ముఖ్యమైన ప్రశ్నలు

1. .............. అంకశ్రేఢి అయితే సామాన్య భేదం, శ్రేఢిలో తర్వాత వచ్చే 3 పదాలను కనుక్కోండి.

2. ఒక అంకశ్రేఢిలో 3వ, 9వ పదాలు వరుసగా 4, -8 అయితే ఎన్నో పదం '0' అవుతుంది?

సాధన: అంకశ్రేఢిలో 3వ పదం a₃ = a + 2d = 4 ........... (1)

             9వ పదం  a₉ = a + 8d = -8  ...................  (2)

d విలువను (1)లో ప్రతిక్షేపిస్తే

a + 2(2) = 4   a = 8

n వ పదం 0 అవుతుంది అనుకుంటే

a_n = 0

a_n = a + (n - 1)d

0 = 8 + (n - 1)(-2)

0 = 8 - 2n + 2

0 = 10 - 2n

  2n = 10

∴ 5వ పదం 'సున్న' అవుతుంది.

3. ఒక అంకశ్రేఢిలో 4వ, 8వ పదాల మొత్తం 24; 6వ, 10వ పదాల మొత్తం 44 అయితే మొదటి మూడు పదాలను కనుక్కోండి.

సాధన: అంకశ్రేఢిలో 4వ పదం a₄ = a + 3d

                          8వ పదం a₈ = a + 7d

  లెక్క ప్రకారం a₄ + a₈ = 24

 (a + 3d) + (a + 7d) = 24

⇒ 2a + 10d = 24

⇒ 2(a + 5d) = 24
⇒  a + 5d =   = 12

    a + 5d = 12 .......... (1)

దత్తాంశం నుంచి 6వ పదం a₆ = a + 5d

                                 a₁₀ = a + 9d

                         a₆ + a₁₀ = 44

⇒  (a + 5d) + (a + 9d) = 44

⇒ 2a + 14d = 44

⇒ 2(a + 7d) = 44
⇒ a + 7d =   = 22 ..................(2)

(1), (2) నుంచి a + 7d = 22

                a + 5d = 12
              ___________
                      2d = 10

(1) నుంచి a + 5(5) = 12

a = 12 - 25 = - 13

అంకశ్రేఢిలో మొదటి మూడు పదాలు:

మొదటి పదం a₁ = a = - 13

a₂ = a + d = -13 + 5 = -8

a₃ = a + 2d = -13 + 2(5) = -3

4. ఒక పాఠశాలలో విద్యా సంబంధిత విషయాల్లో అత్యున్నత ప్రతిభ కనబరిచిన వారికి మొత్తం 700 రూపాయలకు 7 బహుమతులు ఇవ్వాలని భావించారు. ప్రతి బహుమతి విలువ దాని ముందున్న దానికంటే రూ.20 తక్కువ అయితే ప్రతి బహుమతి విలువను కనుక్కోండి.

సాధన: ప్రతిభ కనబరిచిన వారికి ఇచ్చే 7 బహుమతులను a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇ అనుకుందాం.

 ప్రతి బహుమతి, దాని ముందు బహుమతి కంటే రూ.20 తక్కువ.

 పదాంతరం సమానం కాబట్టి a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇ అంకశ్రేఢిలో ఉంటాయి.

∴ సామాన్య భేదం (d) = a₂ - a₁ = -20

     (మొదటి బహుమతి కంటే రెండో బహుమతి రూ.20 తక్కువ)
     దత్తాంశం నుంచి బహుమతుల మొత్తం S₇ = 700
     S_n =   [2a + (n - 1)d]
 n = 7, a = a1, d = -20, S₇ = 700
       [2a + (7 - 1)d - 20] = 700
 ⇒  [2a - 120] = 700
⇒  2a - 120 = 700 ×  = 200
⇒  2a = 200 + 120 = 320
⇒  a =

 = 160
      a₁ = 160
 a₂ = 160 - 20 = 140
 అదేవిధంగా a₇ = 60 - 20 = 40
బహుమతుల విలువలు వరుసగా రూ.160, రూ.140, రూ.120, రూ.100, రూ.80, రూ.60, రూ.40

5.  ......... గుణశ్రేఢిలో ఎన్నో పదం 729 అవుతుంది?
సాధన: .......... అనేది గుణశ్రేఢి.
    
  729 అనేది nవ పదం అనుకుందాం.
  a_n = a . r^{n - 1} = 729

⇒ n = 6 × 2 = 12
 ........ గుణశ్రేఢిలో 12వ పదం 729 అవుతుంది.

