల్సిన సంఖ్య = 14
సంక్షిప్త పద్ధతి:

జవాబు: ఎ

11. ఒక సంఖ్య దానిలోని నాలుగో వంతు కంటే 30 ఎక్కువ అయితే ఆ సంఖ్య ఏది? (SI - 2009)
జ: 40

12. 80, 100 మధ్యలో ఉన్న ప్రధాన సంఖ్యలు ఎన్ని?  (SI - 2009)
జ: 3

13. రెండు సంఖ్యల మొత్తం 33. వాటి వ్యత్యాసం 15, కనిష్ఠ సంఖ్య ఏది? (SI-2008)
జ: 9

14. రెండు సంఖ్యల మొత్తం 22. ఒక సంఖ్య 5 రెట్లు మరో సంఖ్య 6 రెట్లుకు సమానం. అయితే పెద్ద సంఖ్య ఏది? (SI-2006)
జ: 12

15. రెండు సంఖ్యల లబ్ధం 120. వాటి వర్గాల మొత్తం 106 అయితే ఆ సంఖ్యలు ఏవి? (RRB-2002)
జ: 5 & 9