భాజనీయతా సూత్రాలు

కంటిచూపుతో భాగహారం!
 

 

గణిత పరిక్రియల్లో భాగహారం ప్రధానమైనది. చిన్న సంఖ్యలను చిటికెలో భాగించగలిగినా, పెద్దవాటిని చేయడానికి సమయం పడుతుంది. పోటీ పరీక్షల్లో ప్రతి క్షణం ముఖ్యమే కాబట్టి, పెద్ద సంఖ్యలను వేగంగా భాగించడం అభ్యర్థులు నేర్చుకోవాలి. అందుకోసం గణితంలోనే కొన్ని సూత్రాలు ఉన్నాయి. వాటిని నేర్చుకొని, ప్రాక్టీస్‌ చేస్తే భాగహార ప్రక్రియ చేయకుండా, కంటిచూపుతోనే సమాధానాన్ని త్వరగా గుర్తించవచ్చు. 

* ఒక సంఖ్య ఇచ్చిన సంఖ్యతో భాగించబడుతుందో లేదో పరిశీలించడానికి భాగహారాన్ని నిర్వహించకుండా సరిచూసే పద్ధతిని ఆ సంఖ్య యొక్క భాజనీయతా సూత్రం అంటారు.

సరి సంఖ్యలు:

2 తో నిశ్శేషంగా భాగించబడే సంఖ్యలను ‘సరి సంఖ్యలు’ అంటారు.

*   సరి సంఖ్యల సాధారణ రూపం = 2n

బేసి సంఖ్యలు: 2 తో నిశ్శేషంగా భాగించబడని సంఖ్యలను ‘బేసి సంఖ్యలు’ అంటారు.

*  బేసి సంఖ్యల సాధారణ రూపం =  2n − 1

అంకమూలం: ఒక సంఖ్యలోని అంకెలను ఒక అంకె వచ్చే వరకు కలపగా ఏర్పడిన అంకెను అంకమూలం అంటారు.

ఉదా:  5469 = 5 + 4 + 6 + 9 = 24 ⇒ 2 + 4 = 6

గమనిక:

1) ఒక సంఖ్య రెండు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలతో భాగించబడితే వాటి లబ్ధంతో కూడా ఆ సంఖ్య భాగించబడుతుంది.

2) రెండు సంఖ్యలు ఒక సంఖ్యతో భాగించబడితే ఆ సంఖ్యల మొత్తం, భేదం కూడా ఆ సంఖ్యతో భాగించబడుతుంది.

విభాజ్యం = (విభాజకం Xభాగఫలం) + శేషం

2 భాజనీయతా సూత్రం: ఒక సంఖ్య యొక్క ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె 0, 2, 4, 6, 8 అయితే ఆ సంఖ్య 2 తో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది.

5 భాజనీయతా సూత్రం: ఒక సంఖ్య యొక్క ఒకట్ల స్థానంలో 0 లేదా 5 ఉండే సంఖ్యలన్నీ 5 తో నిశ్శేషంగా భాగించబడతాయి.

10 భాజనీయతా సూత్రం: ఒక సంఖ్య యొక్క ఒకట్ల స్థానంలో 0 ఉండే సంఖ్యలన్నీ 10 తో నిశ్శేషంగా భాగించబడతాయి.

3 భాజనీయతా సూత్రం: ఒక సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం 3 తో భాగించబడితే లేదా ఆ సంఖ్య యొక్క అంకమూలం 3 లేదా 6 లేదా 9 అయితే ఆ సంఖ్య 3తో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది.

9 భాజనీయతా సూత్రం: ఒక సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం లేదా ఆ సంఖ్య యొక్క అంకమూలం 9 అయితే ఆ సంఖ్య 9 తో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది.

6 భాజనీయతా సూత్రం: 2, 3 లతో భాగించబడే ప్రతి సంఖ్య 6 తో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది.

4 భాజనీయతా సూత్రం: ఒక సంఖ్యలోని ఒకట్లు, పదుల స్థానాల్లోని అంకెలతో ఏర్పడిన సంఖ్య 4 తో భాగించబడితే లేదా ఈ రెండు స్థానాల్లో 0 ఉంటే ఆ సంఖ్య 4 తో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది.

