ప్రకృతిలో కొన్నిరకాల పూల రెక్కలు, మొక్కజొన్న కంకిలో గింజల అమరిక, పైనాపిల్ మీద సర్పిలాకారాలు మనం చూస్తూనే ఉంటాం. సహజ సిద్ధమైన ఈ అమరిక పునరావృతం అవుతుంది. కానీ పురోగమించే విధంగా ఉండదు. పొద్దుతిరుగుడు పువ్వులో ఒకే రకమైన రెక్కలు ఒకే దూరంలో పెరుగుతాయి. ఇలాంటి నిర్దిష్టమైన అమరికలను గమనిస్తూనే ఉంటాం. నిత్యజీవితంలో చూస్తూ ఉంటాం. కింది జాబితాలను గమనించండి.
i) 1, 2, 3, 4, 5, 6, ....
ii) 2, 4, 6, 8, .....
iii) 8000, 8500, 9000, .......
iv) 45, 43, 41, 39, .......
ప్రతి అమరికలో పదాల మధ్య సంబంధం కనిపిస్తుంది. గమనించారా? పై అమరికల్లో సంఖ్యలు క్రమంగా, స్థిరంగా పురోగమిస్తున్నాయి.
ఎ) ఒక తోటలో మొదటి వరసలో 43 మొక్కలు, తర్వాత వరుసలో 40 మొక్కలు, తర్వాత 37 .... ప్రతి వరుసకు 3 చొప్పున తగ్గుతూ (స్థిరంగా) ఉన్నాయి. తోటలో మొక్కలను వేగంగా కనుక్కోవడానికి శ్రేఢులు అవసరం.
బి) టాక్సీలో మొదట 20 రూపాయలు, ప్రతి గంటకు 8 రూపాయల చొప్పున చెల్లించాల్సి వస్తే, 10 గంటలకు మొత్తం చెల్లించాల్సిన సొమ్ము ఎంత?
సి) బావిని తవ్వడానికి మొదటి మీటరుకు 150 రూపాయల వంతున, ఆపై ప్రతి మీటరుకు 50 రూపాయల వంతున చెల్లించినా 20 మీటర్లు తవ్వడానికి ఎంత ఖర్చు అవుతుంది?
పై మూడు సందర్భాల్లోనూ జాబితాను రాస్తే నిర్దిష్టక్రమంలో పదాలు కనిపిస్తాయి.
పై సందర్భాల్లో ప్రతి పదానికి స్థిరమైన బేధం ఉంది. దీన్ని అంక శ్రేఢిగా రాయవచ్చు.
పై సమస్యల సాధనకు అంకశ్రేఢి ఉపయుక్తంగా ఉంటుంది.

అంకశ్రేఢి (అనువర్తనలు)
* సహజ సంఖ్యల మొత్తం కనుక్కోవడానికి.....
* కొన్ని సంవత్సరాలుగా స్థిరమైన పెరుగుదలతో ఉండే వేతనాల మొత్తం తెలుసుకోవడానికి....
* బ్యాంకు నుంచి బారువడ్డీతో వచ్చే సొమ్మును లెక్కగట్టడానికి....
* స్థిరమైన బేధంతో ఉన్న ఏ జాబితానైన లెక్కించడానికి ....
  ఇంకా నిత్యజీవితంలో ఏయే సందర్భాల్లో అంకశ్రేఢి ఉపయోగించవచ్చు? ఆలోచించండి.

గుణశ్రేఢి

    పర్షియా దేశరాజు చదరంగం కనిపెట్టిన వ్యక్తి ప్రతిభను గుర్తించి, బహుమతిగా ఏం కావాలో కోరుకోమని అడిగాడు. అతడు చదరంగంలో బల్లమీద 1వ గడిలో ఒక గోధుమ గింజ, 2వ గడిలో 2 గింజలు, 3వ గడిలో 4 గింజలు, 4వ గడిలో 8 గింజలు ... ఇలా ప్రతి గడికి దాని ముందున్న దానికి రెట్టింపు గింజలు పెడుతూ చదరంగం అన్ని గళ్లను నింపి ఇవ్వమన్నాడు రాజుగారితో. ఇది చూడటానికి స్వల్పంగా అనిపించినా వాస్తవానికి చాలా పెద్దమొత్తం అవుతుంది. కావాల్సిన గోధుమలు (263) రాజుగారు ఇవ్వాలంటే దేశం మొత్తం మీద పరిస్తే 7 సెం.మీ. ఎత్తున ఉంటుంది.
    పై సందర్భంలో తెలిసేదేమిటంటే ప్రతి సంఖ్య, ఒక స్థిరమైన సంఖ్యతో గుణించబడుతుంది దీని సాధనకు గుణశ్రేఢి అవసరం.
* ఒక వ్యక్తి నలుగురు స్నేహితులకు ఎస్ఎమ్ఎస్ పెడితే, ఆ నలుగురు ఒక్కొక్కరు మరో నలుగురికి ఎస్ఎమ్ఎస్ చేయాలి. ఇలా చేస్తే 12వ సెట్ (స్థాయి) వచ్చేసరికి ఎంతమందికి సమాచారం చేరుతుంది?
* ఒక బ్యాక్టీరియమ్ ప్రతి గంటకు 3 రెట్లు పెరుగుతుంది. అయితే 10 గంటలు గడిచేసరికి ఎన్ని బ్యాక్టీరియాలు ఉత్పత్తి అవుతాయి?
* బ్యాంక్‌లో తీసుకున్న (లేదా చేసిన పొదుపు) సొమ్ముకు చక్రవడ్డీలో 6 సంవత్సరాల్లో చెల్లించాల్సిన (వచ్చే) మొత్తాన్ని కనుక్కోండి.
వీటి మొత్తాన్ని సులభంగా/వేగంగా సాధించడానికి గుణశ్రేఢి మొత్తం సూత్రం ద్వారా కనుక్కోవచ్చు.
ఆలోచించండి : మనం నిత్యజీవితంలో ఏయే సందర్భాల్లో గుణశ్రేఢి మొత్తం, అనువర్తనాలను ఉపయోగించడానికి వీలవుతుంది? గమనించండి.

