• facebook
  • twitter
  • whatsapp
  • telegram

నిరూపక జ్యామితి

ముఖ్యమైన ప్రశ్నలు
 

రెండు మార్కుల ప్రశ్నలు

1. (7, 8), (- 2, 3) బిందువుల మధ్య దూరాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన: (x1, y1), (x2, y2) బిందువుల మధ్య దూరం =  

          (7, 8), (- 2, 3) లను (x1, y1), (x2, y2) లతో పోల్చగా

          x1 = 7, x2 = - 2, y1 = 8, y2 = 3

 

2. (1, 5), (2, 3), (- 2, - 1) బిందువులు సరేఖీయాలో కాదో సరిచూడండి. వాటి మధ్య దూరాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన: ఇచ్చిన బిందువులను A(1, 5), B(2, 3), C(-2, -1) అనుకోండి.

              AB + BC ≠  AC

                 A, B, C సరేఖీయాలు కావు.

3. (x, 7) , (1, 15) ల మధ్య దూరం 10 యూనిట్లు అయితే 'x' విలువ ఎంత?

సాధన: (x1, y1), (x2, y2) బిందువుల మధ్య దూరం = 

         (x, 7), (1, 15) ల మధ్య దూరం = 

4. (- 2, 8), (- 3, - 5) లకు (x, y) సమాన దూరంలో ఉంటే x, y ల మధ్య సంబంధాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన: (x1, y1), (x2, y2) బిందువుల మధ్య దూరం = 

          (x, y), (- 2, 8) ల మధ్య దూరం = (x, y), (-3, -5) ల మధ్య దూరం

      

5. ఏదైనా బిందువు A ను X - అక్షంపై, మరో బిందువు B ను Y - అక్షంపై తీసుకుని త్రిభుజం వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి

సాధన: A (-2, 0), B (0, 6) బిందువులను వరుసగా x, y అక్షాలపై తీసుకుందాం.


6. (5, 2), (3, -5), (-5, -1) బిందువులు శీర్షాలుగా ఉండే త్రిభుజ వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన: 
(x1, y1) = (5, 2); (x2, y2) = (3, -5); (x3, y3) = (-5, -1)


                 
7. (k, k), (2, 3), (4, - 1) బిందువులు సరేఖీయాలైతే k విలువను కనుక్కోండి.

సాధన: సరేఖీయ బిందువులతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం సున్నా అవుతుంది కాబట్టి


                
8. (3, 5), (8, 10) బిందువులతో ఏర్పడే రేఖాఖండాన్ని 2 : 3 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజించే బిందువును కనుక్కోండి.

సాధన: (x1, y1), (x2, y2) బిందువులను m1 : m2 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజించే బిందువు

(3, 5) = (x1, y1), (8, 10) = (x2, y2) అనుకోండి

 m1 : m2 = 2 : 3

 (3, 5), (8, 10) లతో ఏర్పడే రేఖాఖండాన్ని 2 : 3 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజించే బిందువు


9.  వ్యాసంగా ఉండే వృత్త కేంద్రం (2, -3). వృత్త వ్యాసపు ఒక చివరి బిందువు B (1, 4) అయితే A బిందువు నిరూపకాలను కనుక్కోండి.
 

సాధన: వృత్త కేంద్రం = (2, - 3)

     వ్యాసం రెండో చివరి బిందువు = A (x, y) అనుకుందాం.

            వ్యాసం మధ్య బిందువు వృత్త కేంద్రం అవుతుంది.

10. (2a, 3b), (a, - b) బిందువులను కలిపే రేఖ వాలు కనుక్కోండి.

సాధన: (x1, y1) = (2a, 3b); (x2, y2) = (a, - b)


           
11. (2, 3), (x, y), (3, - 2) లు శీర్షాలుగా ఉండే త్రిభుజం యొక్క గురుత్వకేంద్రం మూలబిందువు అయితే (x, y) ని కనుక్కోండి.

