త్రికోణమితి

కోణాల కొలతలో మూడు మానాలు!

అంతరిక్షంలో ఖగోళ వస్తువుల స్థానాలను నిర్ణయించడంలో, అన్ని రకాల నిర్మాణాల్లో కోణాలు, దూరాలు, దిక్కులను లెక్కకట్టాల్సి ఉంటుంది. ఇందుకోసం గణితంలోని త్రికోణమితి సూత్రాలు సాయపడతాయి. నిత్య జీవితంలోనూ జామెట్రీ, ఫిజిక్స్, ఇంజినీరింగ్‌ విభాగాల్లో త్రికోణమితి అవసరం ఉంటుంది. అందుకే ఆ అధ్యాయంలోని ప్రాథమిక అంశాలను పోటీ పరీక్షార్థులు తెలుసుకోవాలి. త్రిభుజంలోని భుజాలు, కోణాల మధ్య సంబంధాన్ని అర్థం చేసుకోవాలి.  

*  త్రికోణమితి అనే పదం గ్రీకు భాష నుంచి పుట్టింది.

*    గ్రీకు భాషలో TRIO అంటే మూడు, GONIA అంటే కోణం, METRON అంటే మాపనం లేదా కొలత అని అర్థం. అంటే త్రికోణమితి అంటే మూడు కోణాల కొలత అని అర్థం.

*  త్రిభుజంలోని మూడు భుజాలు, మూడు కోణాలకు మధ్య ఉండే సంబంధాలను హిప్పార్‌కస్‌ అనే గ్రీకు గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు తెలిపాడు.

*   లంబ కోణం 90⁰ ఉంటుంది. 

*   అల్పకోణం 0⁰, 90⁰ ల మధ్య ఉండే కోణం.

*   అధిక కోణం 90⁰, 180⁰ ల మధ్య ఉండే కోణం.

*  చిన్న కోణాలను కొలవడానికి ముఖ్యంగా మూడు మానాలు ఉంటాయి

1) షష్ఠ్యాంశ మానం (ఆంగ్ల పద్ధతి)

2) శతాంశ మానం ( ఫ్రెంచి పద్ధతి)

 3) రేడియన్‌ మానం ( వర్తులా మానం)

1. షష్ఠ్యాంశ మానం

తొలి భుజం నుంచి అంతిమ భుజానికి ఏర్పడిన భ్రమణం.. ఒక సంపూర్ణ భ్రమణంలో 360వ భాగం అయితే ఆ కోణ ప్రమాణాన్ని ఒక డిగ్రీ అని అంటారు. దీన్ని 1⁰ తో సూచిస్తారు.

నిమిషం

ఒక డిగ్రీని 60 సమభాగాలుగా చేసిన ఒక్కొక్క భాగాన్ని ఒక (1) నిమిషం అంటారు. దాన్ని 1' గా సూచిస్తారు.  

సెకన్‌: ప్రతి నిమిషాన్ని తిరిగి 60 సమభాగాలుగా చేసినా, ప్రతి సమభాగాన్ని ఒక సెకన్‌ అంటారు. దీన్ని 1'' గా సూచిస్తారు. 

ప్రతి దశలో 60 సమ భాగాలు చేయడం వల్ల ఈ మానానికి షష్ఠ్యాంశ మానం అని పేరు వచ్చింది.

1⁰ = 60'     11 = 60''

2. శతాంశ మానం

ఫ్రెంచివారు ఈ మానం ఎక్కువగా ఉపయోగించేవారు. ఈ మానంలో ఒక లంబ కోణాన్ని 100' సమభాగాలుగా చేసినా... ఒక్కొక్క భాగాన్ని 1 గ్రేడ్‌ అని అంటారు. దీన్ని 1^g తో సూచిస్తారు.

(కోణ ప్రమాణాన్ని షష్ఠ్యాంశ మానం నుంచి గ్రేడ్‌ మానంలోకి మార్చాలంటే 10/9 తో, గ్రేడ్‌ మానం నుంచి షష్ఠ్యాంశ మానంలోకి మార్చాలంటే 9/10  గుణించాలి.)

3. రేడియన్‌ మానం

O కేంద్రంగా, r వ్యాసార్ధంతో ఒక వృత్తాన్ని తీసుకుంటే, వృత్త వ్యాసార్ధం (r)  తో సమానమైన చాపాన్ని వృత్త పరిధిపై తీసుకుంటే, ఆ చాపం అదే వృత్త కేంద్రం వద్ద చేసే కోణాన్ని ఒక రేడియన్‌ అంటారు. ఈ కోణానికి శీర్షం వృత్త కేంద్రం వద్ద ఉంటుంది. దీన్ని 1^c తో సూచిస్తారు.

రేడియన్‌ వృత్తానికి సంబంధించింది కాబట్టి రేడియన్‌ మానాన్ని ‘వర్తులా మానం’ అని కూడా అంటారు.

θ కు పక్క భుజం = పక్క భుజం లేదా ఆసన్న భుజం (BC)

ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో అతిపెద్ద భుజం = కర్ణం

పైథాగరస్‌ త్రిపాది సంఖ్యలు

1) (3, 4, 5)

2) (5, 12, 13)

3) (7, 24, 25)

4) (8, 15, 17)

5) (9, 40, 41)

6) (10, 24, 26)

7) (11, 60, 61)

8) (12, 35, 37)

9) (16, 63, 65)

10) (20, 99, 101)

11) (35, 56, 65)

ప్రతీ పైథాగరస్‌ త్రిపాది ((m² - 1), (2m), (m2 + 1)) రూపంలో ఉంటాయి.

మాదిరి ప్రశ్నలు

1. cosx + cosy = 2 అయితే sinx + siny  విలువ ఎంత?

1) 1    2) 2     3) -1    4) 0

వివరణ: cosx + cosy = 2

cosx = cosy = 1 = cos0⁰

= sin0⁰ + sin0⁰

0 + 0 = 0

జ: 4

2.   tanq + cotq = 2 అయితే θ విలువ ఎంత?

1) 30°    2) 60°    3) 45°    4) 90°

జ: 3

జ: 3

జ: 3

1) 1    2) 2     3) 0     4) -1

 

రచయిత: దొర కంచుమర్తి