కోణాలు

కచ్చితమైన కొలతలకు మూలాధారాలు!

ఆకారాలను సృష్టించడంలో, బొమ్మలను గీయడంలో, రేఖాగణిత సంబంధాలను వివరించడంలో కోణాలు కీలకపాత్ర పోషిస్తాయి. భ్రమణాలను కొలవడం, సమరూపత లేదా సౌష్ఠవాన్ని నిర్ణయించడం, త్రికోణమితిని  అర్థం చేసుకోవడంలో సాయపడతాయి. కచ్చితమైన కొలతలకు కోణాలు ప్రాథమిక మూలాధారాలు. కంప్యూటర్‌ గ్రాఫిక్స్, యానిమేషన్, ఇంజినీరింగ్, నావిగేషన్, క్రీడలు, నిర్మాణాలు, టెక్నాలజీ మొదలైన ఎన్నో రంగాల్లో వాటి పరిజ్ఞానం ఉపయోగపడుతుంది. అందుకే నిత్య జీవితంతో ముడిపడి ఉన్న ఈ అంశాలపై పోటీ పరీక్షల గణితంలో తరచూ ప్రశ్నలు వస్తుంటాయి. అభ్యర్థులు కోణాలు, వాటిల్లో రకాలు తదితర మౌలిక వివరాలను తెలుసుకుంటే తేలిగ్గా సమాధానాలను గుర్తించగలుగుతారు. 

కోణం:

*    కోణాన్ని ఏర్పరచే కిరణాలను కోణ భుజాలు, ఆ తొలి బిందువును కోణ శీర్షం అని అంటారు.

*   కోణం ఒక సమతలాన్ని మూడు బిందు సముహాలుగా   విభజిస్తుంది. అవి

1) కోణం పై ఉండే బిందువుల సముదాయం.

2) కోణం అంతరం (లోపల ఉండే)  లోని బిందువుల సముదాయం.

3) కోణం బాహ్యం (బయట ఉండే) లోని బిందువుల సముదాయం. పటంలోని కోణాన్ని ˂AOB  లేదా ˂BOAతో సూచిస్తారు.

గమనిక:

*  ఒక లంబ కోణాన్ని 90 సమాన భాగాలుగా చేసినా, ఒక్కో భాగాన్ని డిగ్రీ అంటారు.

*  కోణాన్ని కొలవడానికి  ప్రమాణం  డిగ్రీ

*   కోణాన్ని కోణమానిని సాయంతో కొలుస్తారు.

రక రకాలుగా..

1. అల్ప కోణం (Acte Angle):

2. లంబ కోణం (Right Angle):

కచ్చితంగా 90⁰ లు ఉండే కోణాన్ని లంబ కోణం అంటారు.

3. అధిక కోణం (Obtuse Angle):

​​​​​​​

4. సరళ కోణం (Staright Angle):

కోణాన్ని ఏర్పరచే కిరణాలు ఒకదానికొకటి వ్యతిరేక దిశలో ఉంటే, ఏర్పడే కోణాన్ని సరళ కోణం అంటారు.

​​​​​​​

5. పరావర్తన కోణం (Reflex Angle):

180⁰ ల కంటే ఎక్కువ, 360⁰ ల కంటే తక్కువ ఉండే కోణాన్ని పరావర్తన కోణం అంటారు. 

​​​​​​​

6. సంపూర్ణ కోణం (Complete Angle):

ఒక సంపూర్ణ భ్రమణం తర్వాత గమ్య కిరణం తొలి కిరణంతో కలిసి పోయినప్పుడు ఏర్పడిన కిరణాన్ని సంపూర్ణ కోణం అంటారు.

7. శూన్య కోణం (Zero Angle):

భ్రమణం ఏం లేకుండా గమ్య కిరణం తొలికిరణంతో కలిసి ఉంటే, అప్పుడు ఏర్పడిన కోణాన్ని శూన్య కోణం అంటారు.

కోణ సమద్విఖండన రేఖ (Angle by sector):

ఒక కోణాన్ని రెండు సర్వసమాన కోణాలుగా విభజించే కిరణాన్ని కోణ సమద్విఖండన రేఖ అంటారు.

ఆసన్న కోణాలు (Adjacent angles) :

ఉమ్మడి శీర్షం కలిగి ఉమ్మడి భుజానికి ఇరువైపులా ఉండే కోణాలను ఆసన్న కోణాలు అంటారు.

O = ఉమ్మడి శీర్షం 

రేఖీయ జత (Linear Pair):

ఒక జత ఆసన్న కోణాల్లో ఉమ్మడిగా లేని రెండు భుజాలు ఒకదానికొకటి వ్యతిరేక దిశలో ఉన్నప్పుడు ఏర్పడే ఆసన్న కోణాల జతను రేఖీయ జత లేదా రేఖీయ ద్వయం అంటారు.

