అరిథ్మెటిక్లోని వృత్తం గురించి అధ్యయనం చేసేటప్పుడు అందులో వినియోగించే పారిభాషిక పదాలైన జ్యా, వ్యాసం, వ్యాసార్ధం, పరిధి, అర్ధవృత్తం తదితరాలను తెలుసుకోవాలి. వాటికి సంబంధించి సూత్రాలను కంఠస్థం చేయాలి. వీలైనన్ని ఎక్కువ ప్రశ్నలను సాధన చేయాలి.
నిర్వచనం: ఒక స్థిర బిందువుకు సమాన దూరంలో ఉన్న బిందువులను కలుపగా ఏర్పడే సంవృతపటాన్ని 'వృత్తం' అంటారు. ఆ స్థిర బిందువును వృత్త కేంద్రం అంటారు.
వ్యాసార్ధం (Radius): వృత్త కేంద్రానికి, వృత్తంపై ఒక బిందువుకు మధ్య ఉన్న దూరాన్ని వ్యాసార్ధం అంటారు. దీన్ని r అనే అక్షరంతో సూచిస్తారు.
= వ్యాసార్ధం (r)
గమనిక: వృత్తంలో వ్యాసార్ధాలన్నీ సమానం.
జ్యా (Chord): వృత్తంపై ఉన్న ఏ రెండు బిందువులనైనా కలుపుతూ గీసిన రేఖా ఖండాన్ని 'జ్యా ' అంటారు.
గమనిక: 1. వృత్తంలో జ్యాలు అసమానాలు.
2. వృత్తంలో జ్యా ఆ వృత్తాన్ని రెండు వృత్త ఖండాలుగా విభజిస్తుంది.
అవి: i) అధిక వృత్తఖండం ii) అల్ప వృత్తఖండం
వ్యాసం (Diameter): వృత్తకేంద్రం గుండా వెళ్లే జ్యాని వ్యాసం అంటారు. దీన్ని d అనే అక్షరంతో సూచిస్తారు.
= వ్యాసం (d)
గమనిక: 1. వృత్తంలో ఉన్న వ్యాసాలు అనంతం.
2. వృత్తంలో వ్యాసాలన్నీ సమానం.
3. వృత్తవ్యాసం (d) = 2 × వృత్త వ్యాసార్ధం (r)
వృత్తపరిధి (Circumference): వృత్తం చుట్టుకొలతను వృత్తపరిధి అంటారు. r వ్యాసార్ధం ఉన్న వృత్తపరిధి విలువ ఆ వ్యాసార్ధానికి 2
వృత్తపరిధి (C) = 2r యూ. (లేదా) = d యూ.
వృత్త వైశాల్యం (A): వృత్తం ఆక్రమించిన ప్రదేశాన్ని వైశాల్యం అంటారు.
r వ్యాసార్ధం ఉన్న వృత్త వైశాల్యం (A) = r2 చ.యూ. లేదా
అర్థ వృత్తం (Semi - Circle)
వృత్తంలో వ్యాసం ఆ వృత్తాన్ని రెండు సమాన భాగాలుగా విభజిస్తుంది. ఒక్కో సమాన భాగాన్ని అర్ధ వృత్తం అంటారు.
AB = వ్యాసం
O = అర్ధవృత్త కేంద్రం
అర్ధవృత్త చుట్టుకొలత = r + 2r యూ.
= (
అర్ధవృత్త వైశాల్యం = r2 చ.యూ.
మాదిరి సమస్యలు
1. ఒక వృత్త వ్యాసార్ధం 3.75 సెం.మీ. అయితే ఆ వృత్త వ్యాసం ఎంత? (సెం.మీ.లలో)
1) 6.5 2) 7.5 3) 8.5 4) 5.5
సాధన: వృత్త వ్యాసార్ధం (r) = 3.75 సెం.మీ.
వృత్త వ్యాసం (d) = 2r
= 2 × 3.75 = 7.5 సెం.మీ.
సమాధానం: 2
2. వృత్త వ్యాసార్ధం, వ్యాసానికి మధ్యగల నిష్పత్తి ....
1) 1 : 2 2) 2 : 1 3) 1 : 3 4) 3 : 1
సాధన: వృత్త వ్యాసార్ధం : వృత్త వ్యాసం = r : d
= r : 2r = 1 : 2
సమాధానం: 1
3. ఒక వృత్త వ్యాసార్ధం 10.5 సెం.మీ. అయితే ఆ వృత్త పరిధి ఎంత? (సెం.మీ.లలో)
1) 44 2) 55 3) 66 4) 72
సాధన: వృత్త వ్యాసార్ధం (r) = 10.5 సెం.మీ.
