నిరూపక రేఖాగణితం

 బిందువులు.. రేఖల ప్రామాణిక బంధం! 

దారి తెలియకపోయినా జీపీఎస్‌ ఆధారంగా వెళ్లాలనుకున్న ప్రాంతానికి కరెక్టుగా చేరుకుంటున్నారు.  అడుగు తేడా లేకుండా అంతస్తుల మీద అంతస్తులతో హైరైజ్‌ బిల్డింగులు కట్టేస్తున్నారు. గ్రాఫిక్‌లు, డిజిటల్‌ చిత్రాలు, యానిమేషన్లతో భారీ సినిమాలు నిర్మిస్తున్నారు. ఇక్కడ గాలిలోకి ఎగిరిన విమానం ఎక్కడో గమ్యస్థానంలో సరిగ్గా దిగిపోతుంది. ఇవన్నీ వేర్వేరు అంశాలుగా కనిపించినా, అన్నింటిలోనూ కామన్‌గా గణితం ఉంటుంది. అక్షాంశ, రేఖాంశాల సాయంతో సరైన స్థానాలను గుర్తించడంలో, కచ్చితమైన కొలతలతో భవంతులను నిర్మించడంలో, కంప్యూటర్‌ అప్లికేషన్లను రూపొందించడంలో నిరూపక రేఖాగణితం కీలకంగా వ్యవహరిస్తుంది. ఇది బిందువులు, రేఖలు, ఆకృతుల మధ్య సంబంధాలను అర్థం చేసుకోవడానికి, ప్రామాణికంగా వివరించడానికి సాయపడుతుంది. దీనిపై పలు పోటీ పరీక్షల్లో ప్రశ్నలు వస్తున్నాయి. అందుకే దీనికి సంబంధించి ప్రాథమిక సమాచారాన్ని అభ్యర్థులు తెలుసుకోవాలి. 

*    నిరూపక రేఖాగణితాన్ని ప్రవేశపెట్టిన శాస్త్రవేత్త రెనెడె కార్టె

  

*  A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) బిందువులను కలిపే రేఖాఖండాన్ని P(x, y) బిందువు అంతరంగా m : n నిష్పత్తిలో విభజిస్తే P బిందువు నిరూపకాలు 

*  A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) బిందువులను కలిపే రేఖాఖండాన్ని P(x, y) బిందువు బాహ్యంగా m : n నిష్పత్తిలో విభజిస్తే  p  బిందువు నిరూపకాలు 

*    A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃)  లు శీర్షాలుగా ఉండే త్రిభుజ గురుత్వ కేంద్రం నిరూపకాలు 

                                                                                                                

*  A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) లు శీర్షాలుగా ఉండే త్రిభుజ వైశాల్యం

   

*    A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃), D(x₄, y₄) లు శీర్షాలుగా ఉండే చతుర్భుజ వైశాల్యం

మాదిరి ప్రశ్నలు 

1.   A(-2, 3), B(7, 8) బిందువుల మధ్య దూరం ఎంత?

  
వివరణ:  

                      A(−2, 3)  B(7, 8) 

                    (x₁, y₁), (x₂, y₂)

             

జ: 2

2.    A(1, -3), B(-4, 4)  బిందువుల మధ్య దూరం ఎంత?

వివరణ:

         A(1, -3),  B(-4, 4)

        (x₁, y₁) (x₂, y₂)

     

జ: 3

 

3.    బిందువు P(2, -3), Q(10, y)ల మధ్య దూరం 10 యూనిట్లు అయితే y  విలువ ఎంత? 

1) 3 లేదా 9       2) 3 లేదా 9      3) 3 లేదా 6        4) 3 లేదా 9

వివరణ:

8² + (y + 3)² = 10²

(y + 3)² = 100 − 64

y = 6 - 3 (లేదా) y = -6 - 3 

y = 3  లేదా  y = -9  

జ: 2

4.    బిందువు (-5, 6) ద్వారా వెళ్లే వృత్త కేంద్రం (3, 2) అయితే దాని వ్యాసార్ధం ఎంత? 

వివరణ:

O(3, 2), A(-5, 6) ల మధ్య దూరం వ్యాసార్ధం 'r' అవుతుంది.

జ: 1

5.    బిందువులు (4, -3), (8, 5) లతో ఏర్పడే రేఖాఖండాన్ని 3 : 1 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజించే బిందువు నిరూపకాలు?

 1)  (3, 7)       2) (7, 3)        3) (4, 5)        4) (4, 7)             

వివరణ:   (x₁, y₁) (x₂, y₂)

                 A(4, -3),  B(8, 5) 

బిందువులను   m : n = 3 : 1   నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజించే బిందు నిరూపకాలు  P(x, y) 

జ: 2

6.    (3, 0), (-1, 4) లతో ఏర్పడే రేఖాఖండ మధ్య బిందువు నిరూపకాలు?

