నిష్పత్తి - అనుపాతం

రెండు రాశుల‌ను భాగ‌హారం ద్వారా పోల్చడ‌మే నిష్పత్తి.
* a, b ల నిష్పత్తిని a : b గా రాస్తాం.  a : b ని   అని కూడా రాయొచ్చు.
* a : b లో a ని పూర్వ ప‌ద‌మ‌ని, b ని ప‌ర ప‌ద‌మ‌ని అంటారు.
ఉదా: 10, 15 ల నిష్పత్తి = 10 : 15
                                    = 2 : 3
* 2 : 3 అనే నిష్పత్తిలో పూర్వ పదం = 2
                                   పరపదం = 3
* a : b అనే నిష్పత్తికి విలోమ నిష్పత్తి = b : a 
ఉదా: 4 : 5 అనే నిష్పత్తికి విలోమ నిష్పత్తి = 5 : 4

*  ఒకే ప్రమాణాలున్న రాశులను భాగాహారం చేసి పోలిస్తే వచ్చే ఫలితాన్ని ఆ రాశుల 'నిష్పత్తి' అంటారు.

*  a, b అనేవి రెండు సంఖ్యలైతే వాటి నిష్పత్తి (a/b) అవుతుంది. దీన్ని a : b అని రాస్తారు.
*  a, b నిష్పత్తిలో 'a' ని పూర్వపదం అని, 'b' ని పరపదం అని అంటారు.
     ఉదా: 3 : 5 నిష్పత్తిలో 3 ను పూర్వపదం అని, 5 ను పరపదం అని అంటారు.
*  నిష్పత్తిలోని రెండు పదాలను ఒకే సంఖ్యతో గుణించినా లేదా భాగించినా ఆ నిష్పత్తి విలువ మారదు. 
     ఉదా: 1) 4 : 5 నిష్పత్తిని 3తో గుణిస్తే 4 × 3 : 5 × 3 = 12 : 15 అవుతుంది. 
     ఉదా: 2) 4 : 6 నిష్పత్తిని 2తో భాగిస్తే

 =  2  :  3  అవుతుంది.
*  నిష్పత్తులను కనిష్ఠ పదాలొలో తెలపడానికి పూర్వ, పర పదాలను ఒకే సంఖ్యతో భాగించాలి. 
     ఉదా: 8 : 10 నిష్పత్తిని కనిష్ఠ పదాల్లో తెలపడానికి పూర్వ, పర పదాలను 2 తో భాగించాలి. 
      = 4 : 5 అవుతుంది.

*  a : b కి విలోమ నిష్పత్తి  (లేదా) b : a అవుతుంది. 
     ఉదా: 3 : 5 కి విలోమ నిష్పత్తి  లేదా 5 : 3 అవుతుంది.
*  a : b : c కి విలోమ నిష్పత్తి

 (లేదా) be : ca : ab. 
    ఉదా: 2 : 3 :5 కి విలోమ నిష్పత్తి  (లేదా) 3 × 5 : 5 × 2 : 2 × 3 = 15 : 10 : 6 అవుతుంది.
*  a : b ; c : d ; e : f  ల బహుళ నిష్పత్తి (Compounded Ratio)  (లేదా)  (ace : bdf) అవుతుంది.
    ఉదా: 1 : 2 ; 3 : 4 ; 5 : 6 ల బహుళ నిష్పత్తి  (లేదా) (1 × 3 × 5 : 2 × 4 × 6) = 15 : 48 (3తో భాగిస్తే) = 5 : 16 అవుతుంది.
*  వర్గ నిష్పత్తి a : b కి వర్గ నిష్పత్తి a² : b² 
    ఉదా: 2 : 3 నిష్పత్తికి వర్గ నిష్పత్తి 2² : 3² = 4 : 9 అవుతుంది.
*  వర్గమూల నిష్పత్తి a : b కి వర్గమూల నిష్పత్తి  ( లేదా) a^1/2 : b^1/2
     ఉదా: 16 : 9 నిష్పత్తికి వర్గమూల నిష్పత్తి  = 4 : 3 అవుతుంది.