4. 88 సెం.మీ. పొడవున్న సన్నని తీగను వృత్తాకారంలో మలిస్తే, ఆ వృత్త వ్యాసార్ధమెంత? (సెం.మీ.లలో)
1) 7 2) 10.5 3) 12 4) 14
సాధన: తీగను వృత్తాకారంలో మలిస్తే, ఆ వృత్త పరిధి విలువ తీగ పొడవుకు సమానం.
పై సమస్యలో వృత్త పరిధి = తీగ పొడవు
C = 88 సెం.మీ.
సమాధానం: 4
5. రెండు వృత్తాల వ్యాసార్ధాల నిష్పత్తి 4 : 7. అయితే ఆ వృత్త పరిధుల నిష్పత్తి ఎంత?
1) 4 : 5 2) 4 : 7 3) 7 : 4 4) 5 : 4
సాధన: రెండు వృత్తాల వ్యాసార్ధాలు వరుసగా r1, r2 అనుకోండి.
r1 : r2 = 4 : 7
మొదటి వృత్త పరిధి (C1) = 2πr1
రెండో వృత్త పరిధి (C2) = 2πr2
C1 : C2 = 2πr1 : 2πr2 ⇒ r1 : r2 = 4 : 7
సమాధానం: 2
6. ఒక వృత్త పరిధి 22 సెం.మీ. అయితే ఆ వృత్త వైశాల్యమెంత? (చ.సెం.మీ.లలో)
1) 99 2) 77 3) 38.5 4) 43.5
= 38.5 చ.సెం.మీ.
సమాధానం: 3
7. ఒక చక్రం వ్యాసం 40 సెం.మీ. అది 0.88 కి.మీ. దూరం ప్రయాణించడానికి చేయాల్సిన భ్రమణాల సంఖ్య....
1) 700 2) 600 3) 800 4) 1000
సాధన: చక్రం వ్యాసం (d) = 40 సెం.మీ.
10. ఒక వృత్త వ్యాసార్ధం 50% పెరిగితే, దాని వైశాల్యంలో పెరుగుదల శాతం ఎంత?
1) 50% 2) 75% 3) 125% 4) 150%
సాధన: వృత్త వ్యాసార్ధాన్ని x% పెంచితే దాని వైశాల్యంలోని పెరుగుదల
వృత్త వ్యాసార్ధాన్ని 50% పెంచితే దాని వైశాల్యంలో పెరుగుదల
సమాధానం: 3
11. ఒక వృత్త పరిధికి, దాని వ్యాసార్ధానికి ఉన్న భేదం 74 సెం.మీ. అయితే ఆ వృత్త వ్యాసార్ధం? (సెం.మీ.లలో)
1) 10.5 2) 14 3) 17.5 4) 21
సాధన: వృత్త వ్యాసార్ధం = r అనుకోండి
సమాధానం: 2
12. ఒక వృత్త వ్యాసార్ధాన్ని 30% తగ్గిస్తే, దాని వైశాల్యంలో తగ్గుదల శాతం ఎంత?
1) 30% 2) 69% 3) 59% 4) 51%
సాధన: వృత్త వ్యాసార్ధాన్ని x% తగ్గిస్తే, దాని వైశాల్యంలో తగ్గుదల శాతం
వృత్త వ్యాసార్ధాన్ని 30% తగ్గిస్తే, దాని వైశాల్యంలో తగ్గుదల శాతం
సమాధానం: 4
13. ఒక వృత్త పరిధికి, దాని వ్యాసానికి మధ్య ఉన్న భేదం 90 సెం.మీ. అయితే ఆ వృత్త వైశాల్యం ఎంత? (చ.సెం.మీ.లలో)
1) 1086 2) 1186 3) 1286 4) 1386
సాధన: వృత్త వ్యాసార్ధం = r అనుకోండి
దత్తాంశం ప్రకారం, C − d = 90 సెం.మీ.
= 22 × 21 × 3 = 1386 చ.సెం.మీ.
సమాధానం: 4
14. రెండు వృత్తాల పరిధులు వరుసగా 176 మీ., 132 మీ. అయితే వాటి వ్యాసార్ధాల మధ్య భేదం ఎంత?
1) 7 మీ. 2) 10.5 మీ. 3) 14 మీ. 4) 17.5 మీ.
సాధన: మొదటి వృత్త పరిధి (C1) = 176 మీ.
రెండో వృత్త పరిధి (C2) = 132 మీ.
C1 - C2 = 176 - 132
⇒ 2πr1 − 2πr2 = 44
⇒ 2π(r1 − r2) = 44
సమాధానం: 1
15. ఒక వృత్త వ్యాసార్ధం 1 సెం.మీ. పెరిగితే దాని వైశాల్యం 66 సెం.మీ.2 పెరుగుతుంది. అయితే ఆ వృత్త వ్యాసార్ధం ఎంత? (సెం.మీ.లలో)
1) 9 2) 10 3) 12 4) 15
సాధన: వృత్త వ్యాసార్ధం = r అనుకోండి