సాధన:  ABC శీర్షాలు A (2, 3), B (x, y), C (3, - 2) ; గురుత్వ కేంద్రం = (0, 0)

నాలుగు మార్కుల ప్రశ్నలు

1. A (a, 0), B (-a, 0), C (0,  ) బిందువులు సమబాహు త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయని చూపండి.

సాధన: (x1, y1), (x2, y2) బిందువుల మధ్య దూరం = 


2. (- 4, - 7), (- 1, 2), (8, 5), (5, -4) వరుసగా ఒక సమచతుర్భుజం యొక్క శీర్షాలు అవుతాయని చూపండి. దాని వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన: రాంబస్ శీర్షాలు వరుసగా A (- 4, -7), B (- 1, 2), C (8, 5), D (5, -4)

             రెండు బిందువుల మధ్య దూరానికి సూత్రం = 

  AB = BC = CD = AD, AC ≠ BD కాబట్టి ABCD ఒక రాంబస్ అవుతుంది.

            

3. X - అక్షంపై ఉంటూ (2, - 5) , (- 2, 9) లకు సమాన దూరంలో ఉండే బిందువును కనుక్కోండి.

సాధన: X - అక్షంపై కావాల్సిన బిందువు (p, 0) అనుకుందాం.

            (x1, y1), (x2, y2) ల మధ్య దూరం =  

            ( p, 0), (2, -5) ల మధ్య దూరం 

           


4. బిందువులు (2, 6), (- 4, 8) లను కలిపే రేఖాఖండం యొక్క త్రిథాకరణ బిందువులను కనుక్కోండి.

సాధన: రేఖాఖండాన్ని 3 సమాన భాగాలుగా విభజించే బిందువులను త్రిథాకరణ బిందువులు అంటారు.

    రేఖాఖండానికి త్రిథాకరణ బిందువులు P, Q అయితే

   

                                                              

 AP = PQ = QB

 P బిందువు  ని 1 : 2 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తుంది.

        m1 = 1, m2 = 2; (x1, y1) = (2, 6), (x2, y2) = (-4, 8)

Q బిందువు  ని 2 : 1 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజిస్తుంది.

 m1 = 2, m2 = 1; (x1, y1) = (2, 6), (x2, y2) = (-4, 8)

     

5. (- 3, 10), (6, - 8) లతో ఏర్పడే రేఖాఖండాన్ని (- 1, 6) ఏ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుందో కనుక్కోండి.

సాధన: రేఖాఖండాన్ని (- 1, 6) విభజించే నిష్పత్తి m1 : m2 అనుకుందాం.

     (x1, y1) = (- 3, 10), (x2, y2) = (- 6, 8)

   లెక్క ప్రకారం Px = - 1

x నిరూపకమైనా, y నిరూపకమైనా ఒకే నిష్పత్తి వస్తుంది.

లెక్క ప్రకారం Py = 6


6.   రేఖాఖండంపై A (- 2, - 2), B(2, -4) బిందువులు AP =  AB అయ్యేలా ఉంటే P బిందువు నిరూపకాలను కనుక్కోండి.

సాధన: AP =  AB

    7 AP= 3 AB

    7 AP = 3(AP + PB)

 7 AP = 3 AP + 3 PB

⇒ 7 AP - 3 AP = 3 PB

⇒ 4 AP = 3 PB

AP : PB = 3 : 4

P నిరూపకాలు (x , y) అనుకుందాం.

(x1, y1) = (- 2, - 2); (x2, y2) = (2, - 4) ; m1 : m2 = 3 : 4


7. బిందువులు A (- 4, 0), B (0, 6) లతో ఏర్పడే రేఖాఖండాన్ని నాలుగు సమభాగాలుగా విభజించే బిందువుల నిరూపకాలను కనుక్కోండి.
 

సాధన: AB ని P బిందువు 1 : 3 నిష్పత్తిలో

      AB ని Q బిందువు 1 : 1 నిష్పత్తిలో

      AB ని R బిందువు 3 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తున్నాయి అనుకుందాం.