*   ఘన నిష్పత్తి a : b కి ఘన నిష్పత్తి a³ : b³ 
     ఉదా: 2 : 1 నిష్పత్తికి ఘన నిష్పత్తి 2³ : 1³ = 8 : 1 అవుతుంది.
*   ఘనమూల నిష్పత్తి a : b కి ఘనమూల నిష్పత్తి a^1/3 : b^1/3 
     ఉదా: 27 : 64 నిష్పత్తికి ఘనమూల నిష్పత్తి (27)^1/3 : (64)^1/3 దాన్ని (33)^1/3 : (43)^1/3 
      = 3^1/3 : 4^1/3
      = 3¹ : 4¹ 
      = 3 : 4 [._.. (aⁿ)^m = a^nm]

*   రెండు నిష్పత్తులు సమానమైతే ఆ రెండు నిష్పత్తుల్లో ఉన నాలుగు రాశులు క్రమంగా 'అనుపాతం'లో ఉన్నాయంటాం.
*   అంటే a : b = c : d అయితే a, b, c, d లు అనుపాతంలో ఉన్నాయంటాం.
*   a : b = c : d అనే అనుపాతాన్ని  అని లేదా a : b : c : d అని కూడా సూచిస్తారు.
*   అనుపాతంలోని నాలుగు సంఖ్యలు ఒకే జాతికి చెందినవి కావచ్చు లేదా మొదటి నిష్పత్తికి చెందిన రెండు రాశులు ఒకే జాతికి చెందినవి, రెండో నిష్పత్తికి చెందిన రెండు రాశులు వేరొక సదృశజాతికి చెందినవి కావచ్చు.
*  

 అయితే a, b, c, d లను వరుసగా అనుపాతం మొదటి, రెండో, మూడో, నాలుగో పదాలు అంటారు.

*   అనుపాతం మొదటి, నాలుగో పదాలైన a, d లను ' అంత్యాలు ', రెండో, మూడో పదాలైన c, d లను ' మధ్యాలు ' అంటారు.       
*   నాలుగు సంఖ్యలు అనుపాతంలో ఉంటే అంత్యాల లబ్ధం = మధ్యాల లబ్ధం. అంటే a : d = c : b అయితే ad = bc
     ఉదా:  అనే అనుపాతంలో అంత్యాలు = 2, 25 మధ్యాలు = 5, 10 
     అంత్యాల లబ్ధం = 2 × 25 = 50 
     మధ్యాల లబ్ధం = 5 × 10 = 50 
     అంత్యాల లబ్ధం = మధ్యాల లబ్ధం
*   నాలుగు సంఖ్యలు అనుపాతంలో లేకపోతే అంత్యాల లబ్ధం ≠ మధ్యాల లబ్ధం. అంటే a : b = c : d అయితే ad ≠ bc.
     ఉదా: 2, 3, 30, 40 అనే సంఖ్యలు అనుపాతంలో ఉండవు. 
     వీటి అంత్యాల లబ్ధం = 2 × 40 = 80 
     మధ్యాల లబ్ధం 3 × 30 = 90
     అంత్యాల లబ్ధం ≠ మధ్యాల లబ్ధం
*   a, bలు అనుపాతంలో ఉంటే 'b'ను a, b ల అనుపాత మధ్యమం అంటారు. అప్పుడు b² = ac అవుతుంది.
*   x, y అనే రెండు చలరాశుల మధ్య నిష్పత్తి  ఎప్పుడూ ఒక స్థిరాంకం K అయ్యేలా చెరిస్తే అవి 'అనులోమానుచరత్వం' కలిగి ఉన్నాయని అంటాం. K ను చరత్వ స్థిరాంకం అంటాం.