2 మార్కుల ప్రశ్న జవాబులు

1. - 1, - 3, - 5, ........ అంకశ్రేఢి అవుతుందా?
సాధన:
    d = a₂ - a₁ = -1 - 1 = -2
   d = a₃ - a₂ = -3 - (-1) = -2
   d = a₄ - a₃ = -5 - (-3) = -2
సామాన్య భేదం సమానంగా ఉంది కాబట్టి దత్త శ్రేఢి అంకశ్రేఢి అవుతుంది.

3. అంకశ్రేఢిలో మొదటి పదం 'a', సామాన్య భేదం 'd' విలువలను ఇచ్చినప్పుడు మొదటి 3 పదాలను కనుక్కోండి.

సాధన: i) a = 10, d = -2
a = a₁ = 10
a₂ = a₁ + d = 10 + (-2) = 8
a₃ = a₁ + 2d = 10 + 2(-2) = 10 - 4 = 6
ii) a = -1.25, d = -0.25
 మొదటి పదం a₁ = a = -1.25
 రెండో పదం a₂ = a + d = -1.25 + (-0.25) = -1.5
 మూడో పదం a₃ = a + 2d = -1.25 + 2(-0.25) = -1.25 + (- 0.5) = - 1.75

4. 5, 1, - 3, - 7, ....... అంకశ్రేఢిలో 10వ పదాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన: a = 5, d = a₂ - a₁ = 1 - 5 = -4
 n = 10
nవ పదం t_n = a + (n - 1)d 
              = 5 + (10 - 1)(-4) = 5 + 9(-4) = 5 - 36 = -31

5. 3తో భాగించబడే రెండంకెల సంఖ్యలు ఎన్ని?

సాధన: 3తో భాగించబడే రెండంకెల సంఖ్యలు: 12, 15, 18, 21, ........ 99
 ఈ సంఖ్యలు అంకశ్రేఢిలో ఉన్నాయి.
  a = 12, d = 3 (3 యొక్క గుణిజాలు కాబట్టి)
  a = 12, d = a2 - a1 = 15 - 12 = 3
  a_n = 99
   a_n = a + (n - 1)d = 99
⇒ 99 = 12 + (n - 1)3
⇒ 99 = 12 + 3n - 3
⇒ 99 = 9 + 3n
⇒ 3n = 99 - 9 = 90
⇒ n =  = 30
∴ 3తో భాగించబడే రెండంకెల సంఖ్యలు 30 ఉంటాయి.

6. 3వ పదం 5, 7వ పదం 9గా ఉండేలా ఒక అంకశ్రేఢిని కనుక్కోండి.

సాధన: a₃ = a + (3 - 1)d = a + 2d = 5    (1)
           a₇ = a + (7 - 1)d = a + 6d = 9     (2)
                         _____________
                         (1) - (2) = -4d = -4

a = 5 - 2d = 5 - 2(1) = 5 - 2 = 3
∴ కావాల్సిన అంకశ్రేఢి: 3, 4, 5, 6, 7, .......

7. 11, 8, 5, 2, ...... అంకశ్రేఢిలో -150 ఒక పదంగా ఉంటుందో లేదో పరిశీలించండి.

సాధన: ఇచ్చిన శ్రేఢి 11, 8, 5, 2, ........ లో nవ పదం - 150 అనుకుందాం.
     a_n = -150
    శ్రేఢి నుంచి a = 11, d = a₂ - a₁ = 5 - 8 = -3
     a_n = a + (n - 1)d
⇒   -150 = 11 + (n - 1)(-3)
⇒   -150 = 11 - 3n + 3
⇒   -150 = 14 - 3n
⇒   3n = 14 + 150 = 164

శ్రేఢిలో పదాల సంఖ్య (n) తప్పనిసరిగా సహజసంఖ్య కావాలి.
కాబట్టి ఇచ్చిన అంకశ్రేఢిలో -150 ఒక పదంగా ఉండదు.

8. 16, 11, 6, ....... అంకశ్రేఢిలో 23 పదాల మొత్తం ఎంత?

సాధన: శ్రేఢిలో a₁ = 16, d = a₂ - a₁ = 11 - 16 = -5
   n = 23

9. a = 256, r = -  అయితే గుణశ్రేఢిని రాయండి.

సాధన: గుణశ్రేఢి సాధారణ రూపం: a, ar, ar², ar³, .......

  256, - 128, 64, - 32, ........
 

10.  ........ గుణశ్రేఢి అవుతుందో లేదో పరీక్షించి చెప్పండి.

సాధన:  a₁, a₂, a₃, ......... a_n,....... గుణశ్రేఢి కావాలంటే a₁, a₂, a₃, ......... a_n శూన్యేతరం కావాలి.

