• facebook
  • twitter
  • whatsapp
  • telegram

వాస్తవ సంఖ్యలు


 

2. p అనేది ఒక ప్రధాన సంఖ్య, a ఒక ధనపూర్ణ సంఖ్య అయితే, 'a2 ను p నిశ్శేషంగా భాగిస్తే a ను p నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది' అని నిరూపించండి.

నిరూపణ: 'a' అనేది ఒక ధన పూర్ణసంఖ్య అయితే 'a' యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధాన్ని కింది విధంగా రాయవచ్చు.

    a = p1p2 .... pn, ఇందులో p1, p2, p3, ..., pn లు ప్రధానాంకాలు. ఇవి వేర్వేరుగా ఉండనవసరం లేదు.

  ∴ a2 = (p1p2p3 ... pn)(p1p2p3 ... pn)

         = p12 p22p32...pn2 అవుతుంది.

అంకగణిత ప్రాథమిక సిద్ధాంతాన్ని అనుసరించి a2ను p నిశ్శేషంగా భాగిస్తే, a2 యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధం p1p2...pn అవుతుంది. కాబట్టి, p అనేది p1, p2, ......, pn లలో ఒకటిగా ఉంటుంది.

ఇప్పుడు p అనేది p1, p2,.... , pn లలో ఒకటిగా ఉండటంతో ఇది 'a'ను కూడా నిశ్శేషంగా భాగిస్తుంది.

రెండు మార్కుల ప్రశ్నలు

4. 12n అనే సంఖ్య 0 లేదా 5తో అంతమవుతుంది.  ఏ సహజసంఖ్య 'n' కైనా ఈ ప్రవచనం సత్యమా? ఎందుకు/ ఎందుకు కాదు?

సాధన: 12n = (22 × 3)n

            = 22n × 3n

 12n యొక్క ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధంలో ప్రధాన సంఖ్యలు 2, 3 మాత్రమే ఉన్నాయి.

 ఏ సంఖ్య అయినా 5 తో నిశ్శేషంగా భాగించబడాలంటే ఆ సంఖ్య చివర 0 లేదా 5 ఉండాలి. 12n ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధంలో ప్రధానసంఖ్య 5 లేని కారణంగా అది 5చే నిశ్శేషంగా భాగించబడదు.

... 'n' ఏ సహజసంఖ్య అయినా 12n అనే సంఖ్య '0'  లేదా '5'తో అంతం కాదు.

5. ఒక ద్రావణం యొక్క pH విలువను కనుక్కోవడానికి మనం pH = -log10[H+] అని వాడతాం. ఇందులో pH అనేది ద్రావణం యొక్క ఆమ్ల స్వభావాన్ని, H+ అనేది హైడ్రోజన్ అయాన్ గాఢతను తెలియజేస్తుంది.

శంకర్ అమ్మమ్మ వాడే లక్స్ సబ్బులో హైడ్రోజన్ అయాన్ గాఢత 9.2 × 10-12 అయితే దాని pH విలువ ఎంత?

సాధన: లక్స్ సబ్బులో హైడ్రోజన్ అయాన్ గాఢత 9.2 × 10-12

  pH = -log10[H+]

      = -log10 [9.2 × 10-12]

      = -[log10 9.2 + log1010-12]

      = -[0.9638 + (-12)] [ 

 Logarithm పట్టిక నుంచి log109.2 = 0.963]

      = -0.9638 + 12

      = 11.0362

7. శ్రియ 24 = 16, 42 = 16 అవుతుంది కాబట్టి m, n ఏ సహజసంఖ్యలైనా mn = nm అని చెప్పింది. మీరు అంగీకరిస్తారా?

సాధన: m = 2, n = 4 అయితే mn = 16 అవుతుంది. అలాగే nm = 16 అవుతుంది. కానీ ఇది ప్రతి సందర్భంలో నిజం కాదు.

ఉదాహరణకు m = 3, n = 2 అయితే mn = 32 = 9

nm = 23 = 8

కాబట్టి, mn = nm అని అనడం సరికాదు. (m, nలు సహజ సంఖ్యలు)

9. వాస్తవ సంఖ్యల వెన్ చిత్రాన్ని గీయండి.