8 భాజనీయతా సూత్రం: ఒక సంఖ్యలోని ఒకట్లు, పదులు, వందల స్థానాల్లోని అంకెలతో ఏర్పడిన సంఖ్య 8 తో భాగించబడితే లేదా ఈ మూడు స్థానాల్లో 0 ఉంటే ఆ సంఖ్య 8తో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది.

11 భాజనీయతా సూత్రం: ఒక సంఖ్యలోని సరి స్థానాల్లోని అంకెల మొత్తం, బేసి స్థానాల్లోని అంకెల మొత్తం తేడా సున్నా లేదా 11 యొక్క గుణిజం అయితే ఆ సంఖ్య 11 తో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది.

ఉదా: 2839617

7 భాజనీయతా సూత్రం: a, b, cఅనే 3 అంకెల సంఖ్య 7 తో భాగించబడాలంటే 2a + 3b + cవిలువ 7 తో నిశ్శేషంగా భాగించబడాలి.

ఉదా: 721 = 2(7) + 3(2) + 1 = 21

*  abcdఅనే నాలుగు అంకెల సంఖ్య 7 తో భాగించబడాలంటే 6a + 2b + 3c + dవిలువ 7తో నిశ్శేషంగా భాగించబడాలి.

ఉదా: 1274 =- 6(1) + 2(2) + 3(7) + 4 =35

*  అయిదు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ అంకెలు ఉన్న సంఖ్య 7 తో భాగించబడాలంటే ఆ సంఖ్యను కుడివైపు నుంచి మూడు అంకెల చొప్పున సమూహాలుగా వేరుచేయాలి. సరి సమూహాల మొత్తం, బేసి సమూహాల మొత్తాల భేదం 7 తో భాగించబడితే ఆ సంఖ్య 7 తో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది. 

ఉదా: 7538876849

1.    12345 A అనే సంఖ్య 2తో భాగించబడితే A యొక్క కనిష్ఠ విలువ ఎంత?

 1) 8     2) 6      3) 2     4) 0

2.     12345A అనే సంఖ్య 5తో భాగించబడితే A కి సాధ్యమయ్యే విలువల సంఖ్య ఎంత?

1) 2     2) 3      3) 0     4) 5

3.     9342 సంఖ్య 4తో నిశ్శేషంగా భాగించబడాలంటే దాని నుంచి తీసివేయదగిన అతిచిన్న సంఖ్య ఏది?

1) 2     2) 0      3) 1     4) 4

4.     కిందివాటిలో 3తో భాగించబడే సంఖ్య ఏది?

1) 7874    2) 36129    3) 45986     4) 815437

5.     కిందివాటిలో 3తో భాగించబడని సంఖ్య ఏది? 

1) 36129      2) 8172342  3) 900369      4) 45986

6.     24P  అనే సంఖ్యను 3తో భాగిస్తే శేషం 1; 5తో భాగిస్తే శేషం 2. అయితే P విలువ ఎంత?

  1) 2      2) 7      3) 6      4) 1

7.     4తో నిశ్శేషంగా భాగించబడే 12345 సంఖ్యకు అతి దగ్గరగా ఉన్న సంఖ్య ఏది?

1) 12346      2) 12348  3) 12344      4) 12342

8.  2791A  అనే సంఖ్య 9తో నిశ్శేషంగా  భాగించబడితే A విలువ ఎంత?

1) 6       2) 7     3) 8      4) 9  

 9.     84271A అనే సంఖ్య 3తో నిశ్శేషంగా భాగించబడితే A విలువ ఎంత? 

1) 2       2) 5     3) 8    4) పైవన్నీ

10. కిందివాటిలో సరైంది?

1) విభాజకం = (విభాజ్యం x భాగఫలం)+శేషం

 2) విభాజకం = (విభాజ్యం x భాగఫలం)  - శేషం

3) విభాజ్యం = (విభాజకం x భాగఫలం)+ శేషం

4) విభాజ్యం = (విభాజకంx భాగఫలం)  - శేషం

11. కిందివాటిలో 9తో భాగించబడని సంఖ్య ఏది?

