ఈ అధ్యాయంలో మనం గణితంలో ముఖ్య విభాగమైన 'త్రికోణమితి' గురించి అధ్యయనం చేస్తాం. త్రికోణమితిని ఆంగ్లంలో 'Trigonometry' అంటారు. ఇది గ్రీకు పదాలైన Trigonon, Metron అనే రెండు పదాల నుంచి వచ్చింది. Trigonon అంటే త్రిభుజం, Metron అంటే కొలత అని అర్థం. కాబట్టి Trigonometry అంటే త్రిభుజాలను కొలవడం అని అర్థం. ముఖ్యంగా త్రిభుజ కోణాలు, భుజాలు వాటి మధ్య సంబంధాలను గురించి త్రికోణమితి తెలియజేస్తుంది. ఈ అధ్యాయంలో మనం లంబకోణ త్రిభుజాల గురించి మాత్రమే తెలుసుకుంటాం.
కోణం: ఒకే ఉమ్మడి బిందువు గల రెండు కిరణాల భ్రమణం వల్ల కోణం ఏర్పడుతుంది. ఏ కిరణం ఆధారంగా భ్రమణం జరుగుతుందో దాన్ని తొలికిరణం (OA), భ్రమణం చేసే కిరణాన్ని అంత్యకిరణం (OB) అని అంటారు. సాధారణంగా కోణాన్ని 'θ'(తీటా) అనే అక్షరంతో సూచిస్తారు.
కోణం కొలత: కిరణాల భ్రమణం వల్ల ఏర్పడే కోణాన్ని కోణమానిని సహాయంతో కొలుస్తారు. 90º ల కోణాన్ని లంబకోణం అంటారు. 0º నుంచి 90º ల వరకు ఉండే కోణాన్ని అల్పకోణం (లఘు కోణం) అంటారు. లంబకోణ త్రిభుజంలో ఒక లంబకోణం, రెండు అల్పకోణాలు ఉంటాయి.
త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు: ఒక త్రిభుజంలోని భుజాలకు లేదా కోణాలకు సంబంధించి కొన్ని కొలతలు ఇచ్చినప్పుడు మిగిలినవాటి విలువలను తెలుసుకోవడానికి త్రికోణమితి ఉపయోగపడుతుంది. త్రిభుజంలో ఇచ్చిన అల్పకోణాన్ని, నిష్పత్తులను ఉపయోగించి ఈ విలువలను కనుక్కోవచ్చు. ఈ నిష్పత్తులనే త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు అంటారు. లంబకోణ త్రిభుజంలో అల్పకోణాన్ని అనుసరించి వివిధ త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులను నిర్వచించవచ్చు. ABC లంబకోణ త్రిభుజంలో B వద్ద లంబకోణం; A, C వద్ద అల్పకోణాలు ఉంటాయి. A వద్ద గల అల్పకోణాన్ని 'θ' అనుకుంటే, C వద్ద గల కోణం (90 - θ) అవుతుంది.

అల్పకోణం 'θ'  దృష్ట్యా ఆరు త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులను నిర్వచించవచ్చు

sine θ ను సాధారణంగా sin θ అని రాస్తారు.

cosine θ ను cos θ అని రాస్తారు.

tangent θ ను tan θ అని రాస్తారు.

cotangent θ ను cot θ అని రాస్తారు

secant θ ను sec θ అని రాస్తారు

cosecant θ ను cosec  θ అని రాస్తారు.

త్రికోణమితీయ నిష్పత్తుల మధ్య సంబంధం:
త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులైన sin θ, cos θ, tan θ లు ఒకదాంతో ఒకటి సంబంధాన్ని కలిగి ఉంటాయి. ఈ ఆరు నిష్పత్తుల్లో ఒకటి తెలిస్తే, మిగిలిన నిష్పత్తులను సులభంగా గణించవచ్చు.