N ⊂ W ⊂ Z ⊂  Q

Q ∪ Q' = R

10. 72, 108 యొక్క క.సా.గు., గ.సా.కా. లను ప్రధాన కారణాంకాల లబ్ధ పద్ధతిలో కనుక్కోండి. ఈ సంఖ్యల లబ్ధానికి క.సా.గు., గ.సా.కా. ల మధ్య సంబంధాన్ని తెలపండి.

సాధన: 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3  = 23 × 32

      108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 22 × 33

72, 108 ల క.సా.గు. = 23 × 33 = 8 × 27 = 216

72, 108 ల గ.సా.కా. = 22 × 32 = 4 × 9 = 36

క.సా.గు. × గ.సా.కా.  = 216 × 36 = 7776

        సంఖ్యల లబ్ధం  = 72 × 108 = 7776

ఒక మార్కు ప్రశ్నలు

13.   ను సంఖ్యారేఖ (నంబర్ లైన్) పై చూపండి.

సాధన: 0 <  <

సంఖ్యారేఖను 0, 1 మధ్యలో ఆరు భాగాలుగా రాస్తే

14. 3825ను ప్రధాన సంఖ్యల లబ్ధంగా రాయండి.

15. (17 × 11 × 2) + (17 × 11 × 5) ఒక సంయుక్త సంఖ్య అని ఎలా చూపగలరు? వివరించండి.

సాధన: (17 × 11 × 2) + (17 × 11 × 5)  = 17 × 11 × (2 + 5)

                                        = 17 × 11 × 7 (ప్రధాన సంఖ్యల లబ్ధం)

అంకగణిత ప్రాథమిక సిద్ధాంతం ప్రకారం ప్రతి సంయుక్త సంఖ్యను ప్రధానాంకాల లబ్ధంగా రాయవచ్చు. ప్రధాన కారణాంకాల క్రమం ఏదైనప్పటికీ ఈ కారణాంకాల లబ్ధం ఏకైకం.

∴ (17 × 11 × 2) + (17 × 11 × 5) ఒక సంయుక్త సంఖ్య.

16. 'ప్రతి అకరణీయ సంఖ్య అంతమయ్యే దశాంశం అవుతుంది' అనే ప్రవచనం సత్యమా? కాదా? వివరంగా తెలపండి.

సాధన: ప్రతి అకరణీయ సంఖ్య అంతమయ్యే దశాంశం అవ్వాల్సిన అవసరం లేదు. అంతం కాని ఆవర్తనం చెందే దశాంశాలను అకరణీయ సంఖ్యలుగా నిరూపించగలం.

ఉదాహరణకు  

 ఒక అకరణీయ సంఖ్య.

 =  ఇది అంతం కాని ఆవర్తనం చెందే దశాంశం.

18. కింది వాటిలో ఏవి అకరణీయ సంఖ్యలు?

    (i) 43.123456789  (ii) 0.120120012000120000...

సాధన: (i) 43.123456789 అంతం అయ్యే దశాంశం. ఈ సంఖ్యను

 రూపంలో రాయగలం.

(q  ≠  0, p, q ϵ Z)

 ∴ 43.123456789 ఒక అకరణీయ సంఖ్య.

(ii) 0.120120012000120000 ... అంతం కాని ఆవర్తనం చెందని దశాంశం.

దీన్ని   రూపంలో (q ≠ 0, p, q ϵ Z) రాయలేం.

కాబట్టి 0.120120012000120000... అకరణీయ సంఖ్య కాదు.

19. 64 = 82, 64 = 43 లను సంవర్గమాన రూపంలో రాయండి. దీని నుంచి మీరు ఏమి గ్రహించారు?

సాధన: (i) 64 = 82 యొక్క సంవర్గమాన రూపం log864 = 2

       (ii) 64 = 43 యొక్క సంవర్గమాన రూపం log464 = 3

8 భూమిగా ఉన్న 64 యొక్క సంవర్గమానం 2; 4 భూమిగా ఉన్న 64 యొక్క సంవర్గమానం 3. కాబట్టి, వేర్వేరు భూములు (ఆధారాలు) కలిగిన ఒక సంఖ్య యొక్క సంవర్గమానాలు విభిన్నంగా ఉంటాయి.


20. కింది వాటిని ఘాతాంక రూపాల్లో రాయండి.

