ఒకట్ల స్థానం

చివరి అంకెల లబ్ధంలో జవాబు!

పరీక్షల్లో అంకగణితంలో భాగంగా సంఖ్యావ్యవస్థ అధ్యాయం నుంచి అడిగే ప్రశ్నలు కొన్ని చూడగానే కంగారు కలిగిస్తాయి. పెద్ద పెద్ద గుణకారాలు, ఘాతాంకాలతో ఉండే సంఖ్యల ఒకట్ల స్థానంలో ఉండే అంకెను కనుక్కోమంటారు. సుదీర్ఘ గణిత ప్రక్రియ మొత్తం చేస్తే కానీ ఆ అంకెను తెలుసుకోవడం కుదరదేమో అని ఆందోళన చెందాల్సిన అవసరం లేదు. చిన్న చిన్న చిట్కాలు నేర్చుకొని ప్రాక్టీస్‌ చేస్తే సులభంగా సమాధానాన్ని గుర్తించవచ్చు. 

* సంఖ్యా వ్యవస్థలో స్థాన విలువ, ముఖ విలువలకు ఒక సమున్నత స్థానం ఉంది.ఒక సంఖ్యలో దాని స్థానాన్ని బట్టి స్థాన విలువ నిర్ణయిస్తారు.

ఉదా: 4235 లో 2 యొక్క స్థాన విలువ రెండువందల స్థానంలో ఉంది కాబట్టి 2 యొక్క స్థానవిలువ = 2 ´ 100 = 200

ముఖ విలువను సహజ విలువ అంటారు.

ఒక సంఖ్యలో అంకె యొక్క సహజ విలువను ముఖ విలువగా తీసుకుంటారు.

ఉదా: 4253లో 5 యొక్క ముఖ విలువ = 5

పై విధంగా ఒక సంఖ్యలో ఒకట్ల స్థానంలో, పదుల స్థానంలో ఉండే అంకెలను నిర్ణయించడాన్ని తెలుసుకుందాం.

ఒకట్ల సానంలో ఉన్న అంకెను కనుక్కోవడం 

*  24567 సంఖ్యలో ఒకట్ల స్థానంలో ఉన్న అంకె 7.

ఉదాహరణలు

*   272 X 38 X 42 X 39 X 67 లబ్ధంలో ఒకట్ల స్థానం ఎంత?

1) 2    2) 3    3) 6    4) 4

వివరణ: 272 X 38 X 42 X 39 X 67 లబ్ధంలో ఒకట్ల స్థానం కావాలంటే ఒకట్ల స్థానంలో అంకెల లబ్ధం ముందుగా తెలుసుకుంటే ఒకట్ల స్థానం తెలుస్తుంది.

ఒకట్ల స్థానంలో 6 వచ్చింది. కాబట్టి

272 X 38 X 42 X 39 X 67  లో ఒకట్ల స్థానం 6

* (3729 X 42) + (283 X 36 ) + (423 X 67 X 29) లో ఒకట్ల స్థానంలో ఉండే అంకె ఎంత?

1) 0     2) 5    3) 4    4) 8

వివరణ: (3729 X 42) + (283 X 36) + (423 X 67 X 29)

(9 X 2) + (3 X 6) + (3 X 7 X 9)

లబ్ధంలో ఒకట్ల స్థానం

8 + 8 + 9 = 5

ఒకట్ల స్థానం = 5

*  (272 X 34) + (423 X 27) X (31 X 21) లబ్ధంలో ఒకట్ల స్థానం ఎంత?

1) 6    2) 8    3) 4     4) 5

వివరణ: (272 X 34) + (423 X 27) X (31 X 21)

(2 X 4) + (3 X 7) X (1 X 1)

8 + 1 X 1 = 8

ఒకట్ల స్థానం 8

*    (.... xyz)ⁿ రూపంలో ఉన్నప్పుడు ఒకట్ల స్థానంలో ఉండే అంకెను కనుక్కోవడం.

ఘాతాంకంలో ఉన్న n ను 4తో భాగించగా వచ్చిన శేషం ఆధారంగా ఒకట్ల స్థానం గుర్తించాలి.

(.... xyz)ⁿ లో z = 0, 1, 5, 6  ఉంటే ఒకట్ల స్థానంలో అవే అంకెలు వస్తాయి

*  (273)⁴⁷ లో ఒకట్ల స్థానంలో అంకె ఎంత?

1) 3    2) 9    3) 7    4) 0

వివరణ: (273)⁴⁷

z = 3, n = 47 ను 4తో భాగిస్తే శేషం 3 కాబట్టి

z³ ఒకట్ల స్థానమవుతుంది

(3)³ = 3 x 3 x 3 = 7

ఒకట్ల స్థానం 7

మాదిరి ప్రశ్నలు

1.  3⁹⁹ లో ఒకట్ల స్థానం ఎంత?

1) 1    2) 3    3) 7    4) 9

వివరణ:   = శేషం (3)

శేషం 3 కాబట్టి ఒకట్ల స్థానం (z)³

399లో z = 3 కాబట్టి

(3)³ = 7 ఒకట్ల స్థానం

జ: 3

2.  (123456789) ^987654321 ఒకట్ల స్థానంలో అంకె ఎంత?