  x, y లు అనులోమ చరత్వం కలిగి ఉంటే  = K, లేదా x = Ky దీన్ని x ∝ y తో సూచిస్తాం.
*  x, y లు విలోమానుపాతంలో ఉంటే x,  లు y,   లు అనులోమానుపాతంలో ఉంటాయి. లేదా x, y లు విలోమాను పాతంలో ఉంటే x ∝ , y ∝

 అవుతుంది.
*  a : b = c : d అయితే 'd' ను 'అనుపాతచతుర్థం' అంటాం. అంటే నాలుగు పదాలు అనుపాతంలో ఉంటే నాలుగో పదాన్ని మొదటి మూడు పదాలకు అనుపాతచతుర్థం అంటాం. అప్పుడు d = 
*  a : b = c : d అయితే 'c' ను a, b ల అనుపాత తృతీయ అంటాం. అప్పుడు 
*  a : b, c : d ల బహుళ నిష్పత్తి ac : bd అవుతుంది.

రెండు రాశులు ఒకే ప్రమాణాలు కలిగి ఉండి మొదటి దాన్ని రెండోది భాగిస్తే దాన్ని నిష్పత్తి అంటారు.
* a, b లు ఏవైనా రెండు రాశులు ఒకే ప్రమాణాలతో ఉంటే వాటి మధ్య నిష్పత్తిని a/b లేదా a : b గా రాస్తారు.
*  a : b నిష్పత్తిలో a ని పూర్వపదం (Antecedent) అని, b ని పరపదం(Consequent) అంటారు.  

→ రెండు నిష్పత్తులు సమానమైతే వాటిని అనుపాతం అంటారు.
→  a : b = c : d లో a, d ని అంత్యాలు అని b, c లను మధ్యమాలు అని అంటారు.
→  అంత్యాల లబ్ధం = మధ్యమాల లబ్ధం.
                     ad = bc

1.   అనే నిష్పత్తికి విలోమ నిష్పత్తి ఎంత?
   = 1(5) : 1(4) = 5 : 4

  = 5 : 4 అనే నిష్పత్తికి విలోమ నిష్పత్తి = 4 : 5

2. ఒక లోహంలో రాగి, జింక్ 9 : 5 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి. అందులో జింక్ బరువు 9.5 గ్రా. అయితే రాగి బరువు ఎంత?
        1) 16.1 గ్రా           2) 17.1 గ్రా
        3) 18.1 గ్రా           4) 19.1 గ్రా
సాధన: ఒక లోహంలో రాగి, జింక్‌ల నిష్పత్తి = 9 : 5
         రాగి బరువు = 9x అనుకుందాం
        జింక్ బరువు = 5x అనుకుందాం
లెక్క ప్రకారం:
జింక్ బరువు = 9.5 గ్రా
5x = 9.5 గ్రా  

 x =  గ్రా = 1.9 గ్రా
రాగి బరువు = 9x
                = 9  × 1.9 గ్రా
                = 17.1 గ్రా.
 రాగి బరువు = 17.1 గ్రా.                    

జవాబు: 2

సంక్షిప్త పద్థతి: రాగి : జింక్
                      9 : 5
                          ↓  
                        9.5 గ్రా
జింక్ బరువు = 5 సమాన భాగాలు
                  = 9.5 గ్రా
1 సమాన భాగం = 

 = 1.9 గ్రా
రాగి బరువు = 9 సమాన భాగాలు
 9 × 1.9 గ్రా. = 17.1 గ్రా.
* a : b = c : d అయితే a, b, c, d లు అనుపాతంలో ఉంటాయి.
* a, b, c, d లు అనుపాతంలో ఉంటే, a : b = c : d
       a × d = b × c

3. 36, 9, 64 ల అనుపాత చతుర్థ పదం ఎంత?
1) 16        2) 18        3) 19       4) 20

