నిష్పత్తి - అనుపాతం

ఒకే ప్రమాణం ఉన్న రెండు రాశులను భాగహారం ద్వారా పోల్చడాన్ని నిష్పత్తి అంటారు. దీన్ని ':' (is to) అనే గుర్తుతో సూచిస్తారు.
*   a, b అనే రెండు రాశుల నిష్పత్తిని a : b లేదా a/b గా రాస్తారు.
*   x, y అనే రెండు రాశుల నిష్పత్తిని x : y లేదా x/y గా రాస్తారు.
*   a : b నిష్పత్తిలో a ను మొదటి పదం/ పూర్వపదం అని, b ను రెండో పదం/పరపదం అని అంటారు.
*   నిష్పత్తిలోని పదాలకు '1' తప్ప మరే ఉమ్మడి కారణాంకం లేకుంటే ఆ నిష్పత్తిని సూక్ష్మ రూపం/కనిష్ఠ రూపం అంటారు.
ఉదా: 4 : 5

14 : 15
* నిష్పత్తిలో ప్రతి పదాన్ని ఒకే సంఖ్యతో గుణించినా, భాగించినా ఎలాంటి మార్పు ఉండదు.
ఉదా: a : b = ac : bc

        

* ఒక నిష్పత్తిలో ప్రతి పదానికి ఒకే సంఖ్యను కూడినా, తీసివేసినా మార్పు వస్తుంది.
ఉదా: a : b ≠ a + c : b + c
         a : b ≠ a − c : b − c
* నిష్పత్తి పదాలను ఎప్పుడూ పూర్ణాంకాలుగానే రాయాలి. ఒకవేళ నిష్పత్తి పూర్వ, పర పదాల్లో ఏదో ఒకటి లేదా రెండూ అయిన్నట్లయితే వాటి హారాల క.సా.గు. కనుక్కొని దానితో నిష్పత్తి పూర్వ, పర పదాలను గుణిస్తే ఆ పదాలు పూర్ణాంకాలుగా మారతాయి.
 

నిష్పత్తిలో రకాలు
 

1. వర్గ నిష్పత్తి: ఒక నిష్పత్తిలోని రెండు పదాల వర్గాల నిష్పత్తినే వాటి 'వర్గ నిష్పత్తి' అంటారు.
   ఉదా: 4 : 5 యొక్క వర్గ నిష్పత్తి = 4² : 5² = 16 : 25
 

2. ఘన నిష్పత్తి: ఒక నిష్పత్తిలోని రెండు పదాల ఘనాల నిష్పత్తినే వాటి 'ఘన నిష్పత్తి' అంటారు.
     ఉదా: 2 : 3 యొక్క ఘన నిష్పత్తి =  2³ : 3³ = 8 : 27
 

3. వర్గమూలం నిష్పత్తి: ఒక నిష్పత్తిలోని రెండు పదాల వర్గమూలాల నిష్పత్తినే వాటి 'వర్గమూల నిష్పత్తి' అంటారు.
      ఉదా: 49 : 36 యొక్క వర్గమూల నిష్పత్తి =  7 : 6
 

4. ఘనమూల నిష్పత్తి: ఒక నిష్పత్తిలోని రెండు పదాల ఘనమూలాల నిష్పత్తే వాటి 'ఘనమూల నిష్పత్తి'.
    ఉదా: 8 : 27 యొక్క ఘనమూల నిష్పత్తి =  = 2 : 3
 

5. ద్విగుణ నిష్పత్తి: a² : b² అనే నిష్పత్తి a : b కి ద్విగుణ నిష్పత్తి అవుతుంది
      x² : y² అనే నిష్పత్తి x : y కి ద్విగుణ నిష్పత్తి అవుతుంది.

6. ఉప ద్విగుణ నిష్పత్తి:అనే నిష్పత్తి a : b కి ఉపద్విగుణ నిష్పత్తి అవుతుంది.
 

7. త్రిగుణ నిష్పత్తి: a³ : b³ అనే నిష్పత్తి a : b కి త్రిగుణ నిష్పత్తి అవుతుంది.
ఉదా: 2³ : 3³ అనే నిష్పత్తి 2 : 3 కి త్రిగుణ నిష్పత్తి.
 

8. ఉప త్రిగుణ నిష్పత్తి: 

అనేది a : b కి ఉపత్రిగుణ నిష్పత్తి అవుతుంది.
 

