మైండ్ మ్యాప్

         
మన నిత్యజీవితంలో కొన్ని సందర్భాల్లో ఒక భవనం లేదా చెట్టు ఎత్తును కొలవాల్సి వచ్చినప్పుడు వాటిని ఎలా కొలుస్తాం? మీ ఇంటి ఎత్తును మీరు కనుక్కోగలరా?
ఉదా:
    శివ అనే విద్యార్థి ఒక విద్యుత్ స్తంభం ఎత్తును కనుక్కోవాలి అనుకున్నాడు. స్తంభం శీర్ష భాగాన్ని, అతడి కళ్లను కలిపే ఒక రేఖను ఊహించాడు. ఈ రేఖనే 'దృష్టిరేఖ' అంటారు. అదేవిధంగా అతడు తన కంటి నుంచి విద్యుత్ స్తంభానికి ఒక క్షితిజ సమాంతర రేఖను కూడా ఊహించాడు. ఇక్కడ దృష్టిరేఖ, క్షితిజ సమాంతర రేఖ, స్తంభం ఒక లంబకోణ త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.
     క్షితిజ సమాంతర రేఖకు 'దృష్టిరేఖ'పైన ఉంటే క్షితిజ సమాంతర రేఖతో దృష్టిరేఖ చేసే కోణాన్ని 'ఊర్థ్వకోణం' అంటారు.
    మీరు మీ పాఠశాల భవనంపై నిల్చొని ఉన్నారు. పాఠశాల ఆవరణలోని బోరింగ్ ఆ భవనం నుంచి ఎంత దూరంలో ఉందో తెలుసుకోవాలనుకుంటే బోరింగ్ అడుగు భాగాన్ని పరిశీలించాలి. అప్పుడు దృష్టిరేఖ క్షితిజ సమాంతర రేఖ కింద ఉంటుంది.
    ఇక్కడ క్షితిజ సమాంతర రేఖతో దృష్టిరేఖ చేసే కోణాన్ని 'నిమ్నకోణం' అంటారు.
 

ఇచ్చిన సందర్భాలకు పటాలను గీయడం
ఎత్తులు, దూరాలకు సంబంధించిన సమస్యలను సాధించడానికి పటాలను గీసేటప్పుడు పాటించాల్సిన నియమాలు:
* గణిత పరంగా సౌలభ్యం కోసం టవర్లు, చెట్లు, భవనాలు, ఓడలు, పర్వతాలు లాంటి వాటిని రేఖీయంగానే పరిగణనలోకి తీసుకోవాలి.
*  ఊర్థ్వకోణం లేదా నిమ్నకోణాన్ని క్షితిజ సమాంతర రేఖ ఆధారంగా తీసుకోవాలి.
* సమస్యలో పరిశీలిస్తున్న వ్యక్తి ఎత్తు ఇవ్వనట్లయితే అతడి ఎత్తును ఉపేక్షించి సమస్యను సాధించాలి.
* ఎత్తులు, దూరాలకు సంబంధించిన సమస్యలను సాధించడానికి పటాలను గీయాలి. ఆ పటాల ఆధారంగా సమస్యలను సులభంగా సాధించవచ్చు.
ఉదాహరణలు
1. పరిశీలకుడి నుంచి d మీటర్ల దూరంలో ఉన్న ఒక క్లాక్‌టవర్ పైకొన 'θ' ఊర్థ్వకోణం చేస్తుంది. ఈ సందర్భానికి పటాన్ని గీయండి.
సాధన: క్లాక్‌టవర్‌ను AB, దాని పైకొనను A అనుకొనుము.
   క్లాక్‌టవర్ పాదం B నుంచి d మీటర్ల దూరంలో
   పరిశీలకుడి స్థానం C ఉందనుకుందాం.
   C వద్ద ఊర్థ్వకోణం = θ
 

2. లక్ష్మి మొదటి అంతస్తులోని బాల్కనీ నుంచి నేలపై ఉన్న పువ్వును αº నిమ్నకోణంతో చూస్తుంది. మొదటి అంతస్తు ఎత్తు 'h' మీటర్లు. అయితే ఈ సందర్భానికి పటాన్ని గీయండి.
సాధన: భవనం బాల్కనీపై పరిశీలక స్థానం A అనుకొనుము.
  భవనం ఎత్తు AB = h మీటర్లు
  పువ్వు ఉన్న స్థానం = C
  దృష్టిరేఖ = AD
 