      వాటి నిరూపకాలను P (x, y), Q (x, y), R (x, y) అనుకుందాం.

      A (- 4, 0), B (0, 6) లను కలిపే రేఖాఖండాన్ని P బిందువు 1 : 3 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది.

      (m1 : m2 = 1 : 3)

            

  A (- 4, 0) , B(0, 6) లను కలిపే రేఖాఖండాన్ని Q బిందువు 1 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది. 

   (m1 : m2 = 1 : 1)

  A (- 4, 0), B(0, 6) లను కలిపే రేఖా ఖండాన్ని R బిందువు 3 : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది. 

              (m1 : m2 = 3 : 1)


              
8. (1, -1), (-4, 6), (-3, -5) శీర్షాలుగా ఉండే త్రిభుజ వైశాల్యాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన:  ABC శీర్షాలు A(1, -1), B (-4, 6), C (-3, -5) అనుకుంటే, దాని వైశాల్యాన్ని కనుక్కోవడానికి సూత్రం

         

 (x1, y1) = (1, -1); (x2, y2) = (-4, 6); (x3, y3) = (-3, -5)

   ABC వైశాల్యం = 24 చ.యూ.

9. (0, -1), (2, 1), (0, 3) శీర్షాలుగా ఉండే త్రిభుజ వైశాల్యం, దాని భుజాల మధ్య బిందువులను కలపగా ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యాల నిష్పత్తిని కనుక్కోండి.

సాధన:   ABC శీర్షాలు A (0, 1), B (2, 1), C (0, 3)


 DEF వైశాల్యం =    

(x1, y1) = D (1, 2); (x2, y2) = E (0, 1) ; (x3, y3) = F (1, 0)

      DEF,  ABC  వైశాల్యాల నిష్పత్తి = 1 : 4

10. (8, - 5), (- 2, - 7), (5, 1) లతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యాన్ని హెరాన్ సూత్రం ఉపయోగించి కనుక్కోండి.

సాధన: త్రిభుజ శీర్షాలు A (8, - 5), B (-2, -7), C (5, 1)


                   = 10.19 (సుమారు)

త్రిభుజ వైశాల్యాన్ని కనుక్కోవడానికి హెరాన్ సూత్రం = 

11. (8, 1), (k, - 4), (2, - 5) సరేఖీయాలైతే 'k' విలువను కనుక్కోండి.

సాధన: (x1, y1) = (8, 1); (x2, y2) = (k, - 4); (x3, y3) = (2, - 5)

    త్రిభుజ వైశాల్యం 

                  
                                      

             = 9 - 3k

సరేఖీయ బిందువులతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం = 0

         9 – 3k = 0

        -3k = -9

         3k = 9

ఒక మార్కు ప్రశ్నలు

1. (- 4, 0), (6, 0) బిందువుల మధ్య దూరం ఎంత?

సాధన: (-4, 0) = (x1, y1) ; (6, 0) = (x2, y2)

                 = 10

 y నిరూపకాలు సమానం కాబట్టి x నిరూపకాల భేదం మధ్య దూరం అవుతుంది.

             = 10         

2. (0, -3), (0, - 8) బిందువుల మధ్య దూరం ఎంత?

సాధన: బిందువుల మధ్య దూరం = 

                                                          

        = 5

 x నిరూపకాలు సమానం కాబట్టి y నిరూపకాల భేదం మధ్య దూరం అవుతుంది.

                                 

                    = 5

3. మూల బిందువు o (0, 0), A (7, 4) ల మధ్య దూరాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన: (0, 0), (x, y) ల మధ్య దూరం = 


4. (x1, y1), (x2, y2) బిందువుల మధ్య దూరం   కానీ

     అని రాస్తే సరైంది అవుతుందా?

సాధన: సరైందే. ఎందుకంటే  అవుతుంది.

