సంభావ్యత

పరస్పర వివర్జిత, పూర్ణ, సమసంభవ ఘటనలు 'n' ఉన్నప్పుడు అందులో 'm' ఘటనలు ఒక నిర్ణీత ఘటన 'E' కి అనుకూలమైతే, E జరగడానికి సంభావ్యతను  గా నిర్వచిస్తాం.
సంభావ్యతకు సంకేతం P(E) = 
P(E) అనేది E అనే ఘటన జరగడానికి ఉన్న సంభావ్యత.
m = E ఘటన జరగడానికి అనుకూలమైన సందర్భాల సంఖ్య. n = మొత్తం సందర్భాల సంఖ్య.
E ఘటన జరగకపోవడమనే సందర్భాన్ని ఘటనగా సూచించవచ్చు.
P(E) = 1 - P(E)
ఈ విధంగా P(E) + P(

) = 1 అవుతుంది.
 

లఘు ఘటన: ఒక యాదృచ్ఛిక ప్రయోగానికి సంబంధించిన ఏ పునరావృత ఫలితాన్నైనా ఒక 'లఘు ఘటన' అంటారు.
 

సందర్భం (1): నాణేన్ని ఎగరేసే ప్రయోగంలో బొమ్మ (H) అచ్చు (T) లు రెండు లఘు ఘటనలు.
n = మొత్తం సందర్భాల సంఖ్య = 2ⁿ
ఉదా: రెండు నాణేలు ఎగురవేసే మొత్తం సందర్భాల సంఖ్య = 22 = 4 {HH, HT, TH, TT}

సందర్భం (2): పాచికలను ఒకేసారి దొర్లించే ప్రయోగంలో మొత్తం సందర్భాల సంఖ్య 6ⁿ.
ఉదా: రెండు ఆరు ముఖాల పాచికలను ఒకేసారి దొర్లించే ప్రయోగంలో మొత్తం సందర్భాల సంఖ్య = 6² = 36
       (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) 
       (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) 
       (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) 
       (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) 
       (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) 
       (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
 

సందర్భం (3): పేక కట్టలో 52 కార్డులు ఉంటాయి. అందులో 26 ఎరుపు, 26 నలుపు రంగుల్లో ఉంటాయి. వీటి మొత్తాన్ని 4 భాగాలుగా విభజిస్తే..
       1) స్పేడ్స్ (Spades)  

  -   13 
       2) క్లబ్స్ (Clubs)     -  13 
       3) హార్ట్స్ (Hearts)   -  13 
       4) డైమండ్స్(Diamonds)    - 13

  

ఉదా:  

          
 → సంభావ్యత విలువ ఎప్పుడూ 0 ≤ P(E) ≤ 1 
 → P (A ⋃ B) = P(A) + P (B) - P (A ⋂ B)
 → P(E) =  = 

1. రెండు పాచికలను ఒకేసారి దొర్లించినప్పుడు వాటి ముఖాలపై ఏర్పడే సంఖ్యలు సమానమయ్యే సంభావ్యత ఎంత?
జవాబు:   అవుతుంది. ఈ ప్రశ్నలో మొత్తం సందర్భాల సంఖ్య n(S) = 6² = 36.
కావలసిన సందర్భాల సంఖ్య n(E) = { (1, 1) (2, 2) (3, 3) (4, 4) (5, 5) (6, 6) } = 6
         

2. రెండు పాచికలను ఒకేసారి దొర్లించినప్పుడు వాటి ముఖాలపై ఏర్పడే సంఖ్యల మొత్తం 9 అయ్యే సంభావ్యత ఎంత?
జవాబు:  అవుతుంది. ఈ ప్రశ్నలో మొత్తం సందర్భాల సంఖ్య n(S) = 6² = 36. కావలసిన సందర్భాల సంఖ్య n(E)

= { (3, 6) (4, 5) (5, 4) (6, 3) } = 4 

    
3. రెండు పాచికలను ఒకేసారి దొర్లించినప్పుడు వాటి ముఖాలపై ఏర్పడే సంఖ్యల లబ్దం సరి సంఖ్య అయ్యే సంభావ్యత ఎంత?
జవాబు:  అవుతుంది. ఈ ప్రశ్నలో మొత్తం సందర్భాల సంఖ్య n(S) = 6² = 36.
కావలసిన సందర్భాల సంఖ్య n(E) = { (1, 2) (1, 4) (1, 6) (2, 1) (2, 2) (2, 3)
(2, 4) (2, 5) (2, 6) (3, 2) (3, 4) (3, 6) (4, 1) (4, 2)
(4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (5, 2) (5, 4) (5, 6)
(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)} = 27

 

4. ఒక నాణేన్ని ఒకేసారి ఎగరవేస్తే బొమ్మ రావడానికి సంభావ్యత ఎంత?
జవాబు:  అవుతుంది. ఈ ప్రశ్నలో మొత్తం సందర్భాల సంఖ్య n(S) = 2¹ = 2 = {H, T}

