చిన్న గుణిజం.. పెద్ద కారణాంకం!

కసాగు - గసాభా

ఒక ఆఫీసులో ప్రతి నాలుగు రోజులకు ఒకసారి జూనియర్లకు, అయిదు రోజులకు ఒకసారి సీనియర్లకు ఆరు నెలలపాటు ప్రత్యేక శిక్షణ ఇవ్వాలని నిర్ణయించారు. అయితే అందరికీ కలిపి ఏయే రోజుల్లో ఇవ్వాలో షెడ్యూల్‌ చేయడానికి క్లర్క్‌ కష్టపడుతున్నాడు. ఇంట్లో వుడ్‌వర్క్‌ చేయిస్తున్న విజయ్‌ పెద్ద పెద్ద షీట్లు తెచ్చాడు. వుడ్‌ వృథా తక్కువ అయ్యే విధంగా చూడాలని వర్కర్లను కోరాడు. కసాగు కడితే క్లర్కు కష్టం తీరిపోతుంది. గసాభా లెక్కిస్తే ఏ సైజులో షీట్లు కట్‌ చేస్తే ఎక్కువ ఉపయోగమో తేలిపోతుంది. గణితంలోని ఈ పరిక్రియల గురించి తెలుసుకుంటే అలాంటి సమస్యలను అవలీలగా పరిష్కరించవచ్చు. అభ్యర్థుల్లో ఆ విధమైన నైపుణ్యాలను అంచనా వేయడానికి పరీక్షల్లో కసాగు-గసాభాలపై ప్రశ్నలు అడుగుతుంటారు. 

కసాగు: రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల ఉమ్మడి గుణిజాల్లో చిన్న గుణిజాన్ని ఆ సంఖ్యల కసాగు (కనిష్ఠ సామాన్య గుణిజం) అంటారు. 

‣    రెండు సంఖ్యల్లో ఒక సంఖ్య మరొక దానికి గుణిజం అయితే వాటిలోని పెద్ద సంఖ్యను ఆ సంఖ్యల కసాగు అంటారు

గసాభా: రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల ఉమ్మడి కారణాంకాల్లో పెద్ద సంఖ్యను ఆ సంఖ్యల 

గసాభా (గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం) అంటారు.

‣    రెండు సంఖ్యల్లో ఒక సంఖ్య మరొక దానికి గుణిజం అయితే వాటిలోని చిన్న సంఖ్య ఆ సంఖ్యల గసాభా అవుతుంది.  

‣    గసాభాను భాగహార పద్ధతిలో సులభంగా కనుక్కునే విధానాన్ని తెలిపినవారు యూక్లిడ్‌. 

‣    రెండు సంఖ్యల లబ్ధం వాటి కసాగు, గసాభాల లబ్ధానికి సమానం.

‣    కసాగు ఎల్లప్పుడూ గసాభాతో భాగించబడుతుంది.

మాదిరి ప్రశ్నలు

1.    40, 48, 45 ల కసాగు ఎంత?

1) 620   2) 720   3) 680   4) 760

2.     91, 112, 49 ల గసాభా ఎంత?

1) 1     2) 4     3) 13    4) 7

3.     కిందివాటిలో సరైంది ఏది?

ఎ) రెండు వరుస సరిసంఖ్యల గసాకా = 2

బి) రెండు వరుస సహజ సంఖ్యల గసాకా = 1

సి) రెండు వరుస బేసి సంఖ్యల గసాకా = 2

1) ఎ, బి   2) బి, సి   3) ఎ, సి   4) అన్నీ 

4.     12, 16, 24, 36 లతో భాగించగా ప్రతిసారి శేషం 7 వచ్చే మిక్కిలి కనిష్ఠ సహజ సంఖ్య?

1) 144   2) 137    3) 151   4) 141

5.     8, 10, 12 లతో భాగించబడే మూడంకెల అతిపెద్ద సంఖ్య?

1) 840   2) 860    3) 940   4) 960

6.     12, 18, 21, 28 లతో భాగించబడే నాలుగు అంకెల అతిపెద్ద సంఖ్య?

1) 9820  2) 9828  3) 9890  4) 9928

7.    18, 24, 32 లతో భాగించబడే నాలుగు అంకెల అతిచిన్న సంఖ్య?

1) 1152  2) 1148  3) 1252  4) 1260

8.    కిందివాటిలో సరికానిది?

1) పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యల లబ్ధం వాటి కసాగు అవుతుంది. 

2) పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యల గసాభా 1 అవుతుంది.

3) పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యల లబ్ధం వాటి గసాభా అవుతుంది. 

4) రెండు సంఖ్యల లబ్ధం వాటి కసాగు, గసాభాల లబ్ధానికి సమానం.

9.     ఒక గది పొడవు 825 సెం.మీ., వెడల్పు 675 సెం.మీ., ఎత్తు 450 సెం.మీ. అయితే గది కొలతలన్నింటినీ కచ్చితంగా కొలవగలిగే పొడవైన టేపును కనుక్కోండి. (సెం.మీ.లలో)

1) 55     2) 65     3) 75    4) 85

10. మూడు వేర్వేరు రోడ్‌ క్రాసింగ్‌ల వద్ద ట్రాఫిక్‌ లైట్లు వరుసగా ప్రతి 48, 72, 108 సెకన్ల తర్వాత మారుతాయి. ఉదయం 7 గంటలకు అవి ఏకకాలంలో మారితే తిరిగి ఏ సమయానికి కలిసి మారతాయి?

1) 7 గం. 7 ని. 1 సె.     2) 7 గం. 7 ని. 3 సె.   

3) 7 గం. 7 ని. 9 సె.    4) 7 గం. 7 ని. 12 సె.

11.    ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యను 18, 24, 30 లతో భాగించినప్పుడు వరుసగా 14, 20, 26 శేషాలు వస్తాయి?

1) 364   2) 356   3) 1820  4) 1824

12. 56, 101, 119 లను భాగిస్తూ 2ను శేషంగా ఇచ్చే గరిష్ఠ సంఖ్య?

1) 7     2) 11    3) 9     4) 13

13. 13850, 17030 లను ఏ గరిష్ఠ సంఖ్యతో భాగించిన ప్రతిసారి 17 శేషం వస్తుంది?

1) 13    2) 17     3) 19    4) 21

14. 15604, 16386, 17168 లను భాగిస్తే వరుసగా 4, 6, 8 శేషాలను ఇచ్చే గరిష్ఠ సంఖ్య?

1) 1080   2) 960   3) 840   4) 780

15. కిందివాటిలో సరైనవి?

ఎ) రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల ఉమ్మడి గుణిజాల్లో చిన్న గుణిజాన్ని ఆ సంఖ్యల గసాభా అంటారు.

బి) రెండు సంఖ్యల్లో ఒక సంఖ్య మరొక దానికి గుణిజం అయితే వాటిలోని చిన్నసంఖ్యను ఆ సంఖ్యల కసాగు అంటారు.

1) ఎ     2) బి    3) ఎ, బి   4) ఏదీకాదు

16. మూడు వేర్వేరు సంఖ్యల కసాగు 120 అయితే కిందివాటిలో వాటి గసాభా కానిది?    

1) 8     2) 12    3) 15    4) 45

17. రెండు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యల లబ్ధం 117 అయితే వాటి కసాగు ఎంత?

1) 1            2) 117     

3) లెక్కించలేం       4) గసాభాకు సమానం

18. గసాభాను భాగహార పద్ధతిలో సులభంగా కనుక్కునే విధానాన్ని సూచించినవారు? 

1) యూక్లిడ్‌           2) ఆర్కిమెడిస్‌  

3) భాస్కరాచార్య          4) రామానుజన్‌

19. 2³ × 3 × 5, 2² × 5 × 7 ల కసాగు ఎంత?

1) 2² × 5                 2) 2³ × 5

3) 2³ × 3 × 5 × 7         4) 2² × 3 × 5 × 7

20. ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యకు 5ను కలిపితే ఆ సంఖ్య 12, 14, 18 లతో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది?

1) 242   2) 247   3) 252   4) 257

21. 6412 పరిపూర్ణ వర్గమవడానికి కలపాల్సిన సంఖ్య ఎంత?

1) 123  2) 149   3) 171   4) 312

22. రెండు సంఖ్యల కసాగు 36, గసాభా 6. ఆ సంఖ్యల్లో ఒక సంఖ్య 12 అయితే రెండో సంఖ్య ఎంత?

1) 432    2) 216   3) 72     4) 18

23. రెండు సంఖ్యల లబ్ధం 7776, వాటి కసాగు 216 అయితే వాటి గసాభా ఎంత?

1) 26     2) 32    3) 36     4) 72

24. రెండు సంఖ్యల నిష్పత్తి 3 : 4, వాటి గసాభా 4. అయితే వాటి కసాగు ఎంత?

1) 48     2) 28    3) 16     4) 12

25. రెండు సంఖ్యల గసాభా 13, వాటి మధ్య నిష్పత్తి 3 : 5. అయితే అందులో పెద్ద సంఖ్య ఏది?

1) 39     2) 52    3) 65     4) 78

26. మూడు సంఖ్యల మధ్య నిష్పత్తి 3 : 4 : 5, వాటి కసాగు 2400. అయితే వాటి గసాభా ఎంత?

1) 40     2) 60    3) 80     4) 50
 2  4  5  7

29. రెండు సంఖ్యల గసాభా 24. అయితే వాటి కసాగు ఎంత?

1) 98    2) 148   3) 120   4) 128

30. 6a²b³c, 15a³bc⁴, 18ab⁵c⁴ ల గసాభా ఎంత?

1) 3abc² 2) 3abc 3) 3ab²c 4) 3a²bc

31. 25, 31, 42 ల గసాభా ఎంత?

1) 1     2) 5    3) 7     4) ఏదీకాదు

32. 5³ × 7² × 11, 3³ × 7 × 13 ల గసాభా ఎంత?

1) 5³ × 7² × 11 × 13    

2) 5³ × 7² × 3³ × 11 × 13       

3) 7 × 11 × 13          4) 7

33. 1701, 1575, 2016 ల గసాభా ఎంత?

1) 63    2) 68     3) 72     4) 74

34. కింది ఏ గరిష్ఠ మూడంకెల సంఖ్యను 75, 45, 60 లతో భాగిస్తే ప్రతి సందర్భంలో శేషం 4 వస్తుంది?

1) 900   2) 896   3) 904   4) 604

35. 2, 3, 4, 5, 6 లతో భాగించగా ప్రతిసారి శేషం 1 వచ్చే మిక్కిలి కనిష్ఠ సహజ సంఖ్య?

1) 60    2) 61    3) 91    4) 121

36. 106, 159, 265 ల గసాభా ఎంత?

1) 1     2) 43    3) 53    4) ఏదీకాదు

37. కిందివాటిలో సరైంది?

1) రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ సంఖ్యల ఉమ్మడి కారణాంకాల్లో పెద్ద సంఖ్యను ఆ సంఖ్యల కసాగు అంటారు.

2) రెండు సంఖ్యల్లో ఒక సంఖ్య మరొక దాని గుణిజం అయితే వాటిలోని చిన్నసంఖ్య ఆ సంఖ్యల గసాభా అవుతుంది. 

3) రెండు సంఖ్యల లబ్ధం వాటి కసాగు, గసాభా ల మొత్తానికి సమానం.       4) ఏదీకాదు

38. 102, 119, 153 ల కసాగు ఎంత?

1) 2100  2) 2042  3) 2062  4) 2142

39. కిందివాటిలో సరైంది?

ఎ) a, b లు ప్రధాన సంఖ్యలు అయితే a, b ల కసాగు = ab

బి) a, b లు పరస్పర ప్రధాన సంఖ్యలు అయితే a, b ల కసాగు = b

1)  ఎ    2) బి     3) ఎ, బి   4) ఏదీకాదు 

40. ఏ కనిష్ఠ సంఖ్యను రెట్టింపు చేస్తే అది 12, 18, 21, 30 లతో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది?

1) 1260  2) 630  3) 1220   4) 610

41.  ఒక సంఖ్య నుంచి 11 తీసివేసిన తర్వాత 16, 18, 21, 24, 28 లతో భాగించబడే సంఖ్యల్లో అతిచిన్న సంఖ్య?

1) 1109  2) 1119  3) 1019  4) 1214

42. 6850, 2675లను K తో భాగిస్తే వచ్చే శేషాలు వరుసగా 50, 25 అయితే K యొక్క గరిష్ఠ విలువ ఎంత? 

1) 875   2) 850   3) 625   4) 500

43. ఒక వర్తకుడి వద్ద 3 రకాల నూనెలు వరుసగా 120 లీ., 180 లీ., 240 లీ. ఉన్నాయి. వర్తకుడు 3 రకాల నూనెలను ఒకే ఘనపరిమాణం ఉన్న డబ్బాల్లో నింపాలనుకున్నాడు. అయితే అలాంటి డబ్బాలు ఎన్ని కావాలి?

1) 8       2) 10     

3) 9       4) 11 

44. ఒక వర్తకుడి వద్ద 3 రకాల నూనెలు వరుసగా 120 లీ., 180 లీ., 240 లీ. ఉన్నాయి. వర్తకుడు 3 రకాల నూనెలను ఒకే ఘనపరిమాణం గల డబ్బాల్లో నింపాలనుకున్నాడు. అయితే అలాంటి డబ్బాలు ఎన్ని కావాలి?

1) 8     2) 10     3) 9     4) 11

45. రెండు సంఖ్యల క.సా.గు, గ.సా.కాల మధ్య భేదం 133.  క.సా.గు గ.సా.కా.కు 20 రెట్లు. వాటిలో ఒక సంఖ్య 35 అయితే రెండో సంఖ్య ఎంత?

1) 40    2) 25    3) 42     4) 28

సమాధానాలు

1-2; 2-4; 3-1; 4-3; 5-4; 6-2; 7-1; 8-3; 9-3; 10-4; 11-2; 12-3; 13-1; 14-4; 15-4; 16-4; 17-2; 18-1; 19-3; 20-2; 21-2; 22-4; 23-3; 24-1; 25-3; 26-1; 27-4; 28-2; 29-3; 30-2; 31-1; 32-4; 33-1; 34-3; 35-2; 36-3; 37-2; 38-4; 39-1; 40-2. 41-3; 42-2; 43-3; 44-3; 45-4. 

రచయిత: సి.మధు