కొనను ఎత్తకుండా గీస్తే వక్రం!
మూడు భుజాలతో ఉండే త్రిభుజం, రేఖాగణిత భావనలను అర్థం చేసుకోవడానికి ఉపయోగపడుతుంది. వివిధ వైశాల్యాలను గణించడంలోనూ కీలకంగా వ్యవహరిస్తుంది. బహుభుజి మరిన్ని భుజాలతో అనేక ఆకారాలను సృష్టించడంలో సాయపడుతుంది. ఈ రెండూ జ్యామెట్రీ, భౌగోళిక సంబంధ గణిత సమస్యలను పరిష్కరించడానికి దోహదపడతాయి. కంప్యూటర్‌ గ్రాఫిక్స్, ఆర్కిటెక్చర్‌ రంగాల్లో, గణిత సిద్ధాంతాల అభివృద్ధిలోనూ ప్రధాన పాత్ర పోషించే బహుభుజి, త్రిభుజాల్లో రకాలను, నియమాలను పోటీ పరీక్షార్థులు తెలుసుకోవాలి. భుజాలు-కోణాల మధ్య సంబంధాలను అర్థం చేసుకోవాలి.
వక్రం (Curve): పెన్సిల్‌ కొనను ఎత్తకుండా గీయగలిగే ప్రతి పటాన్ని వక్రం అంటారు.
సంవృత పటం(Closed figure): ఒక వక్రం తననుతాను కేవలం ఒక్కసారి మాత్రమే తాకితే ఆ పటం సంవృత పటం అవుతుంది.
గమనిక: సంవృత పటం ఏర్పడటానికి కావాల్సిన రేఖాఖండాల సంఖ్య = కనీసం 3
వివృత పటం(Polygons): సంవృత పటాలు కాని వాటిని వివృత పటాలు అంటారు.
ఉదా:
బహుభుజిలు (Polygons): రేఖా ఖండాలతో ఏర్పడే సరళ సంవృత పటాన్ని బహుభుజి అంటారు. బహుభుజికి దాని భుజాల సంఖ్య ఆధారంగా పేరును నిర్ణయిస్తారు.
కుంభాకార బహుభుజి (Convex Polygon):
* ఒక బహుభుజిలోని ప్రతీ కోణం 1800 కంటే తక్కువగా ఉంటే, ఆ బహుభుజిని కుంభాకార బహుభుజి అంటారు. ఒక బహు భుజిలోని ఏవైనా రెండు బిందువులను కలిపే రేఖా ఖండం యొక్క అన్ని బిందువులు ఆ బహుభుజి ప్రాంతానికే చెందితే దానిని కుంభాకార బహుభుజి అంటారు.
పుటాకార బహుభుజి(Concave Polygon): ఒక బహుభుజిలోని ఏదైనా ఒక కోణం 1800ల కంటే 
ఎక్కువగా ఉంటే, దాన్ని పుటాకార బహుభుజి అంటారు.
* ఒక బహుభుజిలోని ఏవైనా రెండు బిందువులను కలిపే రేఖాఖండం యొక్క అన్ని బిందువులు
ఆ బహుభుజి ప్రాంతానికి చెందకపోతే దాన్ని పుటాకార బహుభుజి అంటారు.
క్రమబహుభుజి:
* భుజాలు, కోణాలు అన్నీ సమానంగా ఉండే బహుభుజిని క్రమబహుభుజి అంటారు.
గమనిక:
* n భుజాలున్న క్రమ బహుభుజిలోని కర్ణాల
* n భుజాలున్న క్రమ బహుభుజిలోని కోణాల మొత్తం = (2n - 4) x 90°
* n భుజాలున్న క్రమ బహుభుజిలోని బాహ్య కోణాల మొత్తం = 3600
* n భుజాలున్న క్రమబహుభుజిలోని ఒక్కొక్క అంతర కోణం = 
* n భుజాలున్న క్రమ బహుభుజిలోని ఒక్కొక్క బాహ్య కోణం = 
త్రిభుజం: మూడు రేఖాఖండాలతో ఏర్పడిన సరళ సంవృత పటాన్ని త్రిభుజం అంటారు.
* త్రిభుజ శీర్షాలు A, B, C... వాటికి ఎదురుగా ఉన్న భుజాలను a, b, c..... లతో సూచిస్తారు.
* త్రిభుజంలోని 3 కోణాల మొత్తం = 1800.
