ముఖ్యమైన ప్రశ్నలు
రెండు మార్కుల ప్రశ్నలు
1. (7, 8), (- 2, 3) బిందువుల మధ్య దూరాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన: (x1, y1), (x2, y2) బిందువుల మధ్య దూరం =
(7, 8), (- 2, 3) లను (x1, y1), (x2, y2) లతో పోల్చగా
x1 = 7, x2 = - 2, y1 = 8, y2 = 3
2. (1, 5), (2, 3), (- 2, - 1) బిందువులు సరేఖీయాలో కాదో సరిచూడండి. వాటి మధ్య దూరాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన: ఇచ్చిన బిందువులను A(1, 5), B(2, 3), C(-2, -1) అనుకోండి.
AB + BC ≠ AC
A, B, C సరేఖీయాలు కావు.
3. (x, 7) , (1, 15) ల మధ్య దూరం 10 యూనిట్లు అయితే 'x' విలువ ఎంత?
సాధన: (x1, y1), (x2, y2) బిందువుల మధ్య దూరం =
(x, 7), (1, 15) ల మధ్య దూరం =
4. (- 2, 8), (- 3, - 5) లకు (x, y) సమాన దూరంలో ఉంటే x, y ల మధ్య సంబంధాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన: (x1, y1), (x2, y2) బిందువుల మధ్య దూరం =
(x, y), (- 2, 8) ల మధ్య దూరం = (x, y), (-3, -5) ల మధ్య దూరం
5. ఏదైనా బిందువు A ను X - అక్షంపై, మరో బిందువు B ను Y - అక్షంపై తీసుకుని త్రిభుజం వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి
సాధన: A (-2, 0), B (0, 6) బిందువులను వరుసగా x, y అక్షాలపై తీసుకుందాం.
6. (5, 2), (3, -5), (-5, -1) బిందువులు శీర్షాలుగా ఉండే త్రిభుజ వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన:
(x1, y1) = (5, 2); (x2, y2) = (3, -5); (x3, y3) = (-5, -1)
7. (k, k), (2, 3), (4, - 1) బిందువులు సరేఖీయాలైతే k విలువను కనుక్కోండి.
సాధన: సరేఖీయ బిందువులతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం సున్నా అవుతుంది కాబట్టి
8. (3, 5), (8, 10) బిందువులతో ఏర్పడే రేఖాఖండాన్ని 2 : 3 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజించే బిందువును కనుక్కోండి.
సాధన: (x1, y1), (x2, y2) బిందువులను m1 : m2 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజించే బిందువు
(3, 5) = (x1, y1), (8, 10) = (x2, y2) అనుకోండి
m1 : m2 = 2 : 3
∴ (3, 5), (8, 10) లతో ఏర్పడే రేఖాఖండాన్ని 2 : 3 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజించే బిందువు
9. వ్యాసంగా ఉండే వృత్త కేంద్రం (2, -3). వృత్త వ్యాసపు ఒక చివరి బిందువు B (1, 4) అయితే A బిందువు నిరూపకాలను కనుక్కోండి.
సాధన: వృత్త కేంద్రం = (2, - 3)
వ్యాసం రెండో చివరి బిందువు = A (x, y) అనుకుందాం.
వ్యాసం మధ్య బిందువు వృత్త కేంద్రం అవుతుంది.
10. (2a, 3b), (a, - b) బిందువులను కలిపే రేఖ వాలు కనుక్కోండి.
సాధన: (x1, y1) = (2a, 3b); (x2, y2) = (a, - b)
11. (2, 3), (x, y), (3, - 2) లు శీర్షాలుగా ఉండే త్రిభుజం యొక్క గురుత్వకేంద్రం మూలబిందువు అయితే (x, y) ని కనుక్కోండి.
సాధన: ∆ ABC శీర్షాలు A (2, 3), B (x, y), C (3, - 2) ; గురుత్వ కేంద్రం = (0, 0)
నాలుగు మార్కుల ప్రశ్నలు
1. A (a, 0), B (-a, 0), C (0, ) బిందువులు సమబాహు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయని చూపండి.
సాధన: (x1, y1), (x2, y2) బిందువుల మధ్య దూరం =
2. (- 4, - 7), (- 1, 2), (8, 5), (5, -4) వరుసగా ఒక సమచతుర్భుజం యొక్క శీర్షాలు అవుతాయని చూపండి. దాని వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన: రాంబస్ శీర్షాలు వరుసగా A (- 4, -7), B (- 1, 2), C (8, 5), D (5, -4)
రెండు బిందువుల మధ్య దూరానికి సూత్రం =
∴ AB = BC = CD = AD, AC ≠ BD కాబట్టి ABCD ఒక రాంబస్ అవుతుంది.
