• facebook
  • whatsapp
  • telegram

త్రిభుజాలు

రేఖా ఖండాల సర్వసమాన ధర్మాలు!


మూడు రేఖా ఖండాలతో ఏర్పడే సరళ సంవృత పటమే త్రిభుజం. అది మూడు భుజాలు, మూడు కోణాలు, మూడు శీర్షాలను కలిగి ఉంటుంది. భుజాలు, కోణాల అమరికల ఆధారంగా రకరకాల ధర్మాలను, నియమాలను ప్రదర్శిస్తుంది. అంతర, బాహ్య వృత్తాలను ఏర్పరుస్తుంది. ఈ వివరాలను అభ్యర్థులు తెలుసుకోవాలి. దాంతోపాటు బాహ్యకేంద్రం, అంతర కేంద్రం, మధ్యగత రేఖ, లంబ కేంద్రం తదితర అంశాలనూ అధ్యయనం చేయాలి. 


ఒకే ఆకారం, ఒకే పరిమాణం ఉండే పటాలను సర్వసమాన పటాలు అంటారు.

సర్వసమానత్వం గుర్తు

రెండు రేఖా ఖండాలు సర్వసమానం కావాలంటే వాటి పొడవులు సమానంగా ఉండాలి.


సర్వసమాన త్రిభుజాలు

 1. భు.భు.భు. ధర్మం:


ఏవైనా రెండు త్రిభుజాల్లో ఒక త్రిభుజంలోని మూడు భుజాలు రెండో త్రిభుజంలోని అనురూప భుజాలకు సమానమైతే ఆ రెండు త్రిభుజాలు సర్వసమానాలు.


2. భు.కో.భు. ధర్మం:

ఏవైనా రెండు త్రిభుజాల్లో ఒక త్రిభుజంలోని ఏవైనా రెండు భుజాలు, వాటి మధ్య ఉండే కోణం; రెండో త్రిభుజంలోని అనురూప భుజాలు, వాటి మధ్య ఉండే కోణానికి సమానమైతే ఆ రెండు త్రిభుజాలు సర్వసమానాలు.



 3. కో.భు.కో ధర్మం:

ఏవైనా రెండు త్రిభుజాల్లో ఒక త్రిభుజంలోని ఏవైనా రెండు కోణాలు, వాటి ఉమ్మడి భుజం; రెండో త్రిభుజంలోని అనురూప కోణాలు, వాటి ఉమ్మడి భుజానికి సమానమైతే ఆ రెండు త్రిభుజాలు సర్వసమానం అవుతాయి.



4. లం.క.భు. ధర్మం

ఏవైనా రెండు లంబకోణ త్రిభుజాల్లో ఒక త్రిభుజంలోని కర్ణం, ఏదైనా ఒక భుజం; రెండో త్రిభుజంలోని కర్ణం, అనురూప భుజానికి సమానమైతే ఆ రెండు త్రిభుజాలు సర్వసమానం అవుతాయి.

పరివృత్త కేంద్రం


*  త్రిభుజ శీర్షాల ద్వారా వెళ్లే వృత్తాన్ని పరివృత్తం అంటారు.

*  త్రిభుజ భుజాల లంబసమద్వి ఖండన రేఖల మిళిత బిందువును పరివృత్త కేంద్రం అంటారు. దీన్ని 'S' తో సూచిస్తారు.

*  S నుంచి త్రిభుజ శీర్షానికి ఉండే దూరాన్ని పరివృత్త వ్యాసార్ధం అంటారు.

*  S అనేది త్రిభుజ శీర్షాలకు సమాన దూరంలో ఉంటుంది.

గమనిక: లంబకోణ త్రిభుజానికి గీసిన పరివృత్త వ్యాసార్ధం కర్ణంలో సగం ఉంటుంది.


అంతర వృత్త కేంద్రం

* త్రిభుజ భుజాలను తాకుతూ అంతరంగా ఉండే వృత్తాన్ని అంతర వృత్తం అంటారు.

* త్రిభుజ అంతరకోణ సమద్వి ఖండన రేఖల మిళిత బిందువును అంతరవృత్త కేంద్రం అంటారు. దీన్ని ‘I’ తో సూచిస్తారు.

* I అనేది త్రిభుజ భుజాలకు సమాన దూరంలో ఉంటుంది.

* I నుంచి భుజానికి ఉండే లంబ దూరాన్ని అంతరవృత్త వ్యాసార్ధం అంటారు.