 కావలసిన సందర్భాల సంఖ్య n(E) = {H} = 1 

   
5. రెండు నాణేలను ఒకేసారి ఎగురవేస్తే కనీసం 1 బొమ్మ రావడానికి సంభావ్యత ఎంత? 
జవాబు:  అవుతుంది ఈ ప్రశ్నలో కనీసం 1 బొమ్మ.. అంటే దాని అర్థం 1 బొమ్మ ఉండవచ్చు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ బొమ్మలు ఉండవచ్చు.
మొత్తం సందర్భాల సంఖ్య n(S) = 2² = 4 = {HH, HT, TH, TT}
కావలసిన సందర్భాల సంఖ్య n(E) = {HT, TH, HH} = 3

       
 

6. 1నుంచి 20వరకు సంఖ్యలతో 20 టిక్కెట్లు ఉన్నాయి. అందులోనుంచి 1 టికెట్టును యాదృచ్ఛికంగా ఎన్నుకుంటే అది '3' గుణిజం కావడానికి సంభావ్యత ఎంత?
జవాబు:  అవుతుంది ఈ ప్రశ్నలో మొత్తం సందర్బాల సంఖ్య n(S) = {1, 2, 3, 4... 19, 20} = 20
           కావలసిన సందర్భాల సంఖ్య n(E) = {3, 6, 9, 12, 15, 18} = 6

7. ఒక సంచిలో 6 నల్లటి, 8 తెల్లటి బంతులు ఉన్నాయి అందులోనుంచి ఒక బంతిని యాదృచ్చికంగా ఎన్నుకుంటే అది తెల్లని బంతి అయ్యే సంభావ్యత ఎంత?

జవాబు:   అవుతుంది. ఈ ప్రశ్నలో మొత్తం బంతులు = 6 (నల్లటి) + 8 (తెల్లటి) = 14. ఇందులో నుంచి ఒక బంతిని ఎన్నుకోవాలి. మొత్తం సందర్భాల సంఖ్య n(S) = ¹⁴C₁ = 14
కావలసిన సందర్భాల సంఖ్య n(E) = తెల్లబంతులు 8 అందులో నుంచి ఒక బంతి ఎన్నుకోవడానికి సందర్భాల సంఖ్య = ⁸C₁ = 8

 

          
8. ఒక పెట్టెలో 10 నల్లటి, 10 తెల్లటి బంతులు ఉన్నాయి. అందులో నుంచి రెండు బంతులను యాదృచ్ఛికంగా ఎన్నుకుంటే ఆ రెండూ ఒకే రంగు బంతులు కావడానికి సంభావ్యత ఎంత?
జవాబు:   అవుతుంది. ఈ ప్రశ్నలో మొత్తం బంతులు (10 నల్లటి + 10 తెల్లటి) = 20. ఇందులో నుంచి రెండు బంతులను ఎన్నుకుంటే = ²⁰C₂

           

మొత్తం సందర్భాల సంఖ్య n(S) = 190

కావలసిన సందర్భాల సంఖ్య n(E) = ఇందులో రెండు బంతులు కూడా ఒకే రంగుతో ఉండాలి. అప్పుడు
i) 10 తెల్లటి బంతుల్లో రెండు బంతులను ఎన్నుకునేందుకు సంభావ్యత = ¹⁰C₂

 
           
ii) 10 నల్లటి బంతుల్లో రెండు బంతుల ఎన్నికకు సంభావ్యత

           
 కావలసిన సందర్భాల సంఖ్య n(E) = 45 + 45 = 90

             
 

9. ఒక లీపు సంవత్సరంలో 53 సోమవారాలు రావడానికి సంభావ్యత ఎంత?
జవాబు:   అవుతుంది. లీపు సంవత్సరంలో 366 రోజులు ఉంటాయి. వీటిని 52 వారాలు + 2 రోజులుగా రాయవచ్చు. అప్పుడు మొత్తం సందర్భాల సంఖ్య n(S) = { (సోమ, మంగళ), (మంగళ, బుధ), (బుధ, గురు), (గురు, శుక్ర), (శుక్ర, శని), (శని, ఆది), (ఆది, సోమ) } = 7