1) 9   2) 1    3) 4   4) 6

వివరణ: (123456789) ^987654321  దీనిలో z = 9

n = 987654321

n ను 4తో భాగించి శేషం కనుక్కోవాలంటే 4 యొక్క భాజనీయత సూత్రం నుంచి nలో చివరి రెండు అంకెలను 4తో భాగించి శేషం కనుక్కుంటే సరిపోతుంది. 

21/4  = శేషం 1 కాబట్టి (z)¹ ఒకట్ల స్థానం అంటే (9)¹ = 9 

ఒకట్ల స్థానం = 9

జ: 1

3.  (321)⁵ x (325)⁷ x (536)⁴⁵ లో ఒకట్ల స్థానం కనుక్కోండి.

1) 0   2) 5   3) 6    4) 1

వివరణ:  (321)⁵ x (325)⁷ x (536)⁴⁵

ఒకట్ల స్థానంలో z = 1, 5, 6, 0 వస్తే అవే ఒకట్ల స్థానంలో వస్తాయని ముందుగా తెలుసుకున్నాం. కాబట్టి 1 x 5 x 6= 30 

ఒకట్ల స్థానం = 0

జ: 1

4.    (272)73! లో ఒకట్ల స్థానం కనుక్కోండి.

1) 6    2) 2    3) 4    4) 8

వివరణ: (2)73! లో z = 2, n = 73! n విలువ ఫ్యాక్టోరియల్‌లో ఉంటే

0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120 .....

ఫ్యాక్టోరియల్‌లో విలువ 3 కంటే పెద్దది అయితే అది 4తో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది. అంటే శేషం ‘0’ వస్తుంది. ఒకట్ల స్థానంలో (z)⁴ చేయాలి.

(272)^74!

n = 73! >3 కాబట్టి

శేషం = 0, (2)⁴ ఒకట్ల స్థానంలో ఉంటుంది = 2 x 2 x 2 x 2 = 16

ఒకట్ల స్థానం = 6

జ: 1

5.     1¹ x 2² x 3³ x 4⁴ x ...... 99⁹⁹ లబ్ధంలో ఒకట్ల స్థానం కనుక్కోండి.

1) 1    2) 0    3) 9    4) చెప్పలేం

వివరణ: 11 x 22 x 33 x 44 x ..... 99⁹⁹ లబ్ధంలో మధ్యలో 10¹⁰ కూడా వస్తుంది. అంటే 10¹⁰తో ఒకట్ల స్థానంలో సున్నా ఉంది. అంటే 0లో దేన్ని గుణించిన సున్నా వస్తుంది. కాబట్టి ఒకట్ల స్థానంలో సున్నా.

1¹ x 2² x 3³ x 4⁴ x ..... 10¹⁰ x ..... 99⁹⁹

= 1 x 4 x 7 x ..... x 0 x .....

ఈ లబ్ధంలో విలువ ‘0’ కాబట్టి ఒకట్ల స్థానం సున్నా 

జ: 2

6.  1⁹⁹⁸ x 2⁹⁹⁹ x 3¹⁰⁰⁰ x ...... x 7¹⁰⁰⁴ లబ్ధంలో ఒకట్ల స్థానం కనుక్కోండి.

1) 0    2) 4    3) 5    4) 7

వివరణ: (.... 5n) x సరి సంఖ్య ఉంటే ఒకట్ల స్థానంలో సున్నా వస్తుంది.

 1⁹⁹⁸ x 2⁹⁹⁹ x 3¹⁰⁰⁰ x ...... x 7¹⁰⁰⁴ లో 2999 x 51002

2 సరిసంఖ్య x 5ⁿ రూపంలో ఉంది కాబట్టి 2 x 5 = 10 లబ్ధంలో ఒకట్ల స్థానంలో 0 వస్తుంది.

జ: 1

7.   

లో ఒకట్ల స్థానంలో అంకె ఎంత?    

1) 6    2) 2    3) 0    4) 8

వివరణ: 

= 1 x 3 x 4 x 6 x 8 x 9 లబ్ధంలో ఒకట్ల స్థానం రాస్తే 3 x 4 x 6 x 7 x 8 x 9

= 2 x 6 x 7 x 8 x 9

= 2 x 7 x 8 x 9 = 4 x 8 x 9

= 2 x 9 = 18

ఒకట్ల స్థానం = 8

జ: 4

8.   (1 2 3 4 5 K)⁷²  ఒకట్ల స్థానం 6 అయితే k విలువ ఎంత?

1) 6    2) 8    3) 2    4) పైవన్నీ

వివరణ:(1 2 3 4 5 K)⁷²

n = 72, z = K

ఒకట్ల స్థానం 6 కాబట్టి n = 72 ను 4తో భాగిస్తే శేషం సున్నా. కాబట్టి (z)⁴ చేయాలి. అప్పుడు ఒకట్ల స్థానం వస్తుంది.

z = (k)⁴  = 6

సమాధానం నుంచి 

1) 6 ⇒ 64 = 6 x 6 x 6 x 6 = 6

2) 8 ⇒ 84 = 8 x 8 x 8 x 8 = 6

3) 2 ⇒ 24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 6

పై మూడు సమాధానాలకు ఒకట్ల స్థానం 6 వచ్చింది. కాబట్టి రీ విలువ 6, 8, 2 కూడా అవుతుంది. కాబట్టి ‘పైవన్నీ’ సమాధానం అవుతుంది.