సాధన: 36, 9, 64, x లు అనుపాతంలో ఉంటే

          
         36 × x = 9 × 64

జవాబు: 1

* a : b = b : c అయితే a, b, b, c లు అనుపాతంలో ఉంటాయి.
* a, b, b, c లు అనుపాతంలో ఉంటే a, b, c లు అనుపాతంలో ఉంటాయి.
* a, b, c లు అనుపాతంలో ఉంటే,   అవుతుంది.
* a, b, c లు అనుపాతంలో ఉంటే 'b' ని a, c ల అనుపాత మధ్యమం అంటారు.
Note: 1) a, b, c లు అనుపాతంలో ఉంటే

 
b = 
 (  a, c ల అనుపాత మధ్యమం = b)
 2) a, b ల అనుపాత మధ్యమం = 

3) x, y ల అనుపాత మధ్యమం =  

4. 9, 16 ల అనుపాత మధ్యమం ఎంత?
     1) 10      2) 12      3) 14     4) 15
సాధన: 9, 16 ల అనుపాత మధ్యమం
             = 
             =   = 12                      

జవాబు: 2

అనులోమానుపాతం (Directly Proportional)

 ఒక రాశి పెరిగితే రెండో రాశి కూడా పెరగడం లేదా ఒక రాశి తగ్గితే రెండో రాశి కూడా తగ్గడం జరిగితే ఆ రెండు రాశులు అనులోమ చరత్వం (అనులోమానుపాతం) కలిగి ఉన్నాయని అంటారు.
 x, y లు అనుపాతంలో ఉంటే x  y అని రాస్తాం
  x  y అయితే 

 (k = స్థిరాంకం అవుతుంది)
 

1.  x  y,  x = 102 అయితే y = 170;  x = 132 అయితే y = ?
1) 212       2) 208        3) 210       4) 220
సాధన:

              

x  y కాబట్టి  
 ? = 132 ×   = 220          

జవాబు: 4

విలోమానుపాతం (Inversely Proportional)   

''ఒక రాశి పెరిగితే రెండో రాశి తగ్గడం లేదా ఒక రాశి తగ్గితే రెండో రాశి పెరగడం" ఇలా జరిగితే ఆ రెండు రాశులు విలోమ చరత్వం (విలోమానుపాతం) కలిగి ఉన్నాయని అంటారు.
x, y లు విలోమానుపాతంలో ఉంటే x    అని రాస్తారు
x 

   అయితే xy = k (k = స్థిరాంకం)

1. రోజుకు 54 పేజీల చొప్పున చదివితే ఒక పుస్తకం 16 రోజుల్లో పూర్తవుతుంది. 9 రోజుల్లో ఆ పుస్తకం పూర్తి చేయాలంటే రోజుకు ఎన్ని పేజీలు చదవాలి?
1) 86       2) 88      3) 96      4) 94
సాధన: 
       

x   కాబట్టి, 54 × 16 = ? × 9
 = ?  ⇒ ? = 96 పేజీలు          

జవాబు: 3
 

మాదిరి ప్రశ్నలు  

1.  A, B, C లు క్రికెట్ క్రీడాకారులు. ఒక మ్యాచ్‌లో A, B ల పరుగుల నిష్పత్తి 3 : 2; B, C ల పరుగుల నిష్పత్తి 3 : 2. వారి ముగ్గురి మొత్తం స్కోరు 342 పరుగులు అయితే ఆ మ్యాచ్‌లో A చేసిన పరుగులు ఎన్ని?
1) 162       2) 142        3) 122      4) 182 
జవాబు: 1
సాధన: A : B = 3 : 2, B : C = 3 : 2
          A : B : C = 9 : 6 : 4
A స్కోరు = 
           =   × 342 = 162
 A పరుగులు = 162                      

