• facebook
  • whatsapp
  • telegram

స్పర్శరేఖలు, ఛేదనరేఖలు

* ఒక సరళరేఖ వృత్తాన్ని రెండు వేర్వేరు బిందువుల వద్ద ఖండిస్తే ఆ సరళరేఖను ఆ వృత్తం ఛేదనరేఖ అంటారు.
* వృత్తాన్ని ఒకే ఒక బిందువు వద్ద తాకే సరళరేఖను ఆ బిందువు స్పర్శరేఖ అంటారు.

        
* వృత్తాకార వస్తువు పయనించే మార్గాన్ని స్పర్శరేఖ అంటారు.
* ఒక వృత్తానికి, రేఖకి మధ్య కింది సందర్భాలు ఉంటాయి.

                

సందర్భం i): ఒకటో పటంలో వృత్తానికి, సరళరేఖకు మధ్య ఉమ్మడి బిందువు లేదు. అంటే అవి రెండూ
స్పృశించుకోవడం లేదు.
సందర్భం ii): రెండో పటంలో  అనే సరళరేఖ వృత్తాన్ని P, Q బిందువుల వద్ద ఖండిస్తుంది. కాబట్టి A, B సరళరేఖ ఆ వృత్తానికి ఛేదనరేఖ అవుతుంది.
సందర్భం iii): మూడో పటంలో  అనే సరళరేఖ వృత్తాన్ని ఒకే ఒక బిందువు వద్ద తాకుతుంది. కాబట్టి
 వృత్తానికి ఒక స్పర్శరేఖ అవుతుంది.
* వృత్తానికి ఒక బిందువు వద్ద ఒకే ఒక స్పర్శరేఖ ఉంటుంది.
* స్పర్శరేఖ వృత్తాన్ని తాకే బిందువును స్పర్శ బిందువు అంటారు.
* వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖకు దాని వ్యాసార్ధం లంబంగా ఉంటుంది.
* బాహ్య బిందువు నుంచి వృత్తానికి రెండు స్పర్శరేఖలను గీయగలం.
* బాహ్య బిందువు నుంచి వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖల పొడవులు సమానం.
* O కేంద్రం r వ్యాసార్ధం ఉన్న వృత్తం కేంద్రం నుంచి d దూరంలో ఒక బిందువు P నుంచి ఆ వృత్తానికి గీయగల స్పర్శరేఖ పొడవు యూనిట్లు.

* ఒకే బాహ్య బిందువు నుంచి వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖలు ఆ వృత్త కేంద్రం వద్ద సమాన కోణాలను ఏర్పరుస్తాయి.
* వృత్తం లోపల అంతర్లిఖించిన చతుర్భుజాన్ని చక్రీయ చతుర్భుజం అంటారు.
* చక్రీయ చతుర్భుజంలో ఎదురెదురు కోణాలు సంపూరకాలు.
* ఒక వృత్త బాహ్య బిందువు నుంచి ఆ వృత్తం యొక్క జ్యా చివరి బిందువులకు కలిపిన స్పర్శరేఖలు ఆ జ్యాతో సమాన కోణాలను ఏర్పరుస్తాయి.
* ఒక వృత్త వ్యాసం యొక్క చివరి బిందువులకు స్పర్శ బిందువులుగా ఉన్న స్పర్శరేఖలు సమాంతరాలు.

                                                       

* O కేంద్రంగా ఉన్న ఏకకేంద్ర వృత్తాల్లో చిన్న వృత్తానికి , P వద్ద స్పర్శరేఖ, పెద్ద వృత్తానికి జ్యా అయితే, AP = PB అవుతుంది.

                                                          
* ఒక వృత్తానికి స్పర్శరేఖలు అనంతం.
* ఒక బిందువు నుంచి ఒక వృత్తానికి గీయగల స్పర్శరేఖల సంఖ్య ఆ బిందువు స్థానాన్ని బట్టి ఉంటుంది.

          

i) బిందువు వృత్తం లోపల ఉంటే ఆ బిందువు గుండా వృత్తానికి స్పర్శరేఖలు గీయలేం.
ii) బిందువు వృత్తంపై ఉంటే, ఆ బిందువు గుండా ఒక స్పర్శరేఖను మాత్రామే గీయగలం.
iii) బిందువు వృత్తానికి బాహ్యంగా ఉంటే ఆ బిందువు నుంచి వృత్తానికి రెండు సమాన పొడవులు ఉన్న స్పర్శరేఖలను గీయవచ్చు.
* ఒక జ్యా వృత్తాన్ని రెండు భాగాలుగా విభజిస్తుంది.