5. (- 2, - 3), (3, 2) ల మధ్య దూరం ఎంత?

సాధన: (x1, y1) = (- 2, - 3); (x2, y2) = (3, 2) బిందువుల

    మధ్యదూరం =   

    
 

6. (2, 7), (12, - 7) బిందువులతో ఏర్పడే రేఖాఖండం మధ్య బిందువును కనుక్కోండి.

సాధన: 

   A (2, 7) = (x1, y1); B (12, - 7) = (x2, y2)

                       = (7, 0)


7. (- 4, 6), (2, - 2), (2, 5) బిందువులు శీర్షాలుగా ఉండే త్రిభుజ గురుత్వకేంద్రాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన: (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) శీర్షాలుగా ఉండే త్రిభుజ గురుత్వకేంద్రం

దత్తాంశం నుంచి 

                = (0, 3)
 

8. 15 మీ., 17 మీ., 21 మీ. భుజాలుగా ఉండే త్రిభుజ వైశాల్యాన్ని హెరాన్ సూత్రం ఉపయోగించి కనుక్కోండి.

                     

= 126.18 చ.యూ.

9. A (x1, y1), B (x2, y2) లతో ఏర్పడే రేఖను m1 : m2 నిష్పత్తిలో అంతరంగా విభజించే బిందువు P (x, y) నిరూపకాలేవి?


10. (2, 7), (12, - 7) లతో ఏర్పడే రేఖాఖండం మధ్య బిందువు?


11. A (4, - 6), B (7, 2) రేఖాఖండం వాలు ఎంత?

12. Y- అక్షానికి సమాంతరంగా ఉండే రేఖ వాలును నిర్వచించలేం. ఉదాహరణ ఇవ్వండి.

సాధన: ఉదాహరణకు (2, 1), (2, 6) బిందువులను తీసుకోండి.


13. (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) బిందువులు శీర్షాలుగా ఉండే త్రిభుజ గురుత్వకేంద్రం ఏది?

14. (3, - 2), (- 2, 8), (0, 4) బిందువులు సరేఖీయాలని చూపండి.

త్రిభుజ వైశాల్యం సున్నా అయితే ఆ బిందువులు సరేఖీయాలు అవుతాయి.

సాధన: సరేఖీయ బిందువులతో ఏర్పడే త్రిభుజ వైశాల్యం సున్నా అవుతుంది.  


 

 

సీహెచ్.నాగేశ్వర రావు

Posted Date : 16-11-2021

గమనిక : ప్రతిభ.ఈనాడు.నెట్‌లో కనిపించే వ్యాపార ప్రకటనలు వివిధ దేశాల్లోని వ్యాపారులు, సంస్థల నుంచి వస్తాయి. మరి కొన్ని ప్రకటనలు పాఠకుల అభిరుచి మేరకు కృత్రిమ మేధస్సు సాంకేతికత సాయంతో ప్రదర్శితమవుతుంటాయి. ఆ ప్రకటనల్లోని ఉత్పత్తులను లేదా సేవలను పాఠకులు స్వయంగా విచారించుకొని, జాగ్రత్తగా పరిశీలించి కొనుక్కోవాలి లేదా వినియోగించుకోవాలి. వాటి నాణ్యత లేదా లోపాలతో ఈనాడు యాజమాన్యానికి ఎలాంటి సంబంధం లేదు. ఈ విషయంలో ఉత్తర ప్రత్యుత్తరాలకు, ఈ-మెయిల్స్ కి, ఇంకా ఇతర రూపాల్లో సమాచార మార్పిడికి తావు లేదు. ఫిర్యాదులు స్వీకరించడం కుదరదు. పాఠకులు గమనించి, సహకరించాలని మనవి.

ప్రత్యేక కథనాలు

మరిన్ని
 
 

విద్యా ఉద్యోగ సమాచారం

గణిత శాస్త్రం

ఇతర సబ్జెక్టులు

లేటెస్ట్ నోటిఫికేష‌న్స్‌