అదేవిధంగా sin θ . cosec θ = 1, cos θ . secθ = 1
 

ఉదాహరణలు
1. ABC త్రిభుజంలో B వద్ద లంబకోణం, AB = 12, AC = 13, BC = 5 అయితే A కోణం దృష్ట్యా అన్ని త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు కనుక్కోండి.
సాధన: ఇక్కడ కోణం A కు ఎదుటి భుజం BC = 5
                ఆసన్నభుజం AB = 12
                కర్ణం AC = 13

2. ABC త్రిభుజంలో B వద్ద లంబకోణం, AB = 4,BC = 3 అయితే అల్పకోణం A దృష్ట్యా ఆరు త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులను రాయండి.
సాధన: ఇక్కడ AB = 4, BC = 3, ∠B = 90°
     పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం
     AC² = AB² + BC²
     = 4² + 3²
     = 16 + 9
     AC² = 25

3. ABC త్రిభుజంలో B వద్ద లంబకోణం, AB = 12, BC = 5 అయితే 
    i) sin A, tan A
    ii) cos C, cot C లను కనుక్కోండి.
సాధన: ఇక్కడ AB = 12, BC = 5, ∠B = 90°
          పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం AC² = AB² + BC²
                                                           = 12² + 5²
                                                           = 144 + 25
                                                           = 169

 

4. cos θ =  అయితే మిగిలిన త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు కనుక్కోండి.
సాధన: cos θ = 

కాబట్టి AB = 8, AC = 17, B వద్ద లంబకోణం ఉంటాయి.
పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం AC² = AB² + BC²
     17² = 8² + BC²
     BC² = 289 − 64

 

5. PQR త్రిభుజంలో R వద్ద లంబకోణం, PQ = 29, QR = 21, ∠PQR = θ అయితే
    i) cos²θ + sin2 θ ii) cos²θ − sin²θ ల విలువలను కనుక్కోండి.
సాధన: ఇక్కడ PQ = 29, QR = 21, R = 90º

 

6. ABC త్రిభుజంలో C వద్ద లంబకోణం, tan A =   అయితే sinA.cosB + cosA.sinB. విలువను కనుక్కోండి.
సాధన: tan A = 
           
     ⇒ BC = 1 k , AC =  k
పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, AB² = BC² + CA²
      = (1k)² + (k)²
      = k² + 3k²
     = 4k²

∴ sin A cos B + cos A sin B = 1

కొన్ని ప్రత్యేక కోణాలకు త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు

45ºకు త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు:
ABC ఒక లంబకోణ సమద్విబాహు త్రిభుజం, AB = BC = a అనుకుందాం, ∠B = 90°.
పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం AC² = AB² + BC²
      = a² + a²
     = 2a²

30º, 60º లకు త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు:
ABC ఒక సమబాహు త్రిభుజం, AB = BC = CA = a అనుకుందాం.
AD ⊥ r BC. ABC సమబాహు త్రిభుజం కాబట్టి ∠BAC = ∠B = ∠C = 60°
AD రేఖాఖండం ∠A ను సమద్విఖండన చేస్తుంది.
∴ ∠BAD = ∠DAC =  = 30°
ABD త్రిభుజంలో, AB = a; BD = 
∠BAD = 30º, ∠ADB = 90º, ∠B = 60º

0º, 90º లకు త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు:
పటంలో ∠XAY = θ, అల్పకోణం. అంత్యకిరణం AY పై 'P' ఒక బిందువు.
P నుంచి తొలి కిరణం AX పైకి PM అనే లంబాన్ని గీయాలి.
ΔAMP నుంచి

θ కోణం సూక్ష్మాతి సూక్ష్మమైతే PM కూడా చాలా చిన్నదవుతుంది. ఈ సందర్భంలో P బిందువు M తో ఏకీభవించినప్పుడు θ కోణం 0º అవుతుంది. అప్పుడు
PM = 0, AP = AM

ΔAMP లో θ కోణం పెరుగుతుంటే, AM రేఖాఖండం చిన్నదవుతుంది. క్రమంగా θ విలువ 90º అయినప్పుడు M బిందువు Aతో ఏకీభవిస్తుంది.

AM = 0, AP = PM

త్రికోణమితీయ నిష్పత్తుల విలువల పట్టిక

7. కింది విలువలను కనుక్కోండి.
(i) cos 60° . cos 30° − sin 60°. sin 30°
(ii) cosec2 30°. sin2 45° − sec2 60°
సాధన:

                        = 2 - 4 = -2

8. ప్రతి సందర్భంలో 'x' విలువను కనుక్కోండి.
    (i) tan 3x = sin 45° . cos 45° + sin 30°
    (ii) sin 2x = sin 60°. cos 30° − cos60° . sin 30°
సాధన: (i) tan 3x = sin 45° . cos 45° + sin 30°
                           