జ: 4

9.     4¹ x 9² x 4³ x 9⁴ x 4⁵ x 9⁶ ...... x 4⁹⁹ x 9¹⁰⁰ లలో ఒకట్ల స్థానం కనుక్కోండి. 

1) 4   2) 9   3) 6   4) 1

వివరణ: 

1. (.....4)సరి సంఖ్య = ఒకట్ల స్థానం = 6

2. (.....4)బేసి సంఖ్య = ఒకట్ల స్థానం = 4

3. (.....9)సరి సంఖ్య = ఒకట్ల స్థానం = 1

4. (.....9)బేసి సంఖ్య = ఒకట్ల స్థానం = 9

పైవిధంగా ఉంటే ఒకట్ల స్థానాలు/స్థానంలో ఆ విధంగా వస్తాయి.

41 x 92 x 43 x 94x ..... x 499 x 9100

= (4 x 1) x (4x1) ..... (4x1) (50 సార్లు)

= 4 x 4 x 4 ...... 4 (50 సార్లు)

= 450 ను 4 తో భాగిస్తే శేషం 2. కాబట్టి 42 = 16 ఒకట్ల స్థానం 6.

జ: 3

10.   4¹ x 9² x 4³ x 9⁴ x 4⁵ x 9⁶ ...... x 4⁹⁹ x 9¹⁰⁰లో ఒకట్ల స్థానం కనుక్కోండి. 

1) 0    2) 3    3) 5    4) ఏదీకాదు

వివరణ: (4 + 1) + (4 + 1) + ..... (4 + 1) 50 సార్లు

= 5 + 5 + ..... + 5 (50 సార్లు)

= 5(50) = 250 ఒకట్ల స్థానం 0

జ: 1

ప్రాక్టీస్‌ బిట్లు 

1.    535 x 632 x 457 x531 లబ్ధంతో ఒకట్ల స్థానంలో అంకె .....

 1) 0   2) 5   3) 7   4) 1

2.     (356)¹³x (535)¹⁵x (561)³² లబ్ధంలో ఒకట్ల స్థానంలో అంకె .....

 1) 0   2) 6   3) 5   4) 8

3.     272^445! ఒకట్ల స్థానంలో అంకె .....

1) 8   2) 6   3) 0   4) 4

4.  1! x 2! x 3!x 4! x .....x 99! లబ్ధంలో ఒకట్ల స్థానంలో అంకె .....

1) 1   2) 4   3) 5   4) 0

5.     1!^1! + 2!^2! + 3!^3! +..... + 99!^99! లో ఒకట్ల స్థానంలో అంకె .....

1) 1   2) 6   3) 7   4) 4

6.      లబ్ధంలో ఒకట్ల స్థానంలో అంకె .....

1) 5   2) 0   3) చెప్పలేం  4) ఏదీకాదు

7. 

లో ఒకట్ల స్థానంలో అంకె ......

1) 1    2) 0    3) 5    4) 6

8.   13125 + 23125 + 33125 + 43125 + ..... + 993125 ఒకట్ల స్థానంలో అంకె ......

1) 9    2) 1    3) 5    4) 0

9.  13 + 23 + 33 + 43 + 53 + ..... + 1013 లో ఒకట్ల స్థానంలో అంకె ......

1) 0    2) 5    3) 6    4) 1

10. 15 + 25 + 35 + 45 + 55 + ..... + 985 లో ఒకట్ల స్థానంలో అంకె ......

1) 0    2) 5    3) 1    4) 2

11. 12 + 23 + 34 + 45 + 56 + 67 + 78 + 89 + 910 లో ఒకట్ల స్థానంలో అంకె ......

1) 0    2) 6    3) 5    4) 1

12. 3333ⁿ యొక్క ఒకట్ల స్థానం 7 అయితే 7777ⁿ యొక్క ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె......

1) 1    2) 3     3) 7    4) 9

13. 398  389 ఒకట్ల స్థానంలో అంకె ......

1) 3    2) 6    3) 7    4) 9

14. x¹⁹ - x⁷ = 17625 అయితే (x E n) x కు సాధ్యమైన విలువలు ఎన్ని ఉంటాయి?

1) 5     2) 1    3) 0     4) 2

15. కచ్చిత వర్గం ఒకట్ల స్థానంలో రాని అంకె ఏది?

1) 4     2) 8    3) 9    4) 6

 

జవాబులు:

1-1,  2-1, 3-2, 4-4,  5-3, 6-2, 7-2, 8-4, 9-4, 10-3, 11-3, 12-2,  13-2,  14-3, 15-2. 

 

రచయిత: డి.సీహెచ్‌.రాంబాబు