సంఖ్యలు

సూత్రాలు తెలిస్తే సాధన సులువే!

ప్రధాన సంఖ్యలు మినహా ప్రతి సంఖ్యనూ ఏదో ఒక అంకె భాగిస్తుంది. ఏ సంఖ్యను ఏ అంకె భాగించగలుగుతుందో సులభంగా చెప్పే భాజనీయత సూత్రాలు కొన్ని ఉన్నాయి. వాటిని తెలుసుకోవాలంటే సంఖ్యలు అధ్యాయంపై పట్టు సాధించాలి. ఆ అవగాహనతో చాలా రకాల ప్రశ్నలకు సమాధానాలను తేలిగ్గా గుర్తించవచ్చు. 

సంఖ్యలు

సహజ సంఖ్యలు (N): మనం లెక్కించే సంఖ్యలను సహజ సంఖ్యలు అంటారు.

    1, 2, 3, 4, ......, N

మొదటి - సహజ సంఖ్యల మొత్తం 

                     

సరిసంఖ్యలు: మనం లెక్కించే సంఖ్యల్లో 2తో నిశ్శేషంగా భాగించబడే సంఖ్యలను సరిసంఖ్యలు అంటారు.

    2, 4, 6, 8, 10, ......, 2n

మొదటి n సరిసంఖ్యల మొత్తం = n (n + 1)

బేసిసంఖ్యలు: మనం లెక్కించే సంఖ్యల్లో 2తో నిశ్శేషంగా భాగించబడని వాటిని బేసిసంఖ్యలు అంటారు.

    1, 3, 5, 7, ......, 2n -  1

మొదటి n బేసిసంఖ్యల మొత్తం = n²

 ప్రధాన సంఖ్యలు: కనిష్ఠంగా, గరిష్ఠంగా రెండే కారణాంకాలు ఉండే వాటిని ప్రధాన సంఖ్యలు అంటారు.

1 నుంచి 100 లోపు గల ప్రధాన సంఖ్యలు

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

భాజనీయ సూత్రాలు 

2 - ఇచ్చిన సంఖ్యలోని ఒకట్ల స్థానంలో సరిసంఖ్య లేదా సున్నా ఉంటే అది తప్పకుండా 2తో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది.

ఉదా: 12345678910

3 - ఇచ్చిన సంఖ్యలో అంకెల మొత్తం 3తో నిశ్శేషంగా భాగించబడితే ఆ మొత్తం సంఖ్య కూడా 3తో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది.

ఉదా: 57321

    5 + 7 + 3 + 2 + 1 = 18

4 - చివరి 2 స్థానాలు 4తో నిశ్శేషంగా భాగించబడినా లేదా చివరి రెండు స్థానాలు రెండు సున్నాలు ఉన్నా అది 4తో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది.

ఉదా: 123456 

 6 - 6 = 2 x 3 అంటే 2, 3 నియమాలను తృప్తిపరిస్తే అది 6తో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది.

ఉదా: 732 → 2 

7 + 3 + 2 = 12 → 3
7 - ఇచ్చిన సంఖ్య ఒకట్ల స్థానంలోని అంకెను రెట్టింపు చేసి మిగతా సంఖ్య నుంచి తీసివేయగా వచ్చిన మొత్తం 7తో నిశ్శేషంగా భాగించబడితే ఆ మొత్తం సంఖ్య కూడా 7తో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది.

ఉదా: 448 

        8 + 8 = 16

        44 - 16 = 28

8 - ఇచ్చిన సంఖ్యలోని చివరి 3 స్థానాలు 8తో నిశ్శేషంగా భాగించబడినా లేదా చివరి 3 స్థానాల్లో మూడు సున్నాలు ఉన్నా అది 8తో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది. 

9 - ఇచ్చిన సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం 9తో నిశ్శేషంగా భాగించబడితే ఆ మొత్తం సంఖ్య కూడా 9తో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది. 

ఉదా: 73242

        7 + 3 + 2 + 4 + 2 = 18

11 - ఒక సంఖ్య ఎడమ నుంచి కుడి వైపునకు వెళ్లినప్పుడు ఒక సంఖ్యను వదిలి మరొక సంఖ్యను తీసుకోవాలి. వదిలిన సంఖ్యల మొత్తం, తీసుకున్న సంఖ్యల మొత్తం 0 లేదా 11 యొక్క కారణాంకం అయితే అది 11తో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది. 

ఉదా: 9721536

        9 + 2 + 5 + 6 = 7 + 1 + 3

        22 = 11 (11 యొక్క కారణాంకం)

మాదిరి ప్రశ్నలు

1. రెండు సంఖ్యల మొత్తం 33, వాటి మధ్య తేడా 15 అయితే అందులో చిన్నసంఖ్య ఎంత? 