2. 30 మంది పనివారు ఒక పనిని రోజుకు 7 గంటల చొప్పున పనిచేస్తూ 18 రోజుల్లో పూర్తి చేయగలరు. అదే పనిని 21 మంది రోజుకు 8 గంటల చొప్పున పనిచేస్తూ ఎన్ని రోజుల్లో చేయగలరు?
1) 21 రోజులు    2) 21 

 రోజులు    3) 22   రోజులు    4) 24   రోజులు 
జవాబు: 3

సాధన:  మంది -  గంటలు -  రోజులు
       30     -     7        -   18
       21     -     8        -    ? (x)

మంది                     రోజులు

30               -            18
21               -            ?      (విలోమానుపాతం)
(తగ్గితే)            (పెరుగుతాయి)

గంటలు      -            రోజులు
7                          18
8                              ?    (విలోమానుపాతం)
(పెరిగితే)              (తగ్గుతాయి)

x = 18 × 

 ×  =  =   రోజులు. 

3.  a : b = 7 : 5, b : c = 9 : 11 అయితే a : b : c = ?
1) 63 : 14 : 55         2) 63 : 45 : 55
3) 16 : 14 : 15         4) 7 : 14 : 55 
జవాబు: 2

సాధన:
     a : b = 7 : 5,   b : c = 9 : 11
     a : b : c = (7 × 9) : (9 × 5) : (5 × 11)
                  = 63 : 45 : 55                 

4. a : b = 2 : 3, b : c = 4 : 5 అయితే a : b : c ఎంత?
జ. 8 : 12 : 15
సాధన: ఇందులో రెండింటిలో ఉమ్మడిగా b ఉంది. కాబట్టి మొదటి నిష్పత్తిని 4 తో, రెండో నిష్పత్తిని 3 తో గుణించాలి.

5. A : B = 3 : 4, B : C = 8 : 10, C : D = 15 : 17 అయితే A : B : C : D ఎంత?
జ. 9 : 12 : 15 : 17
సాధన: A : B = 3 : 4
          B : C = 8 : 10
         C : D = 15 : 17

A : B : C : D 
  = 3 × 8 × 15 : 4 × 8 × 15 : 4 × 10 × 15 : 4 × 10 × 17
  = 9 : 12 : 15 : 17
 

6. A : B = 3 : 4, B : C = 8 : 9 అయితే A : C ఎంత?
జ. 2 : 3
సాధన: మొదటి, చివరి విలువను అడిగినప్పుడు 

            
7. a : b = 2 : 3, b : c = 4 : 5, c : d = 6 : 7 అయితే a : d ఎంత?
జ. 16 : 35
సాధన: మొదటి, చివరి విలువలను అడిగినప్పుడు

          
8. 6, 9, 20 ల నాలుగో అనుపాతం ఎంత?
జ. 30

సాధన: నాలుగో అనుపాతం x అనుకుందాం. అప్పుడు 6 : 9 = 20 : x (అంత్యాల లబ్ధం = మధ్యమాల లబ్ధం)
                                                                         6 x = 9 × 20

                                                                                  
9. 16, 4 ల మూడో అనుపాతం ఎంత?
జ. 1
సాధన: మూడో అనుపాతం x అనుకుందాం.  అప్పుడు 16 : 4 = 4 : x

           
10. 32, 2 ల మధ్య అనుపాతం ఎంత?
జ. 8
సాధన: మధ్య అనుపాతం x అనుకుందాం. అప్పుడు 32 : x = x : 2

                                                                               

11. రెండు సంఖ్యల మధ్య నిష్పత్తి 5 : 3 ప్రతి సంఖ్యకు 3 కలిపితే వాటి మధ్య నిష్పత్తి 14 : 9. అయితే అందులో చిన్న సంఖ్య ఎంత?
జ. 15
సాధన:

12. రెండు సంఖ్యల మధ్య నిష్పత్తి 7 : 12. ప్రతి సంఖ్యలో నుంచి ఏ సంఖ్యను తీసివేస్తే వాటి మధ్య నిష్పత్తి 1 : 2 అవుతుంది?
జ. 2
సాధన:

13. రెండు సంఖ్యల మొత్తం 30, వాటి మధ్య వ్యత్యాసం 12. అయితే రెండు సంఖ్యల మధ్య నిష్పత్తి ఎంత?
జ. 7 : 3

సాధన:

14. రూ. 735లను A, B, Cలకు పంచాలి. ప్రతి ఒక్కరూ రూ. 25 తీసుకున్నాక వారు పంచుకున్న నిష్పత్తి 1 : 3 : 2. అయితే C వాటా ఎంత?
జ. రూ.245

సాధన:

 
15. రూ. 2430లను A, B, Cలకు పంచాలి. వారు వరుసగా రూ.5, రూ.10, రూ.15 తీసుకున్నారు. తర్వాత వారు పంచుకున్న నిష్పత్తి 3 : 4 : 5 అయితే B వాటా ఎంత?
జ. రూ.810
సాధన:

           

16. ఒక వ్యక్తి వద్ద కొన్ని కోళ్లు, ఆవులు ఉన్నాయి. మొత్తం తలల సంఖ్య 50, మొత్తం కాళ్ల సంఖ్య 142. అయితే అతడి వద్ద ఎన్ని ఆవులు ఉన్నట్లు?
జ. 142
సాధన:

17. 2 : 3, 6 : 11, 11 : 2 ల బహుళ నిష్పత్తి ఎంత?
జ. 2 : 1

సాధన:

18. ఒక పాఠశాలలో బాలురు, బాలికల మధ్య నిష్పత్తి 8 : 5 అందులో బాలికల సంఖ్య 160 అయితే, మొత్తం విద్యార్దుల సంఖ్య ఎంత?
జ. 416
సాధన: బాలురు = 8x, బాలికలు = 5x
    ఇచ్చిన లెక్క ప్రకారం 5x = 160

= 13 × 32 = 416
 

19. 172 సెం.మీ. పొడవున్న ఒక మనిషి నీడ సాయంత్రం సమయంలో 2 మీటర్లు ఉంది. అక్కడే ఉన్న దేవాలయం నీడ పొడవు 16 మీటర్లయితే దేవాలయం ఎత్తు ఎంత?

జ:  13.76 మీ 
వివరణ:    
    

20. x, 54, 216, 486 అనుపాతంలో ఉంటే 'x' విలువ ఎంత?
జ:  24
వివరణ:  x, 54, 216, 486 అనుపాతంలో ఉన్నాయి. వాటి అంత్యాల లబ్ధం మధ్యాల లబ్ధానికి సమానం.

            
21. రెండు సంఖ్యల నిష్పత్తి 2 : 3, వాటి క.సా.గు. 216 అయితే ఆ సంఖ్యల మొత్తమెంత?
     6, 180, 36 
జ:  180
వివరణ:  జవాబుల నుంచి సరిచూస్తే, రెండు సంఖ్యలను 2x, 3xగా తీసుకుంటే వాటి మొత్తం 5x అవుతుంది. '5x' తో ఇచ్చిన జవాబుల్లో 180 మాత్రమే కచ్చితంగా భాగితమవుతుంది. అదే సరైన జవాబు.

ఆ సంఖ్యలు

2 × 36 = 72
3 × 36 = 108
72, 108 ల క.సా.గు 216 కు సరిపోతుంది.
 