3. X - అక్షంపై ఉంటూ (2, - 5) , (- 2, 9) లకు సమాన దూరంలో ఉండే బిందువును కనుక్కోండి.
సాధన: X - అక్షంపై కావాల్సిన బిందువు (p, 0) అనుకుందాం.
(x1, y1), (x2, y2) ల మధ్య దూరం =
( p, 0), (2, -5) ల మధ్య దూరం
4. బిందువులు (2, 6), (- 4, 8) లను కలిపే రేఖాఖండం యొక్క త్రిథాకరణ బిందువులను కనుక్కోండి.
సాధన: రేఖాఖండాన్ని 3 సమాన భాగాలుగా విభజించే బిందువులను త్రిథాకరణ బిందువులు అంటారు.
రేఖాఖండానికి త్రిథాకరణ బిందువులు P, Q అయితే
AP = PQ = QB
P బిందువు ని 1 : 2 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తుంది.
m1 = 1, m2 = 2; (x1, y1) = (2, 6), (x2, y2) = (-4, 8)
Q బిందువు ని 2 : 1 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తుంది.
m1 = 2, m2 = 1; (x1, y1) = (2, 6), (x2, y2) = (-4, 8)
5. (- 3, 10), (6, - 8) లతో ఏర్పడే రేఖాఖండాన్ని (- 1, 6) ఏ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుందో కనుక్కోండి.
సాధన: రేఖాఖండాన్ని (- 1, 6) విభజించే నిష్పత్తి m1 : m2 అనుకుందాం.
(x1, y1) = (- 3, 10), (x2, y2) = (- 6, 8)
లెక్క ప్రకారం Px = - 1
x నిరూపకమైనా, y నిరూపకమైనా ఒకే నిష్పత్తి వస్తుంది.
లెక్క ప్రకారం Py = 6
6. రేఖాఖండంపై A (- 2, - 2), B(2, -4) బిందువులు AP = AB అయ్యేలా ఉంటే P బిందువు నిరూపకాలను కనుక్కోండి.
సాధన: AP = AB
7 AP= 3 AB
7 AP = 3(AP + PB)
⇒ 7 AP = 3 AP + 3 PB
⇒ 7 AP - 3 AP = 3 PB
⇒ 4 AP = 3 PB
AP : PB = 3 : 4
P నిరూపకాలు (x , y) అనుకుందాం.
(x1, y1) = (- 2, - 2); (x2, y2) = (2, - 4) ; m1 : m2 = 3 : 4
7. బిందువులు A (- 4, 0), B (0, 6) లతో ఏర్పడే రేఖాఖండాన్ని నాలుగు సమభాగాలుగా విభజించే బిందువుల నిరూపకాలను కనుక్కోండి.
సాధన: AB ని P బిందువు 1 : 3 నిష్పత్తిలో
AB ని Q బిందువు 1 : 1 నిష్పత్తిలో
AB ని R బిందువు 3 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తున్నాయి అనుకుందాం.
వాటి నిరూపకాలను P (x, y), Q (x, y), R (x, y) అనుకుందాం.
A (- 4, 0), B (0, 6) లను కలిపే రేఖాఖండాన్ని P బిందువు 1 : 3 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
(m1 : m2 = 1 : 3)
A (- 4, 0) , B(0, 6) లను కలిపే రేఖాఖండాన్ని Q బిందువు 1 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
(m1 : m2 = 1 : 1)
A (- 4, 0), B(0, 6) లను కలిపే రేఖా ఖండాన్ని R బిందువు 3 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.
(m1 : m2 = 3 : 1)
8. (1, -1), (-4, 6), (-3, -5) శీర్షాలుగా ఉండే త్రిభుజ వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన: ∆ ABC శీర్షాలు A(1, -1), B (-4, 6), C (-3, -5) అనుకుంటే, దాని వైశాల్యాన్ని కనుక్కోవడానికి సూత్రం
(x1, y1) = (1, -1); (x2, y2) = (-4, 6); (x3, y3) = (-3, -5)
∴ ABC వైశాల్యం = 24 చ.యూ.
9. (0, -1), (2, 1), (0, 3) శీర్షాలుగా ఉండే త్రిభుజ వైశాల్యం, దాని భుజాల మధ్య బిందువులను కలపగా ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యాల నిష్పత్తిని కనుక్కోండి.