     
11. 30 మెట్లు గల ఒక మెట్ల వంతెనలో అన్నిటికంటే కింద ఉన్నమెట్టు నిర్మాణానికి 100 ఇటుకలు అవసరం. అక్కడి నుంచి ప్రతి పైమెట్టు నిర్మాణానికి కింది మెట్టు నిర్మాణానికి కావాల్సిన ఇటుకల కంటే 2 తక్కువ అవసరం అవుతాయి. ప్రతి మెట్టు నిర్మాణానికి అవసరమయ్యే ఇటుకల సంఖ్యా జాబితా గుణశ్రేఢిని ఏర్పరుచునా?

సాధన: కింది మెట్టు నిర్మాణానికి కావాల్సిన ఇటుకల సంఖ్య = 100

ప్రతి పైమెట్టు నిర్మాణానికి 2 ఇటుకల చొప్పున తగ్గుతున్నాయి.

మెట్ల నిర్మాణానికి అవసరమయ్యే ఇటుకల సంఖ్య వరుసగా 100, 98, 96, 94, ........ (30 పదాలు)

    
సామాన్య నిష్పత్తి సమానం కాదు. కాబట్టి మెట్ల నిర్మాణానికి అవసరమయ్యే ఇటుకల సంఖ్యా జాబితా గుణశ్రేఢి కాదు.

12. 0.4, 0.04, 0.004, ....... గుణశ్రేఢిలో తర్వాత వచ్చే 3 పదాలను రాయండి.

సాధన:
    
కాబట్టి ఇచ్చిన శ్రేఢి గుణశ్రేఢి అవుతుంది.
ఈ శ్రేఢిలో తర్వాత మూడు పదాలు:

ఒక మార్కు ప్రశ్నజవాబులు

1. 100, 70, 40, 10 .......... జాబితా ఒక అంకశ్రేడి అవుతుందా? ఎందుకు?

జ: d = a₂ - a₁ = 70 - 100 = -30

     d = a₃ - a₂ = 40 - 70 = -30

     పదాంతరం సమానం కాబట్టి అంకశ్రేఢి అవుతుంది.

2. పదాంతరం ఏ సంఖ్యగా ఉండాలి?

జ: పదాంతరం ధన సంఖ్య, రుణ సంఖ్య లేదా సున్నా అయినా కావచ్చు.

3. అంకశ్రేఢి సామాన్య రూపం రాయండి.

జ: a, a + d, a + 2d, a + 3d, .........

4. -1, -1.5, -2, -2.5, ........... అంకశ్రేఢిలో పదాంతరం, మొదటి పదం తెలపండి.

జ: d = -1.5 - (-1) = - 1.5 + 1

         = - 0.5

      a = 1

5. 4, x, 10 అంకశ్రేఢిలో ఉంటే x విలువ ఎంత?
జ: a₂ - a₁ = a₃ - a₂
      x - 4 = 10 - x
⇒  2x = 10 + 4 = 14

6. 6, 9, 12, 15, ......... అనేది ఒక-
జ: అనంత అంకశ్రేఢి

7. a = 6, d = -6 అయితే రెండో పదం ఎంత?
జ: a₂ = a + d
    = 6 + (-6) = 0
 

8. 3, 3, 3, ........ ఒక
జ: అంకశ్రేఢి, గుణశ్రేఢి
 

9. మొదటి పదం 'a' , సామాన్య భేదం 'd' అయితే సాధారణ పదం ఎంత?
జ: an = a + (n - 1)d
 

10. సంఖ్యల మొత్తం కనుక్కోవడానికి ఏ శాస్త్రవేత్త విధానాన్ని తీసుకుంటాం?
జ: జర్మన్ గణిత శాస్త్రవేత్త కార్ల్ ఫ్రెడరిక్ గౌస్

11. a, d, n విలువలు తెలిస్తే Sn విలువ ఎంత?
జ:  S_n =  [2a + (n - 1)d]

12. మొదటి 1000 ధనపూర్ణ సంఖ్యల మొత్తం ఎంత?
జ: S_n =  [a + l]
           =  [1 + 1000]
           = 500 × 1001
           = 500500

13. జాబితాలో ప్రతి పదాన్ని, దాని ముందున్న స్థిర సంఖ్యతో గుణించడం వల్ల వచ్చేది-
జ: గుణశ్రేఢి

14. గుణశ్రేఢి సాధారణ రూపం-
జ: a, ar, ar², ar³, ........ ar^n-1, .......

15. 25, - 5, 1,  లో సామాన్య నిష్పత్తి-

16.

 గుణశ్రేఢి అవుతుందా?

17. మొదటి పదం a, సామాన్య నిష్పత్తి 'r' అయితే mవ పదం ఎంత?
జ: a^m = ar^{m - 1}

రచయిత: సి.హెచ్.నాగేశ్వరరావు