బాహ్య వృత్త కేంద్రం 

* త్రిభుజ భుజాలను తాకుతూ బాహ్యంగా గీసే వృత్తాన్ని బాహ్య వృత్తం అంటారు.

* ఒక త్రిభుజం యొక్క రెండు బాహ్య కోణ సమద్విఖండన రేఖలు, మూడో అంతర కోణ సమద్విఖండన రేఖ మిళిత బిందువును బాహ్య వృత్త కేంద్రం అంటారు.ఇది త్రిభుజ భుజాలకు సమాన దూరంలో ఉంటుంది.

* ఒక త్రిభుజానికి గీయగలిగే బాహ్య వృత్తాల సంఖ్య - 3

* బాహ్య వృత్త కేంద్రాలను I1, I2, I3 లతో సూచిస్తారు.


మధ్యగత రేఖ


త్రిభుజ శీర్షం నుంచి దాని ఎదుటి భుజం యొక్క మధ్య బిందువును కలిపే రేఖా ఖండాన్ని మధ్యగత రేఖ అంటారు. 

త్రిభుజానికి గీయగల మధ్యగత రేఖల సంఖ్య మూడు.


గురుత్వ కేంద్రం (G)


త్రిభుజ మధ్యగత రేఖల మిళిత బిందువును గురుత్వ కేంద్రం అంటారు.

* G అనేది ప్రతి మధ్యగత రేఖను 2 : 1 లేదా 1 : 2 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది. 

* ΔABCలో AD మధ్యగత రేఖ, గురుత్వ కేంద్రం G అయితే 

1) AG : GD = 2 : 1

2) DG : AG = 1 : 2

3) AD : AG = 3 : 2

4) AD : GD = 3 : 1

* ప్రతి మధ్యగత రేఖకు గురుత్వ కేంద్రం ఒక త్రిధాకరణ బిందువు అవుతుంది.


లంబ కేంద్రం ( H లేదా O )

* త్రిభుజ శీర్షం నుంచి దాని ఎదుటి భుజానికి గీసే లంబరేఖను ఉన్నతి అంటారు.

* త్రిభుజ ఉన్నతుల మిళిత బిందువును లంబ కేంద్రం అంటారు. దీన్ని H లేదా O తో సూచిస్తారు.

* లంబ కేంద్రం అనేది అల్పకోణ త్రిభుజానికి అంతరంగానూ, అధికకోణ త్రిభుజానికి బాహ్యంగానూ ఉంటుంది.

* లంబకోణ త్రిభుజానికి లంబకోణ శీర్షమే లంబ కేంద్రమవుతుంది.

గమనిక:

1) సమబాహు త్రిభుజంలో S, I, G, H లు ఒకే బిందువుతో ఏకీభవిస్తాయి.

2) సమద్విబాహు త్రిభుజంలో S, I, G, H లు సరేఖీయాలు.

3) విషమబాహు త్రిభుజంలో H, G, S లు సరేఖీయాలు.

4) H, G, S ల మీదుగా వెళ్లే రేఖను ఆయిలర్‌ రేఖ అంటారు.


                                                                 

రచయిత : సి.మధు

 

Posted Date : 17-04-2024

గమనిక : ప్రతిభ.ఈనాడు.నెట్‌లో కనిపించే వ్యాపార ప్రకటనలు వివిధ దేశాల్లోని వ్యాపారులు, సంస్థల నుంచి వస్తాయి. మరి కొన్ని ప్రకటనలు పాఠకుల అభిరుచి మేరకు కృత్రిమ మేధస్సు సాంకేతికత సాయంతో ప్రదర్శితమవుతుంటాయి. ఆ ప్రకటనల్లోని ఉత్పత్తులను లేదా సేవలను పాఠకులు స్వయంగా విచారించుకొని, జాగ్రత్తగా పరిశీలించి కొనుక్కోవాలి లేదా వినియోగించుకోవాలి. వాటి నాణ్యత లేదా లోపాలతో ఈనాడు యాజమాన్యానికి ఎలాంటి సంబంధం లేదు. ఈ విషయంలో ఉత్తర ప్రత్యుత్తరాలకు, ఈ-మెయిల్స్ కి, ఇంకా ఇతర రూపాల్లో సమాచార మార్పిడికి తావు లేదు. ఫిర్యాదులు స్వీకరించడం కుదరదు. పాఠకులు గమనించి, సహకరించాలని మనవి.