* త్రిభుజంలో భుజాలు, కోణాలు, శీర్షాలు మూడేసి చొప్పున ఉంటాయి.
* త్రిభుజం అనేది అది ఉండే తలాన్ని మూడు బిందు సమూహాలుగా విభజిస్తుంది. అవి
1) త్రిభుజంపై ఉన్న బిందువుల సముదాయం.
2) త్రిభుజ అంతరంలోని బిందువుల సముదాయం.
3) త్రిభుజ బాహ్యంగా ఉండే బిందువుల సముదాయం.
అసమానత్వ నియమాలు
* త్రిభుజంలోని ఏ రెండు భుజాల మొత్తం అయినా మూడో భుజం కంటే ఎక్కువ.
a + b > c b + c > a c + a > b
* ఏ రెండు భుజాల భేదం అయినా మూడో భుజం కంటే తక్కువ.
a - b < c b - c < a c - a < b
బాహ్య కోణం:
* త్రిభుజంలో ఒక భుజాన్ని పొడిగించగా ఏర్పడే కోణాన్ని బాహ్యకోణం అంటారు.
* త్రిభుజంలోని బాహ్యకోణం దాని అంతరాభిముఖ కోణాల మొత్తానికి సమానం.
* బాహ్యకోణం అంతరాభిముఖ కోణాల్లో ప్రతి దాని కంటే పెద్దది.
* త్రిభుజంలోని బాహ్యకోణాల మొత్తం = 3600.
భుజాలకు - కోణాలకు మధ్య ఉండే సంబంధం:
* పెద్ద కోణానికి ఎదురుగా ఉండే భుజం పెద్దది గానూ, చిన్న కోణానికి ఎదురుగా ఉండే భుజం చిన్నదిగానూ ఉంటుంది.
* సమాన కోణానికి ఎదురుగా ఉండే భుజాలు సమానంగా ఉంటాయి.
* ∆ ABC లో 0 అయితే AB> AC > BC అవుతుంది.
* ∆ ABC లో AB = AC అయితే
త్రిభుజాలు - రకాలు
భుజాల పొడవుల ఆధారంగా త్రిభుజాలు 3 రకాలు
1. సమబాహు త్రిభుజం:
* అన్ని భుజాలు సమానంగా ఉండే త్రిభుజం.
* దీనిలో అన్ని కోణాలు సమానం.
* ప్రతి కోణం విలువ 600 లు ఉంటుంది.
2. సమద్విబాహు త్రిభుజం:
* ఏవైనా రెండు భుజాలు సమానంగా ఉండే త్రిభుజం.
* దీనిలో అసమాన భుజాన్ని భూమి అంటారు.
* దీనిలో భూకోణాలు సమానం.
3) విషమబాహు త్రిభుజం:
* ఏ రెండు భుజాలు సమానంగా లేని త్రిభుజం.
* దీనిలో ఏ రెండు కోణాలు సమానంగా ఉండవు.
కోణాల విలువల ఆధారంగా త్రిభుజాలు 3 రకాలు అవి..
1) అల్పకోణ త్రిభుజం:
* ప్రతి కోణం అల్ప కోణంగా ఉండే త్రిభుజం.
* ప్రతి సమబాహు త్రిభుజం అల్పకోణ త్రిభుజం అవుతుంది.
2) అధిక కోణ త్రిభుజం:
ఒక కోణం అధిక కోణంగా ఉండే త్రిభుజం.
3) లంబకోణ త్రిభుజం:
* ఒక కోణం 900 గా ఉన్న త్రిభుజం.
* ఈ త్రిభుజంలో లంబకోణ శీర్షానికి ఎదురుగా ఉండే భుజాన్ని కర్ణం అంటారు (AC కర్ణం).
* ఒక త్రిభుజంలోని రెండు కోణాలు పూరక కోణాలైతే అది లంబకోణ త్రిభుజం అవుతుంది.
* పూరక కోణాలు సమానంగా ఉండే త్రిభుజాన్ని లంబకోణ సమ ద్విబాహు త్రిభుజం అంటారు. దీనిలో కర్ణం భుజానికి 
రెట్లు ఉంటుంది.
గమనిక:
* ఒక త్రిభుజంలో ఉండదగిన అల్పకోణాల సంఖ్య = కనీసం 2.
* ఒక త్రిభుజంలో ఉండదగిన లంబ కోణాల సంఖ్య = 1.
* ఒక త్రిభుజంలో ఉండదగిన అధిక కోణాల సంఖ్య = 1.
రచయిత: సి.మధు