కావలసిన సందర్భాల సంఖ్య n(E) = {(ఆది, సోమ), (సోమ, మంగళ )} = 2

     
10. 52 కార్డులున్న పేక కట్టనుంచి ఒక పేక ముక్కను తీసినప్పుడు అది ఒక డైమండ్ లేదా ఒక రాజు అయ్యే సంభావ్యత ఎంత?
జవాబు:   అవుతుంది. ఈ ప్రశ్నలో మొత్తం 52 కార్డులు ఉన్నాయి. అందులో నుంచి ఒకదాన్ని ఎన్నుకునే సందర్భానికి సంభావ్యత n(S) = ⁵²C₁ = 52
కావలసిన సందర్భాల సంఖ్య n(E) = 13 డైమండ్స్ కార్డులున్నాయి (ఒక కింగ్‌తో సహా) = ¹³C₁ = 13
మిగిలిన రాజులు 3 అందులో నుంచి ఒక రాజును ఎన్నుకునేందుకు సంభావ్యత = ³C₁ = 3
 కావలసిన సందర్భాల సంఖ్య n(E) = 13 + 3 = 16

      

11. ఒక సంచిలో 4 ఎర్రని, 6 పసుపు పచ్చని, 5 ఆకు పచ్చని బంతులు ఉన్నాయి. అందులో నుంచి 3 బంతులను యాదృచ్చికంగా ఎన్నుకుంటే ఆ 3 బంతులు వేర్వేరు రంగు బంతులు కావడానికి సంభావ్యత ఎంత?

జవాబు:   అవుతుంది. ఈ ప్రశ్నలో మొత్తం బంతులు = 4 ఎర్ర + 6 పసుపు + 5 ఆకుపచ్చ = 15. అందులో నుంచి 3 బంతులు ఎన్నుకునేందుకు సంభావ్యత

 

కావలసిన సందర్భాల సంఖ్య n(E) = 3 బంతులు కూడా వేర్వేరు రంగున్న బంతులు.
n(E) = ⁴C₁ × ⁶C₁ × ⁵C₁ = 4 × 6 × 5 = 120

 
     
సూత్రం: 

12. ఒక తరగతిలో 15 మంది బాలురు, 10 మంది బాలికలు ఉన్నారు. అందులో నుంచి ముగ్గురిని ఎన్నుకుంటే, వారిలో 1 బాలిక, ఇద్దరు బాలురు అయ్యే సంభావ్యత ఎంత?
జవాబు:   అవుతుంది. తరగతిలోని మొత్తం విద్యార్థులు = 15 + 10 = 25.
ఇందులో నుంచి ముగ్గురిని ఎన్నుకుంటే మొత్తం సందర్భాల సంఖ్య 
    
కావలసిన సందర్భాల సంఖ్య n(E) = 15 మంది బాలురు వారిలో నుంచి ఇద్దరిని ఎన్నుకునేందుకు సంభావ్యత 

     
10 మంది బాలికల నుంచి 1 బాలికను ఎన్నుకునేందుకు సంభావ్యత = ¹⁰C₁ = 10

.^.. కావలసిన సందర్భాల సంఖ్య 
 n(E) = 105 × 10 = 1050

మ‌రికొన్ని స‌మ‌స్యలు
 

1. సాధారణ సంవత్సరంలో 53 ఆదివారాలు రావడానికి సంభావ్యత ఎంత?
జవాబు:  

2. రెండు పాచికలను ఒకేసారి దొర్లించినప్పుడు వాటిపైన ఏర్పడే సంఖ్యల మొత్తం 10 లేదా 11 కావడానికి సంభావ్యత ఎంత?
జవాబు:  
 

3. ఒక సంచిలో 4 ఆకుపచ్చని, 5 ఎర్రని, 8 పసుపుపచ్చని బంతులు ఉన్నాయి. అందులో నుంచి 3 బంతులను యాదృచ్ఛికంగా ఎన్నుకుంటే ఆ మూడూ వేర్వేరు రంగుల బంతులయ్యే సంభావ్యత ఎంత?
జవాబు:  

 

4. 3 నాణేలను ఒకేసారి ఎగరవేస్తే, కనీసం 2 బొమ్మలు రావడానికి ఉన్న సంభావ్యత ఎంత?
జవాబు:  
 

5. 52 కార్డులున్న పేక కట్ట నుంచి 2 కార్డులను యాదృచ్ఛికంగా ఎన్నుకుంటే అందులో ఒకటి స్పేడ్ మరొకటి హార్ట్ కార్డ్ అయ్యే సంభావ్యత ఎంత?
జవాబు:  

6. ఒక పెట్టెలో 20 ఎలక్ట్రిక్ బల్బులు ఉన్నాయి. అందులో 4 బల్బులు పాడైపోయాయి. మొత్తం పెట్టెలో నుంచి 2 బల్బులు యాదృచ్ఛికంగా తీస్తే అందులో ఒకటి పాడైపోయింది కావడానికి సంభావ్యత ఎంత?
జవాబు: 
 

7. 1 నుంచి 100 వరకు ఉన్న సంఖ్యలను 100 టిక్కెట్లుగా భావిస్తే, అందులో నుంచి 1 టిక్కెట్టును యాదృచ్ఛికంగా ఎన్నుకుంటే అది శుద్ధవర్గం కావడానికి సంభావ్యత ఎంత?
జవాబు: