చతుర్భుజాలు

జత సమాంతర భుజాలు ఉంటే సమలంబం!

 

విస్తీర్ణాలను, చుట్టుకొలతలను కొలవడానికి, కోణాలను లెక్కగట్టడానికి, రేఖాగణిత సంబంధాలను అర్థం చేసుకోవడానికి చతుర్భుజాల గురించి తెలుసుకోవాలి. భవనాలు, వంతెనలు, యంత్రాల నిర్మాణంలో బలం, స్థిరత్వం, కదలికలను అంచనా వేయడానికీ ఈ నాలుగు రేఖాఖండాల సంవృత పటాలు సాయపడతాయి. చిత్రకళ, శిల్పకళ, వాస్తుశిల్పాల్లో సౌందర్యం, సమతౌల్యతలను సాధించడానికి చతుర్భుజాలను ఉపయోగించాల్సి వస్తుంది. ఇంజినీరింగ్, భౌతిక శాస్త్రం, రేఖాగణితం, త్రికోణమితి తదితర అనేక రంగాలకు సంబంధించి కీలకంగా ఉన్న చతుర్భుజాల గురించి అభ్యర్థులు తెలుసుకోవాలి. ప్రతి పోటీ పరీక్షలో తప్పకుండా వస్తున్న ఈ ప్రశ్నలను బాగా ప్రాక్టీస్‌ చేయాలి. 

1.  సమచతుర్భుజంలో భుజాల మధ్య బిందువులను కలిపితే ఏర్పడే చతుర్భుజం?    

1) సమచతుర్భుజం   2) చతురస్రం  

3) సమలంబ చతుర్భుజం  4) దీర్ఘ చతురస్రం

2. ABCD సమాంతర చతుర్భుజంలో ∠DAB = = 40⁰ అయితే ∠ABC =?

1) 80⁰    2) 100⁰   3) 120⁰    4) 140⁰

3. చతుర్భుజంలోని కోణాలు కిందివాటిలో ఏ  నిష్పత్తిలో ఉండవు?

1) 3 : 1 : 5 : 6    2) 2 : 3 : 4 : 6

3) 1 : 2 : 3 : 6    4) పైవన్నీ

4. ఒక చతుర్భుజంలోని కోణాలు 2 : 3 : 4 : 6 నిష్పత్తిలో ఉంటే అ చతుర్భుజంలో పెద్దకోణం ఎంత? 

1) 48⁰    2) 96⁰   3) 144⁰   4) 154⁰

5. సమాంతర చతుర్భుజంలోని ఒక కోణం అతి చిన్న కోణానికి రెట్టింపు కంటే 24⁰ తక్కువ. అయితే దానిలో పెద్ద కోణం ఎంత?

1) 132⁰    2) 112⁰   3) 122⁰ 4) 92⁰

6.  ABCD చతుర్భుజంలో AB = 5 సెం.మీ., CD = 8 సెం.మీ. ∠A, ∠D  కోణాల మొత్తం 180⁰ అయితే ABCD ఒక?

1) దీర్ఘ చతురస్రం   2) సమ చతుర్భుజం

3) సమాంతర చతుర్భుజం 4) సమలంబ చతుర్భుజం 

7.  ఒక చతుర్భుజ కోణాలు వరుసగా x⁰, (x + 10)⁰,(x + 20)⁰, (x + 30)⁰ అయితే x విలువ ఎంత?

1) 85⁰   2) 75⁰   3) 65⁰   4) 45⁰

8. సమాంతర చతుర్భుజం రెండు భుజాలు 4 : 3 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి. దాని చుట్టుకొలత  56 సెం.మీ. అయితే ఆ రెండు భుజాల పొడవులు ఎంత? (సెం.మీ.లలో)

1) 16,12   2) 18,10   3) 15,13   4) 14,12

9.  ABCD చతుర్భుజంలో కర్ణం AC = 10 సెం.మీ. , AC = 10 పై శీర్షాలు, , B,D నుంచి గీసిన లంబాలు 5 సెం.మీ., 6 సెం.మీ. పొడవులు కలిగి ఉంటే ABCD చతుర్భుజ వైశాల్యం ఎంత?

1) 55 చ.సెం.మీ.   2) 40 చ.సెం.మీ.  

3) 35 చ.సెం.మీ.   4) 28 చ.సెం.మీ.

10. BASE దీర్ఘచతురస్ర కర్ణాలు = ‘O’ వద్ద సమద్విఖండన చేసుకుంటాయి. OB = 3x + 1, OE = 2x + 4 అయితే x విలువ ఎంత?

1) 4    2) 3   3) 2    4) 1

11.  ABCD చతురస్రంలో కర్ణాలు బిందువు 'O' వద్ద ఖండించుకుంటే ∆AOB ఒక

1) లంబకోణ సమద్విబహు త్రిభుజం 

2) సమబాహు త్రిభుజం 

3) లంబకోణ త్రిభుజం కాని సమద్విబాహు త్రిభుజం 

4) లంబకోణ విషమబాహు త్రిభుజం

12. BEST సమాంతర చతుర్భుజంలో ∠B = 100⁰. అయితే ∠E = ?

1) 90⁰    2) 180⁰    3) 80⁰   4) 60⁰

13.  ఒక చతుర్భుజంలో కోణాలు వరుసగా x⁰, (x - 10)⁰, (x + 30)⁰, 2x⁰ అయితే వాటిలో చిన్న కోణం ఎంత?

1) 68⁰    2) 58⁰   3) 52⁰   4) 48⁰

14. సమాంతర చతుర్భుజం రెండు భుజాలు 5 : 4 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి. దాని చుట్టుకొలత  108 సెం.మీ. అయితే ఆ రెండు భుజాల పొడవులు ఎంత? (సెం.మీ.,)

1) 30, 24    2) 60, 48   3) 24, 36    4) 18, 24

15. ABCD ఒక చతుర్భుజంలోని కోణాలు A, B, C, D లు వరసగా 1 : 2 : 4 : 5 నిష్పత్తిలో ఉంటే దానిలో ఏవైనా మూడు కోణాల మొత్తం ఎంత?

1) 300⁰  2) 325⁰ 3) 280⁰   4) 250⁰

16. ఒక చతుర్భుజం ఏకైకంగా ఏర్పడాలంటే కావాల్సిన కొలతల సంఖ్య?

1) 4    2) 5    3) 3    4) 4కు తక్కువ కాకుండా

17. HELP ఒక సమాంతర చతుర్భుజం. OE = 4 సెం.మీ. కర్ణాల సమద్విఖండన బిందువు O. PE కంటే HL 5 సెం.మీ ఎక్కువ. అయితే వీబీ = ?

1) 6.5 సెం.మీ.   2) 7.5 సెం.మీ.  

3) 13 సెం.మీ.   4) 15 సెం.మీ.

18. AB = 5 సెం.మీ., BC = 3.5 సెం.మీ.,  ∠A = 60⁰ కొలతలతో ABCD సమాంతర  చతుర్భుజాన్ని గీయండి. ఈ సమస్య సాధనలో నిర్మాణక్రమ సోపానాలకు ఉండాల్సిన క్రమాన్ని గుర్తించండి.

ఎ) AB రేఖా ఖండంపై A వద్ద 60⁰  కోణరేఖ గీయండి. 

బి) D నుంచి 5 సెం.మీ., B నుంచి 3.5 సెం.మీ. ల వ్యాసార్ధంతో చాపరేఖలు గీయగా అవి C వద్ద కలుస్తాయి.   

సి) AB = 5 సెం.మీ., కొలతతో రేఖాఖండం గీయండి.

డి)  AD = 3.5 సెం.మీ., కొలతతో ∠A కోణ  రేఖపై D బిందువు గుర్తించండి.

ఇ) DC, BC లను కలపండి.

1) సి, డి, బి, ఇ, ఎ     2) సి, ఎ, డి, బి, ఇ

3) ఎ, సి, బి, ఇ, డి    4) బి, ఎ, సి, డి, ఇ

19.   ఒక చతుర్భుజంలోని కోణాలు 3 : 4 : 5 : 6 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి. అయితే ఆ చతుర్భుజంలోని కనిష్ఠ కోణం ఎంత?

1) 60⁰  2) 45⁰   3) 30⁰  4) 120⁰

20. ఒక రాంబస్‌ ఏకైకంగా ఏర్పడాలంటే కావాల్సిన కొలతల సంఖ్య?

1) 4    2) 3   3) 2   4) 1

21. ఒక జత మాత్రమే సమాంతర భుజాలు ఉండే చతుర్భుజం?

1) గాలిపటం   2) సమాంతర చతుర్భుజం   

3) సమలంబ చతుర్భుజం   4) చతురస్రం

22. చతురస్రంలో కర్ణాలు సమద్విఖండన చేసుకున్నప్పుడు ఏర్పడే కోణం ఎంత?

1) 45⁰   2) 60⁰    3) 90⁰   4) 120⁰

23. సమాంతర చతుర్భుజంలో ఒక జత ఆసన్న కోణాల మొత్తం ఎంత?

1) సమానం    2) సంపూరకాలు  

3) పూరక కోణాలు   4) లఘు కోణాలు

24. సమాంతర చతుర్భుజంలోని రెండు ఆసన్న కోణాలు 3 : 2 నిష్పత్తిలో ఉంటే ఆ కోణాలు ఎంత?

1) 108⁰, 36⁰    2) 108⁰, 72⁰

3) 118⁰, 62⁰     4) 98⁰, 72⁰

25. A = (x + 2y)⁰, B = 110⁰, C = 70⁰, D = (5x + 2y)⁰. A, B, C, D లు సమాంతర చతుర్భుజ అంతర కోణాలైతే (x + y) విలువ ఎంత?

1) 50⁰    2) 40⁰   3) 35⁰   4) 30⁰

26. కిందివాటిలో సరైంది?

1) దీర్ఘచతురస్రంలో కర్ణాలు అసమానంగా ఉండి సమద్విఖండన చేసుకుంటాయి.

2) రాంబస్‌లో కర్ణాలు సమానంగా ఉండి లంబ సమద్విఖండన చేసుకుంటాయి.

3) సమాంతర చతుర్భుజంలో కర్ణాలు సమానంగా ఉండి సమద్విఖండన చేసుకుంటాయి. 

4) చతురస్రంలో కర్ణాలు సమానంగా ఉండి లంబ సమద్విఖండన చేసుకుంటాయి.

27. ABCD ఒక సమాంతర చతుర్భుజం. BC యొక్క మధ్యబిందువు E. AB, DE, లను F వరకు పొడిగిస్తే AF = ?

1) 3AB    2) AC    3) AB + AC    4) 2AB

28. ఒక చతుర్భుజంలో రెండు జతల ఎదురెదురు భుజాలు సమాంతరాలైతే ఆ చతుర్భుజాన్ని ఏమంటారు?

1) చతురస్రం    2) దీర్ఘచతురస్రం  

3) సమాంతర చతుర్భుజం   4) సమ చతుర్భుజం  

30. ఒక సమాంతర చతుర్భుజం యొక్క చుట్టుకొలత 54 సెం.మీ., దాని ఆసన్న భుజాల నిష్పత్తి    2 : 7 అయితే ఆ రెండు భుజాలు ఎంత?

1) 8 సెం.మీ., 19 సెం.మీ.   

2) 10 సెం.మీ., 17 సెం.మీ.        

3) 6 సెం.మీ., 21 సెం.మీ.   

4) 13 సెం.మీ., 14 సెం.మీ.

31. ఒక సమాంతర చతుర్భుజ ఆసన్న కోణాల్లో ఒకటి రెండో దానికి రెట్టింపు కంటే 3⁰ తక్కువ. అయితే వాటిలో పెద్ద కోణం ఎంత?    

1) 110^o    2) 120^o   3) 130^o    4) 140^o 

32. సమాన కొలతలున్న భుజాలు, అసమానంగా కర్ణాలున్న చతుర్భుజం?

1) చతురస్రం       2) సమాంతర చతుర్భుజం   

3) ట్రెపీజియం      4) రాంబస్‌

33. చతుర్భుజంలోని మూడు కోణాలు 55^o, 65^o, 105^o అయితే నాలుగో కోణం ఎంత?

1) 25^o  2) 35^o   3) 45^o  4) 15^o

34. సమాంతర చతుర్భుజంలోని కోణ సమద్విఖండన రేఖలు దేన్ని ఏర్పరుస్తాయి?

1) చతురస్రం       2) ట్రెపీజియం  

3) రాంబస్‌       4) దీర్ఘచతురస్రం  

35. కింది వాక్యాల్లో సరైనవి?

ఎ) సమచతుర్భుజాలన్నీ సమాంతర చతుర్భుజాలు

బి) చతురస్రాలన్నీ సమ చతుర్భుజాలు

సి) సమ చతుర్భుజాలన్నీ గాలిపటాలు

1) ఎ, బి  2) బి, సి  3) ఎ, సి 4) ఎ, బి, సి 

36. కిందివాటిలో సరికానిది?

1) చతురస్రాలన్నీ సమాంతర చతుర్భుజాలు.  

2) చతురస్రాలన్నీ దీర్ఘ చతురస్రాలు. 

3) గాలిపటాలన్నీ సమ చతుర్భుజాలు.

4) సమాంతర చతుర్భుజాలన్నీ సమలంబ  చతుర్భుజాలు.

37. ఒక సమాంతర చతుర్భుజంలో...

ఎ) ఎదుటి భుజాలు సమానం.

బి) ఎదురెదురు కోణాలు సమానం.

సి) కర్ణాలు ఒకదానికొకటి లంబ సమద్విఖండన చేసుకుంటాయి.

1) ఎ, బి లు సరైనవి  2) ఎ, సిలు సరైనవి  

3) బి, సి లు సరైనవి  4) ఎ, బి, సి లు సరైనవి

38. ABCD, EFGH లు పటంలో చూపిన విధంగా ఉంటే కిందివాటిలో ఏది నిజం?

39. కింది ప్రవచనాల్లో సరైనవి గుర్తించండి.

ఎ) చతురస్రంలోని ప్రతి కర్ణం దాన్ని రెండు సర్వ సమాన లంబకోణ త్రిభుజాలుగా విభజిస్తుంది. 

బి) దీర్ఘచతురస్రంలో ప్రతి కర్ణం దాన్ని రెండు సర్వసమాన లంబకోణ త్రిభుజాలుగా విభజిస్తుంది.

1) ఎ మాత్రమే       2) బి మాత్రమే   

3) ఎ, బి     4) ఏదీకాదు 

40. సమాంతర చతుర్భుజాన్ని నిర్మించడానికి    కావాల్సిన కొలతల సంఖ్య ఎంత?

1) 5     2) 4     3) 2     4) 3

 సమాధానాలు
 

1-2; 2-4; 3-3; 4-3; 5-2; 6-4; 7-2; 8-1; 9-1; 10-2;  11-1; 12-3; 13-2; 14-1; 15-1; 16-2; 17-3; 18-2; 19-1; 20-3. 21-3; 22-3; 23-2; 24-2; 25-2; 26-4; 27-4; 28-3; 29-3; 30-1; 31-1; 32-4; 33-2; 34-4; 35-4;  36-3; 37-1; 38-1; 39-2; 40-4.
 

రచయిత: సి.మధు .