9. విలోమ నిష్పత్తి: ఒక నిష్పత్తిలోని రెండు పదాలను తారుమారు చేస్తే వచ్చే నిష్పత్తిని 'విలోమ నిష్పత్తి' అంటారు.
ఉదా: 2 : 3 విలోమ నిష్పత్తి 3 : 2
         5 : 4 విలోమ నిష్పత్తి 4 : 5
         6 : 5 విలోమ నిష్పత్తి 5 : 6
⇒ a : b విలోమ నిష్పత్తి = 1/a : 1/b = b : a
⇒ a : b : c విలోమ నిష్పత్తి = bc : ac : ab
⇒ 2 : 3 : 4 విలోమ నిష్పత్తి = 3 × 4 : 2 × 4 : 2 × 3
                             = 12 : 8 : 6 = 6 : 4 : 3
⇒ x : y : z విలోమ నిష్పత్తి = yz : xz : xy

1. x : y : z = 1 : 2 : 3 అయితే  =  1/x : 1/y : 1/z ?

        = 6 : 3 : 2
బహుళ నిష్పత్తి: రెండు నిష్పత్తుల్లోని పూర్వపదాల లబ్ధం, పరపదాల లబ్ధానికి ఉండే నిష్పత్తిని 'బహుళ నిష్పత్తి' అంటారు.
ఉదా: a : b : c : d ల బహుళ నిష్పత్తి = ac : bd 
  a : b, c : d, e : f ల బహుళ నిష్పత్తి = a × c × e = b × d × f 
  2 : 3, 4 : 5 ల బహుళ నిష్పత్తి = 2 × 4 : 3 ×  5
                                = 8 : 15
 6 : 7, 8 : 9ల బహుళ నిష్పత్తి = 6 × 8 : 7 × 9
                              = 48 : 63

సంకీర్ణ నిష్పత్తి
a : b : c : d : e : f లు మూడు నిష్పత్తులైతే ace/bdf ను ఆ మూడు నిష్పత్తుల సంకీర్ణ నిష్పత్తి అంటారు. దీన్నే మిశ్రమ నిష్పత్తి అని కూడా అంటారు.
* నిష్పత్తికి ప్రమాణాలు లేవు.
* నిష్పత్తిని ఎల్లప్పుడూ సూక్ష్మరూపంలో తెలియజేస్తారు.
* ఒక నిష్పత్తిని కనిష్ఠ పదాల్లోకి మార్చడానికి దాని పదాలను గ.సా.భా.తో భాగించాలి.
ఉదా: 36 : 30 నిష్పత్తిని సూక్ష్మరూపంలో రాయడం.
          30, 36 గ.సా.భా. 6
           36 : 30 = 36/6 : 30/6 = 6 : 5
   a : b ≠ b : a

* పూర్వ, పర పదాలు సమానంగా ఉండే నిష్పత్తిని 'సమాన నిష్పత్తి' అంటారు.
* ఒక నిష్పత్తిలో పూర్వపదం, పరపదం కంటే ఎక్కువగా ఉంటే ఆ నిష్పత్తిని అధిక అసమానత గల నిష్పత్తి అంటారు.
ఉదా: 9 : 5

* ఒక నిష్పత్తిలో పూర్వపదం, పరపదం కంటే తక్కువగా ఉంటే ఆ నిష్పత్తిని అల్ప అసమానత గల నిష్పత్తి అంటారు.
ఉదా: 7 : 8
 

నిష్పత్తి ధర్మాలు
* నిష్పత్తికి ప్రమాణాలు ఉండవు.
* రెండు రాశుల నిష్పత్తిని కనుక్కోవాలంటే ఆ రెండు రాశులను ఒకే ప్రమాణంలోకి మార్చాలి.
* నిష్పత్తిలోని పూర్వ, పరపదాలు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలైతే ఆ నిష్పత్తి కనిష్ఠ పదాల్లో ఉందని లేదా సూక్ష్మరూపంలో ఉందని అంటారు.
* నిష్పత్తి పదాలను ఎల్లప్పుడూ పూర్ణాంకాలుగా సూచించాలి.
* రెండు నిష్పత్తులను పోల్చాలంటే ఆ నిష్పత్తుల పూర్వ లేదా పరపదాలను సమానం చేయాలి.
* నిష్పత్తిని భిన్న రూపంలో కూడా రాయవచ్చు. కాబట్టి భిన్నాలకు వర్తించే ధర్మాలన్నీ నిష్పత్తులకు కూడా వర్తిస్తాయి.
* నిష్పత్తిలోని రెండు పదాలను సున్నా లేదా ఒకే సంఖ్యతో గుణించినా, భాగించినా నిష్పత్తి విలువ మారదు.