3. బెలూన్ ఒక పెద్ద తాడు సహాయంతో గాలిలో ఎగురుతుంది. ఒక భవనంపై ఉన్న వ్యక్తి దాని పైభాగాన్ని θ₁
 ఊర్థ్వకోణంతో, తాడు అడుగు భాగాన్ని θ₂  నిమ్నకోణంతో పరిశీలించాడు. ఆ భవనం ఎత్తు 'h' అడుగులు. అయితే ఆ స్తంభానికి పటాన్ని గీయండి.
సాధన: భవనం ఎత్తు DE = h అడుగులు అనుకొనుము.
   బెలూన్ 'C' బిందువు వద్ద ఉంది.
  తాడు పొడవు = AC 
  దృష్టిరేఖ = DB
 D నుంచి ఊర్థ్వకోణం = θ₁
 D నుంచి నిమ్నకోణం = θ₂
 

4. ఒక టవరు అడుగు భాగం నుంచి 30 మీటర్ల దూరంలో టవరు పైభాగాన్ని 30º ఊర్థ్వకోణంతో గమనిస్తే దాని ఎత్తు ఎంత?
సాధన: టవరు = AB
 టవరు అడుగు భాగం B నుంచి 30 మీటర్ల దూరంలో ఉన్న పరిశీలక బిందువు C.
 టవరు పైభాగం A ను C నుంచి చూసే ఊర్థ్వకోణం = 30º

 ∴ టవరు ఎత్తు AB = 10 మీ. (లేదా) 10(1.732) = 17.32 మీ.
 

5. ఒక హెలికాప్టర్‌లో ప్రయాణిస్తున్న రాము భూమి మీద ఉన్న ఒక బాలుడిని 45º నిమ్నకోణంతో పరిశీలించాడు.
ఆ సందర్భంలో హెలికాప్టర్ భూమి నుంచి 50 మీటర్ల ఎత్తులో ఎగురుతుంది. అయితే రాముకు, బాలుడికి మధ్య ఉండే దూరం ఎంత?
సాధన: పటం నుంచి

6. 1.8 మీటర్ల ఎత్తున్న పరిశీలకుడు ఒక తాటిచెట్టు నుంచి 13.2 మీటర్ల దూరంలో ఉన్నాడు. ఆ చెట్టుపై పరిశీలకుడి కంటి నుంచి 45º ఊర్థ్వకోణం చేస్తే దాని ఎత్తు ఎంత?
సాధన: తాటిచెట్టు ఎత్తు AB = h మీ. అనుకొనుము

   పరిశీలకుడి ఎత్తు CD = 1.8 మీ.
    చెట్టు పాదం నుంచి పరిశీలకుడికి గల దూరం BC = 13.2 మీ.
    AB కి లంబంగా ఉండేలా DE ని కలపాలి.
   CBED ఒక దీర్ఘచతురస్రం
   ∴ DE = CB = 13.2 మీ. BE = CD = 1.8 మీ.

  తాటిచెట్టు ఎత్తు AB = AE + BE 
       = 13.2 + 1.8 = 15 మీ.       
 

7. నీటి ట్యాంకు ఒక టవరు పైభాగాన ఉంది. నేలపై టవరు అడుగు భాగం నుంచి 40 మీటర్ల దూరంలో ఉన్న ఒక పరిశీలకుడు టవరు పైభాగాన్ని 30º ఊర్థ్వకోణంతో, ట్యాంకు పైభాగాన్ని 45º ఊర్థ్వకోణంతో ఉన్నట్లు గమనించాడు. అయితే టవరు ఎత్తు, ట్యాంకు లోతును కనుక్కోండి.
సాధన: టవరు ఎత్తు BC = h1 మీ. అనుకొనుము
  నీటి ట్యాంకు లోతు CD = h₂ మీ.
  టవరు అడుగు భాగం నుంచి నేలపై 40 మీటర్ల దూరంలో ఉన్న పరిశీలకుడి స్థానం A.
  A నుంచి టవరు పైభాగం C ని చూసినప్పుడు ఏర్పడిన ఊర్థ్వకోణం 30º
  A నుంచి నీటి ట్యాంకు పైభాగం Dని చూసినప్పుడు ఏర్పడిన ఊర్థ్వకోణం 45º

రచయిత: టి.ఎస్.వి.ఎస్. సూర్యనారాయణ మూర్తి