* ax + b = c రూపంలో ఉండే సమీకరణాలను రేఖీయ సమీకరణాలు అంటారు. వీటి పరిమాణం 1.
* a, b, c  R, a ≠ 0 అవుతూ ax² + bx + c = 0 రూపంలో ఉండే సమీకరణాన్ని'x' లో వర్గ సమీకరణం అంటారు. దీని  పరిమాణం '2'. దీనికి 2 మూలాలు ఉంటాయి.
* ax + b = c రూపంలో ఉండే రేఖీయ సమీకరణాలను సాధించి x విలువ కనుక్కోవచ్చు
     ax + b = c ⇒ ax = c - b
     
ఈ సమీకరణంలో x పరిమాణం = 1. దీనికి ఒకే ఒక సాధన ఉంటుంది.
వర్గ సమీకరణానికి ఉదాహరణలు:
1) x² - 7x + 12 = 0
2) x² + x - 30 = 0
3) 4x² + 68x - 111 = 0
4) 2x² -  x + 1 = 0

వర్గ సమీకరణం కాని వాటికి ఉదాహరణలు:

* p(x) ఒక ద్విపరిమాణ బహుపది అయితే p(x) = 0 రూపంలో ఉండే సమీకరణాన్ని వర్గ సమీకరణం అంటారు.
* p(x) ను వర్గ సమానం అంటారు.
* p(x) లోని పదాలను వాటి పరిమాణాల ఆధారంగా అవరోహణ క్రమంలో రాస్తే, p(x) = 0 వర్గ సమీకరణం ప్రామాణిక రూపంలో ఉంది అంటారు.
ఉదా: x + 3x² -1 = 0 ను 3x² + x -1 = 0 గా రాయడం.
          y = ax² + bx + c ను వర్గ ప్రమేయం అంటారు.

వర్గ సమీకరణాలు/ ప్రమేయాలు ఉపయోగాలు:
1) విమానం/ రైలు/ బస్సు వేగం పెంచినప్పుడు/ తగ్గించినప్పుడు అది పోయే దూరాన్ని, మామూలు సమయంలో దాని వేగాన్ని కనుక్కోవడానికి.
2) వస్తువును అమ్మినప్పుడు వచ్చే లాభం/ నష్టం బట్టి దాని లాభ/ నష్ట శాతం కనుక్కోవడానికి.
3) వాహనానికి బ్రేకులు వేసినప్పుడు అది ఆగే దూరాన్ని గణించడానికి.
4) ప్రయోగించిన రాకెట్ మార్గాలు, ఎత్తులు (ఒక వర్గ సమీకరణం/ ప్రమేయంతో నిర్వచితమై) కనుక్కోవడంలో ఉపయోగపడతాయి.
 

ఉదా: ఒక రైలు వేగాన్ని 10 కి.మీ. /గంట పెంచితే 360 కి. మీ. దూరం ప్రయాణించడానికి 3 గంటల తక్కువ సమయం పడుతుంది. రైలు వాస్తవ వేగం ఎంత?
సాధన:
రైలు వాస్తవ వేగం = x కి. మీ./గంట అనుకుందాం.

⇒ x(x + 10) = 1200
⇒ x² + 10x - 1200 = 0
⇒ x² + 40x - 30x - 1200 = 0
⇒ x(x + 40) - 30(x + 40) = 0
⇒ (x + 40)(x - 30) = 0
⇒ x - 30 = 0 లేదా x + 40 = 0
x = 30 కి. మీ/ గంట,  x = -40 (వేగం రుణాత్మకం కాదు)
∴ రైలు వాస్తవ వేగం = 30 కి. మీ./గంట.

కారణాంక పద్ధతిలో వర్గ సమీకరణాన్ని సాధించడం:
ఉదా: 2x²- 5x - 3 = 0 ను x = 2, x = 3, x = , x = -

 లలో ఏవి తృప్తిపరుస్తాయో కనుక్కోండి.
సాధన: x = 2 ⇒ 2(2)² -5(2) - 3 = 8 - 10 - 3 = -5 ≠ 0
        x = 3 ⇒ 2(3)² -5(3) - 3 = 18 -15 - 3 = 18 -18 = 0

కాబట్టి పై వర్గ సమీకరణానికి మూలాలు (సాధనలు) x = 3, x =  .
x = 3, x =

  లు 2x² - 5x- 3 = 0 అనే వర్గ బహుపదికి శూన్య విలువలు కూడా అవుతాయి.
అంటే ax² + bx + c వర్గ బహుపది శూన్య విలువలు, ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాలు ఒకటే అని తెలుస్తోంది.
వర్గ సమీకణానికి ఉండే మూలాల సంఖ్య = 2.
 