​​​​​​​

రేఖీయ జతలోని కోణాల మొత్తం = 180⁰

​​​​​​​

శీర్షాభిముఖ కోణాలు (Vertically Opposite Angles):

రెండు సరళ రేఖలు ఖండించుకున్నప్పుడు ఖండన బిందువుల వద్ద ఏర్పడే ఎదురెదురు కోణాలను  శీర్షాభిముఖ కోణాలు అంటారు.

ఈ కోణాలు ఎల్లప్పుడూ సమానం

కోణాల జతల్లో రకాలు  పూరక కోణాలు (Complementary Angles):

రెండు కోణాల మొత్తం 90⁰ అయితే ఆ కోణాల జతను పూరక కోణాలు అంటారు.

X⁰ లకు పూరక కోణం = 90⁰ - X⁰

42⁰ లకు పూరక కోణం =  90⁰ - 42⁰ = 48⁰

రెండు కోణాలు సమానం, పరిపూరకం అయితే అవి ఒక్కొక్కటి 45⁰, 45⁰ లు ఉంటాయి.

సంపూరక కోణాలు (Supplementary Angles):

రెండు కోణాల మొత్తం 180⁰ లు అయితే ఆ కోణాల జతను  సంపూరక కోణాలు అంటారు.

X⁰ లకు సంపూరక కోణం  =   180⁰

60⁰ లకు సంపూరక కోణం = 120⁰

రెండు కోణాలు సమానం, సంపూరకం అయితే అవి ఒక్కొక్కటి  90⁰, 90⁰ లు ఉంటాయి.

సంయుగ్మ కోణాలు (Conjugate Angles):

రెండు కోణాల మొత్తం 360⁰ లు అయితే ఆ కోణాల జతను సంయుగ్మ కోణాలు అంటారు.

X⁰ లకు సంయుగ్మ కోణం  = 360⁰

140⁰ లకు సంయుగ్మ కోణం  = 220⁰

తిర్యక్‌ రేఖ (Transversal):

ఒక తలంలోని రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ రేఖలను వేర్వేరు బిందువుల వద్ద ఖండించే రేఖను తిర్యక్‌ రేఖ అంటారు.

​​​​​​​

అంతర కోణాలు Interior Angles):

l, m రేఖలకు మధ్య ఉన్న కోణాలను అంతర కోణాలు అంటారు.అవి ˂3, ˂4 , ˂5, ˂6

బాహ్య కోణాలు (Exterior Angles):

l, m రేఖలకు వెలుపలి కోణాలను బాహ్య కోణాలు అంటారు.

అవి  ˂1, ˂2, ˂7, ˂8

సదృశ్య లేదా సంగత కోణాలు (Corresponding Angles):

తిర్యక్‌ రేఖకు ఒకేవైపు ఉంటూ ఆసన్న కోణాలు కాని అంతర, బాహ్య కోణాల జతను సదృశ్య కోణాలు అంటారు.

అవి ˂1, ˂5 ; ˂2 , ˂6 ; ˂3 , ˂7 ; ˂4 , ˂8  ఇవి నాలుగు జతలు ఉంటాయి.

ఏకాంతర కోణాలు (Alternate Interior Angles):-

తిర్యక్‌ రేఖకు ఇరువైపులా ఉంటూ ఆసన్న కోణాలు కాని అంతర  కోణాల జతను ఏకాంతర కోణాలు అంటారు.

అవి  ˂3 , ˂5 ; ˂4 , ˂6

l // m అయితే ఏకాంతర కోణాలు సమానం.

ఏకబాహ్య కోణాలు (Alternate Exterior Angles):-

తిర్యక్‌ రేఖకు ఇరువైపులా ఉంటూ ఆసన్న కోణాలు కాని బాహ్య కోణాల జతను ఏకబాహ్య కోణాలు అంటారు. 

అవి ˂1 , ˂7 ; ˂2, ˂8  

l // m  అయితే ఏకబాహ్య కోణాలు సమానం.

తిర్యక్‌ రేఖకు ఒకే వైపు ఉండే అంతర కోణాలు (Oneside of Interior Angles):-

˂4, ˂5 ; ˂3 , ˂6

తిర్యక్‌ రేఖకు ఒకే వైపు ఉండే బాహ్య కోణాలు (Oneside of Exterior Angles):-

˂1, ˂8 ; ˂2, ˂7

నోట్‌: సమాంతర రేఖలను ఖండించే తిర్యక్‌ రేఖకు ఒకేవైపు ఉండే అంతర కోణాల మొత్తం 180⁰, ఒకే వైపు ఉండే బాహ్య కోణాల మొత్తం 180⁰.                       

రచయిత: సి. మధు