ఇవి చేయండి
1. 2, 4, 6,... పరిమితి అంకశ్రేఢి అవుతుందా?
2. x + y, x - y, x - 3y అంకశ్రేఢి అయితే తర్వాత 3 పదాలను కనుక్కోండి.
3. a =   d = 2 అయితే a₇, a_n?
4. అంకశ్రేఢిలో  అయితే 17వ పదాన్ని కనుక్కోండి.
5. K + 2, 4K - 6, 3K - 2 అంకశ్రేఢిలోని వరుస పదాలైతే K ఎంత?
6. 10, 8, 6... అంకశ్రేఢిలో ఎన్నో పదం 28 అవుతుంది?
7. 1, 100 మధ్య ఉండే సహజ సంఖ్యల్లో 3 గుణిజాల మొత్తాన్ని కనుక్కోండి.
8. - 0.5, - 1.0, - 1.5, ... 10 పదాల మొత్తం కనుక్కోండి.
9. - 3, 1,  ... గుణశ్రేఢిలో ఉంటే తర్వాత ఉండే 3 పదాలు రాయండి.
10.  ... గుణశ్రేఢిలో ఉందని చూపండి.
11.

 వరుస సంఖ్యలు గుణశ్రేఢిలో ఉండే x  విలువ ఎంత?
12. 2, , 4... గుణశ్రేఢిలో ఉంటే 64 ఎన్నో పదం అవుతుంది?
13. గుణశ్రేఢిలో   అయితే 9వ పదం?
14. 5, 0.5, 0.05,... లో సామాన్య నిష్పత్తి (గుణశ్రేఢి)
15. a, b, c గుణశ్రేఢిలో ఉన్న b = ..........

ప్రయత్నించండి
1. గుణశ్రేఢిలో 8వ పదం 192, సామాన్య నిష్పత్తి 2 అయితే 12వ పదాన్ని కనుక్కోగలరా?
2. గుణశ్రేఢిలో మొదటి పదం 'b', సామాన్య నిష్పత్తి 'r' లు వర్గం చేయగా ఏర్పడిన శ్రేఢి గుణశ్రేఢి అవుతుందా? అయితే సామాన్య నిష్పత్తిని కనుక్కోండి.
3. గుణశ్రేఢిలో 6, 13వ పదాలు వరుసగా 24,  అయితే 24వ పదాన్ని కనుక్కోండి.
4. అంకశ్రేఢిలో 7వ పదానికి 7 రెట్లు, 11వ పదానికి 11 రెట్లు సమానమైతే 18వ పదం '0' అని చూపండి.
5. అంకశ్రేఢిలో 9వ పదం -6, పదాంతరం

 అయితే 25వ పదం ఎంత?
6. (a - 1) + (a - 2) + (a - 3),... శ్రేఢి యొక్క n పదాల మొత్తం?
7. 1 + x, 6, 9 లు గుణశ్రేఢిలో ఉన్న x విలువను కనుక్కోండి.
8. అంకశ్రేఢిలో Qవ పదం P, Pవ పదం Q అయితే (P + Q)వ పదం?
9. గుణశ్రేఢిలో 6వ పదం , 9వ పదం 1 అయితే సామాన్య నిష్పత్తి ఎంత?
10. గుణశ్రేఢిలో ప్రతి పదం ధనాత్మకమైతే, ఆ పదాల సంవర్గమానాలు ఏ శ్రేఢిలో ఉంటాయి?

PROJECTS
1. ఎ. ఒక అంకశ్రేఢి జాబితాను తీసుకుని ప్రతిపదానికి ఒక స్థిరమైన సంఖ్యను కలపండి. కొత్త జాబితాను గురించి పరిశీలించి చెప్పండి.
బి. అదే విధంగా శ్రేఢిలో ప్రతి పదాన్ని స్థిర సంఖ్యతో తీసివేసి ఫలిత జాబితాను రాయండి. కొత్త జాబితా అంకశ్రేఢియేనా పరిశీలించి చెప్పండి.
సి. అంకశ్రేఢిలోని ప్రతి పదాన్ని ఏదైనా స్థిరసంఖ్యతో గుణించి ఫలిత సంఖ్యలను జాబితాగా రాయండి. పరిశీలనలో గుర్తించింది రాయండి. అది అంకశ్రేఢి అవుతుందా?
డి. ప్రతి పదాన్ని (శ్రేఢిలో) ఒక స్థిరసంఖ్యతో భాగించండి, వచ్చిన జాబితా అంకశ్రేఢిలో ఉంటుందా? ప్రతిదానికి 2 ఉదాహరణలతో చేసి చూడండి

రచయిత : సీహెచ్ . నాగేశ్వరరావు