∴ tan 3x = tan 45°
⇒ 3x = 45°
⇒ x = 15°
(ii) sin 2x = sin 60°. cos 30° − cos 60°. sin 30°
                   
       sin 2x = sin 30º
⇒   2x = 30º
⇒   x =15º
 

9. sin(A + B) = 1, cos(A − B) =  , 0° < A + B ≤ 90°, A > B అయితే A, B విలువలను కనుక్కోండి.
సాధన: sin(A + B) = 1 = sin 90° కాబట్టి
∴ A + B = 90° ....... (1)
   cos (A − B) =   = cos 30°
∴  A − B = 30° ........ (2)
  (1), (2) లను కలపగా
  (A + B) + (A − B) = 90° + 30°
⇒  2A = 120°
⇒  A = 60°
  A = 60°ని (1) లో ప్రతిక్షేపించగా
  60° + B = 90°
⇒   B = 90° − 60° = 30°
∴ A = 60°, B = 30°
 

10. ΔPQRలో లంబకోణం ∠Q, PQ = 3 సెం.మీ., PR = 6 సెం.మీ. అయితే ∠QPR, ∠PRQ లను కనుక్కోండి.
సాధన: PQ = 3  సెం.మీ., PR = 6  సెం.మీ..
           
 sin R = sin 30°
⇒ R = 30°
∴ ∠PRQ = 30°  ⇒  ∠QPR = 60°

పూరక కోణాలకు త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులు:

రెండు కోణాల మొత్తం 90º అయితే ఆ కోణాలను పూరక కోణాలు అంటారు. ABC లంబకోణ త్రిభుజంలో B వద్ద లంబకోణం అనుకుంటే
∠B = 90°, ∠A + ∠C = 90°
అప్పుడు ∠A , ∠C పూరక కోణాలు.
∠A = x అనుకుంటే ∠C = (90 − x)° అవుతుంది.
x° దృష్ట్యా ఎదుటి భుజం = BC, ఆసన్నభుజం = AB

(90 − x)° దృష్ట్యా ఎదుటి భుజం = AB, ఆసన్నభుజం = BC

x, (90 - x)ల వివిధ త్రికోణమితీయ నిష్పత్తులను పోలిస్తే

11. 
సాధన: sec A = cosec (90 − A)
   cosec = 55° = cosec (90° − 35°) = sec 35°

    
12. cos(40 - θ) − sin (50° + θ)+  విలువను కనుక్కోండి.
సాధన: cos (40° − θ) − sin (50° + θ) +  
    = sin [90° − (40° −θ)] − sin(50° + θ) + 
    = sin (50°+ θ) − sin (50° + θ) + 
    = 0 + 1 = 1

త్రికోణమితీయ సర్వసమీకరణాలు:
ఒక సమీకరణం చరరాశి అన్ని విలువలకు సత్యమైతే ఆ సమీకరణాన్ని సర్వసమీకరణం అంటారు.
(a − b)² = a² − 2ab + b² ఒక సర్వసమీకరణం. a, b ల ఏ విలువలకైన L.H.S అనేది R.H.Sకు సమానమవుతుంది.
ఇదేవిధంగా త్రికోణమితీయ నిష్పత్తిలో ఏర్పడిన సర్వసమీకరణాన్ని త్రికోణమితీయ సర్వసమీకరణాలు అంటారు. ఇది అన్ని కోణాల విలువలకు సత్యమవుతుంది.

ఒక త్రికోణమితీయ నిష్పత్తిని ఉత్పాదన చేసి, దాని నుంచి మిగిలిన వాటిని ఉత్పాదించడం.
ABC లంబకోణ త్రిభుజంలో B వద్ద లంబకోణం ఉంటుంది.
పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం AB² + BC² = AC² ...........(1)
ఇరువైపులా AC² తో భాగిస్తే

⇒ cos² A + sin² A = 1
'A' చరరాశిగా ఈ సమీకరణాన్ని రూపొందించినప్పటికీ, ఇది A యొక్క అన్ని విలువలకు సత్యం. కాబట్టి ఇది ఒక త్రికోణమితీయ సర్వసమీకరణం.

ఈ సర్వసమీకరణాన్ని cos2A తో భాగిస్తే

cos² A + sin² A = 1 ను sin² A తో భాగిస్తే

⇒ cot² A + 1 = cosec² A   (లేదా) 

సాధన:

14. త్రికోణమితీయ పట్టికలను ఉపయోగించకుండా కింది విలువను గణించండి.

సాధన:
 

= 1 + cos²θ + sin²θ
= 1 + 1
= 2

                             
ర‌చ‌యి‌త‌:  టి.ఎస్‌.వి.ఎస్‌. సూర్య‌నారాయ‌ణ మూర్తి