    (i) log22 = 1 (ii) log55 = 1 వీటి నుంచి మీరు ఏమి గ్రహించారు?

సాధన: (i) log22 = 1 యొక్క ఘాతాంక రూపం 21 = 2

       (ii) log55 = 1 యొక్క ఘాతాంక రూపం 51 = 5

      ఘాతాంక రూపంలో సాధారణంగా, ఏ భూమి 'a' కైనా a1 = a అవుతుంది.

       కాబట్టి, logaa = 1 అవుతుంది.


21. loga1 = 0 అని ఎలా నిరూపించగలరు?

సాధన: సాధారణంగా ఏ భూమి 'a' కైనా aºº = 1

       దీన్ని సంవర్గమాన రూపంలో రాస్తే loga1 = 0

24. 'రెండు కరణీయ సంఖ్యల మొత్తం ఎల్లప్పుడూ కరణీయ సంఖ్య కాకపోవచ్చు' ఈ ప్రవచనం సరైందా? తెలపండి.

సాధన: రెండు కరణీయ సంఖ్యలు లను తీసుకుంటే,

వీటి మొత్తం = 

           = 4 ఒక అకరణీయ సంఖ్య

∴ రెండు కరణీయ సంఖ్యల మొత్తం ఎల్లప్పుడూ కరణీయ సంఖ్య కాకపోవచ్చు.

25. 'రెండు కరణీయ సంఖ్యల లబ్ధం ఎప్పుడూ కరణీయ సంఖ్య కాకపోవచ్చు'. వివరించండి.

సాధన: రెండు కరణీయ సంఖ్యలు లను తీసుకుంటే వీటి లబ్ధం  =   = ±±9 ఒక అకరణీయ సంఖ్య

∴ రెండు కరణీయ సంఖ్యల లబ్ధం ఎల్లప్పుడూ కరణీయ సంఖ్య కాకపోవచ్చు.


26. సంవర్గమాన రెండో న్యాయాన్ని రాయండి.

సాధన: a > 0, a  ≠  1 అయితే, 

27. సంవర్గమాన న్యాయాల వల్ల లాభాలు ఏమిటి?

సాధన: సంవర్గమానాలను అన్ని రకాల గణన ప్రక్రియల్లో ముఖ్యంగా ఇంజినీరింగ్, సైన్స్, వ్యాపారం, అర్థశాస్త్రాల్లో విరివిగా వినియోగిస్తారు. చక్రవడ్డీని గణించడానికి, ఘాతాల్లో ఉండే వృద్ధిరేటును, క్షీణతను తెలుసుకోవడానికి; రసాయనశాస్త్రంలో pH విలువ కనుక్కోవడానికి, భూకంపాల తీవ్రతను లెక్కించడానికి వాడతారు. సంవర్గమాన న్యాయాలు గణన ప్రక్రియలను సులభం చేస్తాయి.

Posted Date : 15-12-2021

గమనిక : ప్రతిభ.ఈనాడు.నెట్‌లో కనిపించే వ్యాపార ప్రకటనలు వివిధ దేశాల్లోని వ్యాపారులు, సంస్థల నుంచి వస్తాయి. మరి కొన్ని ప్రకటనలు పాఠకుల అభిరుచి మేరకు కృత్రిమ మేధస్సు సాంకేతికత సాయంతో ప్రదర్శితమవుతుంటాయి. ఆ ప్రకటనల్లోని ఉత్పత్తులను లేదా సేవలను పాఠకులు స్వయంగా విచారించుకొని, జాగ్రత్తగా పరిశీలించి కొనుక్కోవాలి లేదా వినియోగించుకోవాలి. వాటి నాణ్యత లేదా లోపాలతో ఈనాడు యాజమాన్యానికి ఎలాంటి సంబంధం లేదు. ఈ విషయంలో ఉత్తర ప్రత్యుత్తరాలకు, ఈ-మెయిల్స్ కి, ఇంకా ఇతర రూపాల్లో సమాచార మార్పిడికి తావు లేదు. ఫిర్యాదులు స్వీకరించడం కుదరదు. పాఠకులు గమనించి, సహకరించాలని మనవి.

ప్రత్యేక కథనాలు

మరిన్ని
 
 

విద్యా ఉద్యోగ సమాచారం