 1) 900369      2) 815437     3) 8172342      4) 9081549

12. కిందివాటిలో 2, 3, 6లతో నిశ్శేషంగా  భాగించబడే సంఖ్య?

1) 1790184      2) 800552   3) 726352      4) 4335

13. కిందివాటిలో 11తో భాగించబడే సంఖ్య ఏది?

1) 8172342      2) 7138965   3) 9081549      4) 10934

14. 364892M7 అనే సంఖ్య 11తో భాగించబడితే m విలువ ఎంత?

 1) 7       2) 6     3) 5      4) 1

15. కిందివాటిలో 45తో భాగించబడే సంఖ్య ఏది?

1) 18150      2) 33145  3) 202860      4) 203345

16. 7254 * 98 అనే ఏడంకెల సంఖ్య 22తో నిశ్శేషంగా భాగించబడితే * స్థానంలో ఉండాల్సిన అంకె ఎంత?

1) 0      2) 1      3) 2      4) 6

17. X4Y2Zఅనే నాలుగంకెల సంఖ్య 9తో నిశ్శేషంగా భాగించబడితే X + Y + Zయొక్క కనిష్ఠ విలువ ఎంత?

1) 3     2) 4      3) 5      4) 6

18.  4AB5 అనే నాలుగంకెల సంఖ్య 55తో భాగించబడితే  B - A విలువ ఎంత?

1) 0     2) 1      3) 3      4) 4

19. కిందివాటిలో సత్యమయ్యే వాక్యాన్ని గుర్తించండి.

1) ఒక సంఖ్య 9తో భాగించబడకపోతే అది 3తో భాగించబడదు.

2) ఒక సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం 5తో భాగించబడితేనే అది 5తో భాగించబడుతుంది.

 3) 2తో భాగించబడే ప్రతి సంఖ్య 6తో భాగించబడుతుంది.

 4) 0తో అంతమయ్యే ప్రతి సంఖ్య 2, 5, 10 లతో భాగించబడుతుంది.

20. 8తో నిశ్శేషంగా భాగించబడే రెండంకెల సంఖ్యలు ఎన్ని?

1) 11     2) 10     3) 12     4) 13

21. ఒక బుట్టలో 10a + b ( b  ≠ 0, a > b)పండ్లు ఉన్నాయి. వాటిలో 10b + aపండ్లు కుళ్లిపోయాయి. మిగిలిన పండ్లను 9 మందికి సమానంగా పంచితే ఒక్కొక్కరికి ఎన్ని పండ్లు వస్తాయి?

1)  a + b          2) a − b      3) 10(a + b)      4) 10(a − b) 

22. 27Q ను 5తో భాగించినప్పుడు 3 శేషం, 2తో భాగించినప్పుడు 1 శేషం వస్తాయి. అయితే 3తో భాగించినప్పుడు వచ్చే శేషం ఎంత? 

    1) 3      2) 2      3) 1     4) 0

23. 50 నుంచి 125 వరకు ఉండే సంఖ్యల్లో 5తో భాగించబడే సంఖ్యల మొత్తం ఎంత?

1) 6250     2) 6075     3) 2800    4) 1400

24. 1 నుంచి 100 వరకు ఉండే సహజ సంఖ్యల మొత్తం ఎంత?

1) 5050  2) 5020   3) 5040  4) 6050

25. 11 నుంచి 50 వరకు ఉండే సంఖ్యల్లో 2తో భాగించబడే సంఖ్యల మొత్తం ఎంత?

1) 620   2) 520    3) 580    4) 680 

26. 1 నుంచి 50 వరకు ఉండే సంఖ్యల్లో 2, 3తో భాగించబడే సంఖ్యల మొత్తం ఎంత?

1) 126   2) 216   3) 226    4) 162 

27. 1 నుంచి 100 వరకు ఉండే సంఖ్యల్లో 2 లేదా 5తో భాగించబడే సంఖ్యల మొత్తం ఎంత?