22. ఒక సంచిలో 25 పై, 50 పై, 1 రూపాయి నాణేలు 3 : 2 : 1 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి. సంచిలో మొత్తం నాణేలు 60 అయితే 25 పైసల నాణేల మొత్తమెంత?
జ:  రూ. 7.50
వివరణ:  ఒక సంచిలో ఉన్న నాణేలు 0.25, 0.50, 1.00.
వాటి నిష్పత్తి 3 : 2 : 1 (ఇది నాణేల సంఖ్య నిష్పత్తి)
'60' అనేది నాణేల మొత్తం సంఖ్య కాబట్టి

23. రూ. 624ను A, B, C లకు  నిష్పత్తిలో విభజిస్తే A, B ల మొత్తం వాటా 'C' వాటా కంటే ఎంత ఎక్కువ?
జ: రూ. 336

23. 'A' లోని 10% 'B' లోని 20% సమానం. 'B' లోని 30% 'C' లోని 45% సమానం. 'B' అనే వ్యక్తి A, C ల కంటే రూ.20,000 తక్కువగా పొందితే, 'C' అనే వ్యక్తి B, A ల కంటే ఎంత తక్కువగా పొందుతాడు?
జ:  రూ. 28,000

వివరణ:    

 

24. 132 లీటర్ల మిశ్రమంలో పాలు, నీళ్ల నిష్పత్తి 5 : 6. ఆ మిశ్రమానికి ఎన్ని నీళ్లు కలిపితే పాలు, నీళ్ల నిష్పత్తి 2:3 అవుతుంది?
జ:  18 లీటర్లు
వివరణ:    

   

25. కిలోకు రూ.16, రూ.19 విలువ ఉండే రెండు రకాల గోధుమ పిండిని ఏ మిశ్రమంలో కలిపితే దాని ధరను రూ. 18గా నిర్ణయించవచ్చు?
జ: 1 : 2 
వివరణ:  కిలో 16 రూపాయల గోధుమపిండి పరిమాణం 'X' అనుకుంటే కిలో 19 రూపాయల గోధుమపిండి పరిమాణం 'Y' అనుకుంటే 

   
26. ఒక తోటలో ఆడుకునే పిల్లల్లో బాలురు, బాలికల నిష్పత్తి 4:5. కిందివాటిలో ఆ తోటలోని పిల్లల సంఖ్యకు చెందనిది?
 156, 144, 171, 153 
జ:  156
వివరణ:  (మొత్తం విలువ అనేది దాన్ని విభజించిన నిష్పత్తుల మొత్తంతో నిశ్శేషంగా భాగితమవుతుంది కాబట్టి)
ఇక్కడ 156 ను 9 (4 + 5) తో నిశ్శేషంగా భాగించలేం కాబట్టి జవాబు 156. 

27. ఒక పంచాయతీ వార్డు మెంబరు ఎన్నికల్లో ఇద్దరు అభ్యర్థులకు వచ్చిన ఓట్ల నిష్పత్తి 13 : 19. ఓడిన అభ్యర్థికి గెలిచిన అభ్యర్థి కంటే 1,26,300 ఓట్లు తక్కువగా వచ్చాయి. అయితే విజేతకు వచ్చిన ఓట్లు ఎన్ని?
జ: 3,99,950
వివరణ:  అభ్యర్థులు పొందిన నిష్పత్తి 13 : 19. ఓడిన అభ్యర్థికి గెలిచిన అభ్యర్థి కంటే 1,26,300 ఓట్లు తక్కువ వచ్చాయి. అంటే వారిద్దరి మధ్య వ్యత్యాసం 1,26,300.
('6' అనేది నిష్పత్తుల మధ్య భేదం 19 - 13 = 6) 
  గెలుపొందిన వ్యక్తికి వచ్చిన మొత్తం ఓట్లు  

     
28. ఒక మిశ్రమంలో మద్యం, నీరు 2 : 3 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి. ఆ మిశ్రమంలో 4 లీటర్ల నీటిని అధికంగా చేరిస్తే వాటి నిష్పత్తి 3 : 5. అయితే మొత్తంగా నీటి పరిమాణం ఎంత?
జ:  40 లీటర్లు