1) (2, 1)       2) (1, 0)        3) (1, 2)        4) (1, 4)

వివరణ:  A(3, 0)   B(-1, 4)  బిందువులతో ఏర్పడే రేఖాఖండం మధ్య బిందువు

                (x₁, y₁)   (x₂, y₂)

జ: 3

7.   (3, -5), (-7, 4), (10, -2) లు శీర్షాలుగా ఉండే త్రిభుజం గురుత్వకేంద్రం కనుక్కోండి?

1) (2, -1)     2) (3, 2)     3) (1, 2)      4) (2, 3) 

వివరణ:  A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) బిందువులు శీర్షాలుగా ఉండే త్రిభుజం గురుత్వ కేంద్రం (G)

జ: 1

8.   A(6, -6), B(3, -7), C(3, 3) లు శీర్షాలుగా ఉండే త్రిభుజ వైశాల్యం?

1)  15 చ.యూ.   2)  30 చ.యూ. 3) 60 చ.యూ.   4) 45 చ.యూ.

వివరణ:  A (6, -6), B(3, -7), C(3, 3)

జ: 1

9.    (0 - 1), (2, 1), (0, 3), (-2, 1) శీర్షాలుగా ఉండే చతురస్ర వైశాల్యం? (చ.యూ.లలో)

1) 6        2) 8        3) 16       4) 24

జ: 2  

10. కింది ఏ మూడు బిందువులు సరేఖీయాలో, కాదో తెలపండి.

1) A(3, -2), B(-2, 8), C(0, 4)

2) A(1, -1), B(4, 1), C(-2, -3)

3) A(1, -6), B(3, -4), C(4, -3) 

4 )  పైవన్నీ

వివరణ: A(x₁, y₁), B(x₂, _y2), C(x₃, y₃)  బిందువులు సరేఖీయాలు కావాలంటే త్రిభుజ వైశాల్యం సున్నా అవ్వాలి. 

1) A(3, -2), B(-2, 8), C(0, 4)

A(1, -6), B(3, -4), C(4,-3) బిందువులు సరేఖీయాలు

(1), (2), (3) ఆప్షన్‌లలో ఉన్న బిందువులు సరేఖీయాలు కాబట్టి సమాధానం 4 ఆప్షన్‌ అవుతుంది.

జ: 4

ప్రాక్టీస్‌ బిట్లు

1. (1, 2), (-4, -3), (4, 1) శీర్షాలుగా ఉండే త్రిభుజ వైశాల్యం? (చ.యూ.లలో)

1) 7       2) 20      3) 10    4) 14

2.     బిందువులు (4, 8), (k, -4) ల మధ్య దూరం 13 యూనిట్లు అయితే k విలువ ఎంత?

1) -1     2) 9      3) 1, 2     4) 3

1) (5, 6)    2) (4, 5)    3) (3, 4)    4) (2, 6)

4. (9, 14), (4, -6) బిందువులను కలిపే రేఖాఖండాన్ని X - అక్షం ఏ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది? 

1) 9 : 4    2) 7 : 3    3) 2 : 7    4) 3 : 2

5.  A(X, 2), B(-2, 1), C(6, - 3)బిందువులు సరేఖీయాలు అయితే  X  విలువ ఎంత?  

1) 4       2) -2       3) - 4      3) 2

6. (p, q), (m, n), (p - m, q - n)బిందువులు సరేఖీయాలు అయితే కిందివాటిలో ఏది సరైంది?

1) pn = qm    2) pq = nm    3) pm = qn    4) ఏదీకాదు

7.  (-4, -2), (-3, -5), (3, -2), (2, 3)  శీర్షాలుగా ఉండే చతుర్భుజ వైశాల్యం? 

1) 27      2) 26      3) 28     4) ఏదీకాదు

8.  (1, 1), (1, 4), (5, 1)  శీర్షాలుగా ఉండే త్రిభుజ వైశాల్యం?

1) 5 చ.యూ.  2)  6 చ.యూ.   3) 7 చ.యూ.   4) 8 చ.యూ.

9.  (7, x), (y, -6), (9, 10) శీర్షాలుగా ఉండే త్రిభుజ గురుత్వ కేంద్రం (6, 3) అయితే  (x, y) = ?

1) (4, 5)    2) (5, 4)    3) (−5, −2)    4) (−5, 2)

10.  A(5, 1), B(-1, 5) బిందువులకు సమాన దూరంలోని బిందువు  P(x, y)  అయితే కిందివాటిలో సరైంది?

1) 5x = y 2) x = 5y 3) 3x = 2y 4) 2x = 3y

సమాధానాలు: 1−3, 2−3, 3−2, 4−2, 5−3, 6−1, 7−3, 8−2, 9−4, 10−2.

 

 

రచయిత: డి.సీహెచ్‌.రాంబాబు