1) 2050  2) 2070  3) 3050  4) 3070

28. Y + Y + Y = MYసంకలనంలో ఉండే M, Y  విలువలను కనుక్కోండి.

1) M = 1, Y = 5      2) M = 5, Y = 1    3) M = 1, Y = 7    4) M = 3, Y = 5

29. BA X B3 = 57Aఅయితే A, B విలువలు ఎంత? 

1) A = 5, B = 1       2) A = 2, B = 5       3) A = 5, B = 3     4) A = 5, B = 2

30. 5A1 - 23A = 325 అయితే A విలువ ఎంత?

1) 7     2) 6      3) 5       4) 4

31. 23A అనే సంఖ్య 2తో నిశ్శేషంగా భాగించబడి, 5తో భాగించినప్పుడు శేషం 1 అయితే A విలువ ఎంత?

1) 1     2) 3      3) 4     4) 6 

32. కిందివాటిలో 8తో భాగించబడని సంఖ్య ఏది?

1) 10³ + 10⁴ + 10⁵     2)  4² + 4³ + 4⁴      3) 5413      4)8 + 8² + 8³

33. కిందివాటిలో 6తో భాగంచబడే సంఖ్య ఏది?

 1)  2² × 3²       2) 2 + 3 + 3²      3) 5413   \4) 81243

34. ఒక సంఖ్య 12తో భాగించబడితే ఆ సంఖ్య ఏ ఇతర సంఖ్యలతో భాగించబడుతుంది? (ఎల్లప్పుడూ)

1) 4, 6    2) 1, 2   3) 3   4) పైవన్నీ

35. కిందివాటిలో సరైంది?

ఎ) మూడు వరుస సంఖ్యల లబ్ధం ఎల్లప్పుడూ 6తో భాగించబడుతుంది.

బి) సరి స్థానాల్లో అంకెలు ఉన్న ద్విముఖ సంఖ్యలన్నీ 11తో నిశ్శేషంగా భాగించబడతాయి.

1) ఎ సరైంది       2) బి సరైంది   3) ఎ, బి సరైనవి      4) ఏదీకాదు

36. 2000 నుంచి 2100 వరకు ఉన్న సంఖ్యల్లో 11తో భాగించబడే సంఖ్యలు ఎన్ని?

 1) 10     2) 9     3) 8     4) 7

37. కిందివాటిలో సరైంది?

1) ఒక సంఖ్య రెండు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలతో భాగించబడితే వాటి లబ్ధంతో కూడా ఆ సంఖ్య భాగించబడుతుంది.

2) రెండు సంఖ్యలు ఒక సంఖ్యతో భాగించబడితే ఆ సంఖ్యల మొత్తం కూడా ఆ సంఖ్యతో భాగించబడుతుంది.

3) రెండు సంఖ్యలు ఒక సంఖ్యతో భాగించబడితే ఆ సంఖ్యల భేదం కూడా ఆ సంఖ్యతో భాగించబడుతుంది.

 4) పైవన్నీ 

 

38. 88 వస్తువుల ఖరీదు A733Bఅయితే A, B విలువలు?

 1) A = 1, B = 6     2)  A = 6, B =1      3)  A = 3, B = 4      4) A = 4, B = 3

39. 2B91A7 అనే ఆరు అంకెల సంఖ్య 9తో  నిశ్శేషంగా భాగించబడితే A + Bకనిష్ఠ విలువ ఎంత?

1) 6   2) 3    3) 4    4) 8

సమాధానాలు

1-4; 2-1; 3-1; 4-2; 5-4; 6-2; 7-3; 8-3; 9-4; 10-3; 11-2;  12-1; 13-4; 14-1; 15-3; 16-4; 17-1; 18-2; 19-4; 20-1;   21-2; 22-4; 23-4; 24-1; 25-1; 26-2; 27-3; 28-1; 29-4;  30-2; 31-4; 32-3; 33-1; 34-4; 35-3; 36-2; 37-4; 38-1; 39-4.

రచయిత: సి.మధు