వివరణ:  మిశ్రమంలో మద్యం, నీరు 2x, 3y అనుకుంటే 
       (._.. 5 × 2x = 3(3x + 4))
 .^.. 10x = 9x + 12     (._.. 5 × 2x = 3 × 3x +4 × 3) 
 .^..    x = 12
నీటిని కలిపిన తర్వాత నీటి పరిమాణం  = 3x + 4
                                                   = 3 × 12 + 4
                                                   = 40 లీటర్లు
 

29. 186 ను రెండింటిగా విడగొడితే అందులో ఒకదానిలో 5వ భాగం, రెండోదానిలో 4వ భాగాల నిష్పత్తి 3 : 4. విడగొట్టినవాటిలో పెద్ద సంఖ్య ఎంత?
జ:  96
వివరణ:    

      

30. 20 లీటర్ల మద్యం ద్రావణంలో 20 శాతం మాత్రమే మద్యం. ఆ ద్రావణంలో 4 లీటర్ల నీటిని కలిపితే ఏర్పడిన మిశ్రమంలో మద్యం, నీటి నిష్పత్తి ఎంత?
జ:  1 : 5
వివరణ:  20 లీటర్ల మద్యం ద్రావణంలో 20 శాతం మద్యం ఉంది.

మొత్తం ద్రావణంలో నీటి పరిమాణం = 20 - 4 = 16 లీటర్లు 
  4 లీటర్ల నీటిని అధికంగా కలిపితే... (16 + 4) = 20 లీటర్లు
  మద్యం : నీళ్లు
          4 : 20 
         (1 : 5)
  మద్యం, నీళ్ల నిష్పత్తి = 1 : 5
 

31. ఒక గుంపులో కొందరు మనుషులున్నారు. కొన్ని గుర్రాలున్నాయి. మొత్తం తలల సంఖ్య 60. మొత్తం కాళ్ల సంఖ్య 150 అయితే మనుషులు, గుర్రాల నిష్పత్తి ఎంత?
జ:  3 : 1

వివరణ:  గుర్రాలు, మనుషుల తలల సంఖ్య 60 అంటే మొత్తం గుర్రాలు, మనుషుల సంఖ్య 60.
గుర్రాలకు మనుషుల కంటే '2' కాళ్లు అధికం. అంటే -
మనుషులకు రెండు కాళ్లు ఉంటాయి. గుర్రాలకు మరో రెండు ఎక్కువ.
కాబట్టి... 60 × 2 = 120. మిగిలినవి అంటే (150 - 120) 30 కాళ్లను గుర్రాలకు వర్తింపజేస్తే  
అప్పుడు గుర్రాల సంఖ్య 15 అవుతుంది.
మనుషుల సంఖ్య = 45 (60 - 15).
కావాల్సిన నిష్పత్తి =  45 : 15 = 3 : 1 అవుతుంది. 
                                                                 (లేదా) 

32. మూడు ద్విచక్ర వాహనాల వేగాల నిష్పత్తి 2 : 5 : 4. ఒకే దూరానికి ఆ వాహనాలు వెళ్లినప్పుడు వాటి కాలాల నిష్పత్తిని కనుక్కోండి?
జ: 10 : 4 : 5 

33. రెండు సంఖ్యల మధ్య నిష్పత్తి 3 : 5. ప్రతి సంఖ్యలో నుంచి 9 తీసివేస్తే, వాటి మధ్య నిష్పత్తి 12 : 23. అందులో చిన్న సంఖ్య ఎంత?
జ. 33

34. 5, 6, 150 ల నాలుగో అనుపాతం ఎంత?
జ. 180
 

35. ఒక పాఠశాలలో బాలురు, బాలికలు మధ్య నిష్పత్తి 2 : 5. మొత్తం విద్యార్థులు 350 మంది అయితే బాలికలు ఎంతమంది?
జ. 250
 

36. A : B = 3 : 4, B : C = 8 : 9 అయితే A : B : C ఎంత?
జ. 6 : 8 : 9
 

37. 2A = 3B = 4C అయితే A : B : C ఎంత?
జ. 6 : 4 : 3