వర్గ బహుపదిలోని మధ్య పదాన్ని విడగొట్టడం ద్వారా దాని కారణాంకాలను కనుక్కోవచ్చు.
ax² + bx + c ను (px + q), (rx + s) అనే రెండు రేఖీయ సమాసాల లబ్ధంగా రాయవచ్చు.
(p, q, r, s ∈ R & p ≠ 0, r ≠ 0)
ax² + bx + c = 0 ⇒ (px + q)(rx + s) = 0
            px + q = 0 లేదా rx + s = 0
        
 

ఉదా:  6x² + 11x + 3 = 0  ను కారణాంక పద్ధతిలో సాధించండి.
సాధన: ax² + bx + c వర్గ బహుపదిలోని మధ్య పదాన్ని విడగొట్టడానికి p + q = b, p × q = a × c అయ్యే విధంగా p, q అనే రెండు సంఖ్యలు కావాలి.
6x² + 11x + 3 = 0 లో p + q = b = 11, p × q = 6 × 3 = 18
దీని కోసం 18 యొక్క కారణాంక జతల జాబితాను తయారు చేయాలి.
అవి (1, 18), (2, 9), (3, 6), (-1, -18), (-2, -9), (-3, -6).
వీటిలో (2, 9) p + q = 11, p × q = 18 నియమాలను తృప్తిపరుస్తుంది.
కాబట్టి 11x ను 2x + 9x గా రాయవచ్చు.
6x² + 11x + 3 = 6x² + 2x + 9x + 3
                = 2x(3x + 1) + 3(3x + 1)
                = (2x + 3)(3x + 1)
అంటే 6x² + 11x + 3 = 0 ను (2x + 3)(3x + 1) = 0 గా రాయవచ్చు.
∴ 2x + 3 = 0         లేదా    3x + 1 = 0
⇒   2x = −3       ⇒    3x = −1
 ⇒    x =       ⇒   x = 

∴  x =  , x =  లు ఇచ్చిన వర్గ సమీకరణం యొక్క సాధనలు (లేదా)
,  లు 6x² + 11x + 3 = 0 యొక్క మూలాలు.

వర్గాన్ని పూర్తిచేయడం ద్వారా వర్గ సమీకరణాన్ని సాధించడం:
కొన్ని వర్గ సమీకరణాలను కారణాంక పద్ధతిలో సాధించలేం. అలాంటి సమీకరణాలను కచ్చిత వర్గరూపంలోకి మార్చి సాధించవచ్చు.
ఉదా: x² + 6x + 6 = 0
⇒    x² + 6x = −6
రెండువైపులా '9 ను కలిపితే
x² + 6x + 9 = −6 + 9
(x + 3)² = 3
రెండువైపులా వర్గమూలం తీసుకుంటే
x + 3 = ±  
x = −3 ± 
∴ x = −3 +  లేదా x = −3 −  సాధన అవుతుంది.

ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణాన్ని సాధించడంలోని సోపానాలు:
(i) సమీకరణాన్ని రెండువైపులా 'a' తో భాగించాలి.
(ii) స్థిరపదం  ను కుడివైపు తీసుకోవాలి.
(iii) ఎడమ భాగం కచ్చిత వర్గం అయ్యేందుకు సమీకరణానికి రెండువైపులా  
(iv) ఎడమ భాగాన్ని వర్గంగా రాసి, కుడి భాగాన్ని సూక్ష్మీకరించాలి.
(v) సాధించాలి.

ఉదా: 5x² - 7x - 6 = 0ను వర్గం పూర్తిచేయడం ద్వారా సాధించండి.

పై పద్దతిని ప్రామాణిక వర్గ సమీకరణం ax² + bx + c = o కు అనువర్తింపజేసి సాధిద్దాం.
వర్గ సమీకరణం ax² + bx + c = o; a, b, c ∊ R & a ≠ 0
     ax² + bx = - c

 

వివిధ సందర్భాల్లో ఒక వర్గ సమీకరణానికి గీసిన గ్రాఫ్ ఎలా ఉంటుందో చూద్దాం...
(i) b² - 4ac > 0 అయితే రెండు మూలాలు వేర్వేరుగా ఉంటాయి. గ్రాఫ్‌లో వక్రం X - అక్షాన్ని రెండు వేర్వేరు బిందువుల వద్ద ఖండించడం చూడవచ్చు.

(ii) b² - 4ac = 0 అయితే మూలాలు సమానం. గ్రాఫ్‌లో వక్రం X - అక్షాన్ని ఒకే బిందువు వద్ద తాకుతుంది.

(iii) b² - 4ac < 0 అయితే మూలాలు వాస్తవ సంఖ్యలు కావు. సంకీర్ణ సంఖ్యలు అవుతాయి. గ్రాఫ్‌లో వక్రం X - అక్షాన్ని తాకదు.

కాబట్టి b² - 4ac ను విచక్షణి (మూలాల స్వభావాన్ని కనుక్కోవడానికి) అంటారు. 

ఉదా: 4x² + 3x + 5 = 0 వర్గ సమీకరణ మూలాల స్వభావం కనుక్కోండి.
సాధన: b² − 4ac = (3)² − 4(4)(5)
                      = 9 - 80
                      = −71 < 0
∴ మూలాలు వాస్తవాలు కావు.

ఉదా: 2x² - 6x + 3 = 0 యొక్క విచక్షణి కనుక్కోండి.
సాధన: b² − 4ac = (-6)² − 4(2)(3)
                       = 36 - 24  
                       = 12

పి.వేణుగోపాల్