మైండ్ మ్యాప్: 

             
                            
    సంఖ్యాపరమైన లేదా మాటలకు లేదా రేఖాచిత్రాలకు సంబంధించిన సమాచారాన్ని దత్తాంశం అంటారు. స్పష్టమైన లక్ష్యంతో నేరుగా సేకరించిన సమాచారాన్ని ప్రాథమిక దత్తాంశం అంటారు. రికార్డులు, రిజిష్టర్లు మొదలైన వాటి నుంచి సేకరించిన సమాచారాన్ని గౌణ (సెకండరీ) దత్తాంశం అంటారు. ఈ విధంగా సేకరించిన దత్తాంశాన్ని ముడి దత్తాంశం అని కూడా అంటారు. దీన్ని  మనకు అనువుగా ఉండేలా వర్గీకరించడాన్నే వర్గీకృత దత్తాంశం అని అంటారు.
కేంద్రస్థానపు కొలతల్లో ముఖ్యంగా ''అంకగణిత సగటు, మధ్యగతం, బాహుళకం'' అని మూడు కొలతలు ఉన్నాయి. ఈ అధ్యాయంలో వీటితో పాటు విస్తరణ కొలతల్లో ఒకటైన ''వ్యాప్తి'' గురించి తెలుసుకుందాం.
వ్యాప్తి: ఇచ్చిన అవర్గీకృత దత్తాంశంలో గరిష్ఠ, కనిష్ఠ విలువల బేధాన్ని వ్యాప్తి అంటారు. 

ఉదా: 32, 54, 62, 31, 18, 71, 14, 38, 16, 82 దత్తాంశపు వ్యాప్తిని కనుక్కుందాం.
ఇక్కడ గరిష్ఠ విలువ = 82, కనిష్ఠ విలువ = 14, కాబ‌ట్టి వ్యాప్తి = 82 - 14 =68.
అవర్గీకృత దత్తాంశపు సగటు:
3, 9, 12, 16, 27, 31, 14, 24 యొక్క సగటు కనుక్కోండి.

  x₁, x₂, x₃, . . . , x_n అనే పరిశీలనల పౌన:పున్యాలు వరుసగా f₁, f₂, f₃,...,f_n. అంటే x1 పరిశీలన f₁ సార్లు, x₂ పరిశీలన f₂ సార్లు ........... వస్తున్నాయని అర్థం.
    అప్పుడు ఈ అన్ని పరిశీలనాంశాల మొత్తం = f₁x₁ + f₂x₂ +...+ f_nx_n,
మొత్తం పరిశీలనాంశాలు = f₁ + f₂ +,...+ f_n అని అర్థం.

ఉదాహరణలు
1. ఇచ్చిన దత్తాంశానికి స‌గ‌టును క‌నుక్కోండి. 

సాధన:

వర్గీకృత దత్తాంశపు సగటు:
    నిత్యజీవితంలో మన అవసరానికి సేకరించిన దత్తాంశం కొన్ని సందర్భాల్లో చాలా పెద్దదిగా ఉండవచ్చు. దీన్ని అర్థవంతమైన పరిశీలన చేయడానికి వర్గీకృత దత్తాంశంగా మార్చుకుంటారు. వర్గీకృత దత్తాంశంలో తరగతిని అంతరాలుగా విభజిస్తారు. ఈ తరగతిని ప్రతిబింబించేలా ఒక విలువను గుర్తిస్తారు. దీన్నే  మధ్య విలువ అంటారు.  దీన్ని కింది సూత్రం ద్వారా కనుక్కోవ‌చ్చు.

2. ఇచ్చిన దత్తాంశానికి సగటును కనుక్కోండి.