     
* ఛేదనరేఖ l జ్యా, వృత్త చాపాల మధ్య ఉన్న ప్రాంతాన్ని 'వృత్త ఖండం' అంటారు.
* అల్పచాపంతో ఏర్పడిన వృత్తఖండాన్ని 'అల్పవృత్త ఖండం' అంటారు.
* వృత్తం పరిధిలో అర్ధభాగంతో ఏర్పర్చిన వృత్త ఖండాన్ని 'అర్ధవృత్త ఖండం' అంటారు.
* అధిక చాపంతో ఏర్పడిన వృత్త ఖండాన్ని 'అధిక వృత్త ఖండం' అంటారు.

* O కేంద్రంగా ఉన్న వృత్తానికి OA, OBలు వ్యాసార్ధాలు (r) x అనేది AB చాపం వృత్త కేంద్రం వద్ద చేసే కోణం అయితే,
* ABP వృత్తఖండ వైశాల్యం = AOB సెక్టార్ వైశాల్యం
− ΔOAB వైశాల్యం

అంటే APB వృత్తఖండం వైశాల్యం =
(oAPB సెక్టార్ వైశాల్యం)
− (ΔOAB వైశాల్యం)

 అధిక వృత్తఖండ వైశాల్యం = వృత్తవైశాల్యం - అల్పవృత్తఖండ వైశాల్యం.

 ఒక చక్రం ఒక పూర్తి భ్రమణం చేసినప్పుడు అది ప్రయాణించిన దూరం = చక్రం పరిధి లేదా చుట్టుకొలత.


* స్పర్శరేఖ (Tangent) అనే పదాన్ని పరిచయం చేసిన వ్యక్తి 'థామస్ పింక్'.

 

వృత్తానికి సంబంధించిన కొన్ని ప్రాథమిక భావనలు:
వృత్తం చుట్టుకొలత: 
2
πr (లేదా) πd
వైశాల్యం:  
πr2
పద వివరణ: r = వ్యాసార్ధం
           2r = d = వ్యాసం

2) అర్ధవృత్తం:
    చుట్టుకొలత 
πr + 2r
    వైశాల్యం = 1/2 
πr2
    ఇక్కడ r = వ్యాసార్ధం

3) కంకణం
    (షేడ్ చేసిన భాగం)
     వైశాల్యం = 
π (R2 − r2
     ఇక్కడ R = బయటి వృత్త వ్యాసార్ధం
            r = లోపలి వృత్త వ్యాసార్ధం

4) సెక్టారు:
చుట్టుకొలత = l + 2r
లేదా

లేదా
  1/2lr
ఇక్కడ,
θ = సెక్టారు కోణం
... r = సెక్టార్ వ్యాసార్ధం
    l = చాపం పొడవు

5) వృత్త ఖండం:

    ఇక్కడ r = వ్యాసార్ధం
         
θ = సంబంధిత సెక్టారు కోణం

Posted Date : 12-02-2021

గమనిక : ప్రతిభ.ఈనాడు.నెట్‌లో కనిపించే వ్యాపార ప్రకటనలు వివిధ దేశాల్లోని వ్యాపారులు, సంస్థల నుంచి వస్తాయి. మరి కొన్ని ప్రకటనలు పాఠకుల అభిరుచి మేరకు కృత్రిమ మేధస్సు సాంకేతికత సాయంతో ప్రదర్శితమవుతుంటాయి. ఆ ప్రకటనల్లోని ఉత్పత్తులను లేదా సేవలను పాఠకులు స్వయంగా విచారించుకొని, జాగ్రత్తగా పరిశీలించి కొనుక్కోవాలి లేదా వినియోగించుకోవాలి. వాటి నాణ్యత లేదా లోపాలతో ఈనాడు యాజమాన్యానికి ఎలాంటి సంబంధం లేదు. ఈ విషయంలో ఉత్తర ప్రత్యుత్తరాలకు, ఈ-మెయిల్స్ కి, ఇంకా ఇతర రూపాల్లో సమాచార మార్పిడికి తావు లేదు. ఫిర్యాదులు స్వీకరించడం కుదరదు. పాఠకులు గమనించి, సహకరించాలని మనవి.

 

స్కూల్ అసిస్టెంట్

పాత ప్రశ్నప‌త్రాలు

 

విద్యా ఉద్యోగ సమాచారం

 

నమూనా ప్రశ్నపత్రాలు

 

లేటెస్ట్ నోటిఫికేష‌న్స్‌