    1) 9        2) 12        3) 15       4) 18 

జవాబు: 1

సాధన: రెండు సంఖ్యలు x, y అనుకుందాం. 

    దత్తాంశం ప్రకారం  

 

2.    రెండు సంఖ్యల మొత్తం 20. వాటి మధ్య వ్యత్యాసం 8 అయితే ఆ రెండు సంఖ్యల వర్గాల మధ్య వ్యత్యాసం ఎంత?

    1) 12        2) 28        3) 160        4) 180

జవాబు: 3

సాధన: రెండు సంఖ్యలు x, y అనుకుందాం. 

    దత్తాంశం ప్రకారం 

3.    రెండు సంఖ్యల మొత్తం 25, వాటి మధ్య తేడా 13. అయితే ఆ రెండు సంఖ్యల లబ్దం ఎంత?

    1) 104       2) 114       3) 315       4) 325

జవాబు: 2

సాధన: రెండు సంఖ్యలు x, y అనుకుందాం 

    దత్తాంశం ప్రకారం 

4.     587 x 999 = ............

    1) 586413    2) 587523   3) 614823  4) 615173

జవాబు: 1 

సాధన: 9లు ఎన్ని ఉంటే అన్ని సున్నాలు రాయాలి. అప్పుడు 

    

5. ఒక సంఖ్యను 15తో గుణించ‌గా వ‌చ్చే విలువ ఆ సంఖ్య కంటే 196 ఎక్కువ‌. అయితే ఆ సంఖ్య ఎంత‌?

    1) 14        2) 20        3) 26        4) 28

జవాబు: 1

సాధన: ఒక సంఖ్యను x అనుకుందాం. 

    దత్తాంశం ప్రకారం 

 
6.   481 * 673 అనే సంఖ్య 9తో నిశ్శేషంగా భాగించాలి అంటే * కనిష్ఠ విలువ ఎంత? 

         1) 2        2) 5        3) 6        4) 7 

జవాబు: 4

సాధన: 9తో భాగించబడాలి అంటే ఇచ్చిన సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం 9తో భాగించబడాలి.

    4 + 8 + 1 + x + 6 + 7 + 3 = 29 + x 

    36 - 29 = x
    x = 7

7.     937x8y7 ను 11తో నిశ్శేషంగా భాగించాలి అంటే x + y యొక్క గరిష్ఠ విలువ ఎంత? 

       1) 6       2) 28       3) 11       4) 17

జవాబు: 4 

సాధన: 11తో భాగించబడాలి అంటే ఒక సంఖ్యను వదిలి మరొక సంఖ్యను తీసుకోవాలి. 

937x8y7

    9 + 7 + 8 + 7 = 3 + x + y

    31 = 3 + x + y

    రెండింటి మధ్య తేడా ‘0’ లేదా 11 యొక్క గుణిజం.

    ఈ రెండింటి మధ్యలో తేడా 11 గుణిజం, x, y గరిష్ఠ అంకెలు అంటే 9 లేదా దానికంటే తక్కువ ఉంటాయి. 

    31 = 3 + 9 + 8

    31 = 20

    11 కాబట్టి x + y = 17 అవుతుంది  

8.    106 x 106 - 94 x 94 = ...........

       1) 2400        2) 2000       3) 1904       4) 1906

జవాబు: 1

సాధన:  (a + b)(a − b) = a2 − b2
           (106 + 94)(106 − 94) = 200 × 12
           = 2400

9.     (67⁶⁷ + 67) ను 68తో భాగిస్తే వచ్చే శేషం? 

        1) 1        2) 63        3) 66        4) 67

జవాబు: 3

సాధన: 67ను (68 - 1)గా రాస్తే 

       (68 - 1)⁶⁷ + 67  

       68⁶⁷  - (1)⁶⁷ + 67

      68⁶⁷అనేది 68తో నిశ్శేషంగా భాగించబడుతుంది. అప్పుడు మిగిలింది

      (- 1)⁶⁷ + 67 =  - 1 + 67

                 = 66 అవుతుంది. 

రచయిత: బిజ్జుల విష్ణువర్ధన్‌ రెడ్డి

మరిన్ని అంశాలు ... మీ కోసం!

‣  నిష్పత్తి - అనుపాతం

‣  వడ్డీలు

‣  శాతాలు

‣ ప్ర‌తిభ పేజీలు

‣ ప్ర‌తిభ ప్ర‌త్యేక పేజీలు - 2022

‣ ప్ర‌తిభ ప్ర‌త్యేక పేజీలు - 2015