సాధన: ∆ ABC శీర్షాలు A (0, 1), B (2, 1), C (0, 3)
∆ DEF వైశాల్యం =
(x1, y1) = D (1, 2); (x2, y2) = E (0, 1) ; (x3, y3) = F (1, 0)
∴ ∆ DEF, ∆ ABC వైశాల్యాల నిష్పత్తి = 1 : 4
10. (8, - 5), (- 2, - 7), (5, 1) లతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యాన్ని హెరాన్ సూత్రం ఉపయోగించి కనుక్కోండి.
సాధన: త్రిభుజ శీర్షాలు A (8, - 5), B (-2, -7), C (5, 1)
= 10.19 (సుమారు)
త్రిభుజ వైశాల్యాన్ని కనుక్కోవడానికి హెరాన్ సూత్రం =
11. (8, 1), (k, - 4), (2, - 5) సరేఖీయాలైతే 'k' విలువను కనుక్కోండి.
సాధన: (x1, y1) = (8, 1); (x2, y2) = (k, - 4); (x3, y3) = (2, - 5)
త్రిభుజ వైశాల్యం
= 9 - 3k
సరేఖీయ బిందువులతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం = 0
⇒ 9 – 3k = 0
⇒ -3k = -9
⇒ 3k = 9
ఒక మార్కు ప్రశ్నలు
1. (- 4, 0), (6, 0) బిందువుల మధ్య దూరం ఎంత?
సాధన: (-4, 0) = (x1, y1) ; (6, 0) = (x2, y2)
= 10
y నిరూపకాలు సమానం కాబట్టి x నిరూపకాల భేదం మధ్య దూరం అవుతుంది.
= 10
2. (0, -3), (0, - 8) బిందువుల మధ్య దూరం ఎంత?
సాధన: బిందువుల మధ్య దూరం =
= 5
x నిరూపకాలు సమానం కాబట్టి y నిరూపకాల భేదం మధ్య దూరం అవుతుంది.
= 5
3. మూల బిందువు o (0, 0), A (7, 4) ల మధ్య దూరాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన: (0, 0), (x, y) ల మధ్య దూరం =
4. (x1, y1), (x2, y2) బిందువుల మధ్య దూరం కానీ
అని రాస్తే సరైంది అవుతుందా?
సాధన: సరైందే. ఎందుకంటే అవుతుంది.
5. (- 2, - 3), (3, 2) ల మధ్య దూరం ఎంత?
సాధన: (x1, y1) = (- 2, - 3); (x2, y2) = (3, 2) బిందువుల
మధ్యదూరం =
6. (2, 7), (12, - 7) బిందువులతో ఏర్పడే రేఖాఖండం మధ్య బిందువును కనుక్కోండి.
సాధన:
A (2, 7) = (x1, y1); B (12, - 7) = (x2, y2)
= (7, 0)
7. (- 4, 6), (2, - 2), (2, 5) బిందువులు శీర్షాలుగా ఉండే త్రిభుజ గురుత్వకేంద్రాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన: (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) శీర్షాలుగా ఉండే త్రిభుజ గురుత్వకేంద్రం
దత్తాంశం నుంచి
= (0, 3)
8. 15 మీ., 17 మీ., 21 మీ. భుజాలుగా ఉండే త్రిభుజ వైశాల్యాన్ని హెరాన్ సూత్రం ఉపయోగించి కనుక్కోండి.
= 126.18 చ.యూ.
9. A (x1, y1), B (x2, y2) లతో ఏర్పడే రేఖను m1 : m2 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజించే బిందువు P (x, y) నిరూపకాలేవి?
10. (2, 7), (12, - 7) లతో ఏర్పడే రేఖాఖండం మధ్య బిందువు?
11. A (4, - 6), B (7, 2) రేఖాఖండం వాలు ఎంత?
12. Y- అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండే రేఖ వాలును నిర్వచించలేం. ఉదాహరణ ఇవ్వండి.
సాధన: ఉదాహరణకు (2, 1), (2, 6) బిందువులను తీసుకోండి.
13. (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) బిందువులు శీర్షాలుగా ఉండే త్రిభుజ గురుత్వకేంద్రం ఏది?
14. (3, - 2), (- 2, 8), (0, 4) బిందువులు సరేఖీయాలని చూపండి.
త్రిభుజ వైశాల్యం సున్నా అయితే ఆ బిందువులు సరేఖీయాలు అవుతాయి.
సాధన: సరేఖీయ బిందువులతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం సున్నా అవుతుంది.
సీహెచ్.నాగేశ్వర రావు