సాధన: 

ఇక్కడ Σf_i = 30, Σf_ix_i =1860.0

ఈ విధంగా సగటును కనుక్కునే పద్ధతిని ప్రత్యక్ష పద్ధతి అంటారు.

   x_i, f_i విలువలు పెద్దగా ఉన్నప్పుడు x_i, f_i ల లబ్ధం కనుక్కోవ‌డం కష్టమవుతుంది. ఈ సూక్ష్మీకరణాల‌ను తగ్గించ‌డానికి మరో విధానం చూద్దాం. దీనికోసం f_i ను మార్చలేం కాబ‌ట్టి xi ను చిన్న సంఖ్యగా చేసినట్లయితే సులభమవుతుంది. ఎలా చేస్తాం? ఒక స్థిర సంఖ్యను ప్రతి x_i నుంచి తగ్గించడం వల్ల ఇది సాధ్యమవుతుంది.
   x_i లలో ఒక విలువను ఊహించిన అంకగణితపు సగటుగా తీసుకుందాం. దీన్ని Aతో సూచిస్తాం. గణనాల‌ను తగ్గించ‌డానికి సాధారణంగా x_i ను x₁, x₂,..., x_n లలో మధ్యవిలువను తీసుకోవాలి.
   విచలనం కనుక్కోవ‌డానికి ప్రతి x_i నుంచి Aను తీసివేయాలి. దీన్ని d_i తో సూచించాలి. i.e. d_i = x_i – A
   త‌ర్వాత‌ d_i లను వాటికి అనురూప f_i లతో గుణించి అన్ని f_i d_i ల మొత్తాన్ని కనుక్కోవాలి. x₁, x₂, . . ., x_n లు X చరరాశిలో విలువలు f₁, f₂, . . . , f_n లు వాటి అనురూప పౌన:పున్యాలు. 'A’ దృష్ట్యా విచలనాలను ఈ విధంగా లెక్కిద్దాం. d_i = x_i – A, i = 1, 2, 3, . . . ,n

పై సూత్రాన్ని ఉపయోగించి అంకగణితపు సగటును కనుక్కోవ‌చ్చు. దీన్ని విచలన పద్ధతి ద్వారా సగటును 'కనుక్కునే పద్ధతి' లేదా 'ఊహించిన అంకగణిత సగటు పద్ధతి' అంటారు.

3. కింది దత్తాంశానికి సగటును కనుక్కోండి.

సాధన:

ఇక్కడ , Σf_i=100, A = 50, Σf_id_i = 300
 

సోపాన విచలన పద్ధతి: విచలనాలన్నింటినీ (d_i లను) ఒక స్థిర సంఖ్య అయిన తరగతి ఎత్తు h (అనుకొనుము)తో భాగిస్తే మరింత సులభమవుతుంది.
ఈ పద్ధతి ద్వారా సగటును కనుక్కోవ‌డాన్ని సోపాన విచలన పద్ధతి అంటారు.

4.  కింది ద‌త్తాంశపు సగటును విచలన పద్ధతి ద్వారా కనుక్కోండి.

సాధన:

ఇక్కడ A = 50, N = 100, h = 20, Σf_iu_i =15
గమనిక:
* అన్ని d_i విలువలకు ఉమ్మడి కారణాంకం ఉంటే సోపాన విచలన పద్ధతి అనువుగా ఉంటుంది.
* పై మూడు పద్ధతుల్లో ఏ పద్ధతిలో కనుక్కున్న‌ప్పటికీ సగటు ఒకే విలువ వస్తుంది.
* విచలన, సోపాన విచలన పద్ధతులు ప్రత్యక్ష పద్ధతిని సులభతరం చేసిన పద్ధతులు మాత్రమే.
* ఒకవేళ A, h విలువలు పై విధంగా ఇవ్వక‌పోతే శూన్యేతర సంఖ్యలై

 అనే సూత్రం వ్యవస్థితం అవుతుంది. ఎందుకంటే 
    ఒకవేళ తరగతి అంతరాలు వేర్వేరుగా ఉన్నప్పటికీ, x_i విలువలు పెద్ద సంఖ్యలు అయినప్పటికీ d_i ల సామాన్య కారణాంకాన్ని 'h’ గా తీసుకుని, సంక్షిప్త విచలన పద్ధతిలో సగటును కనుక్కోవ‌చ్చు.

5. వన్ డే క్రికెట్ ఆటలో బౌలర్లు సాధించిన వికెట్ల వివరాలను కింది పౌన:పున్య విభాజన పట్టికలో చూపించారు. సరైన పద్ధతిని ఎంచుకుని బౌలర్లు సాధించిన సగటు వికెట్లను కనుక్కోండి. ఇలాంటి సగటు ప్రాముఖ్యత ఏమిటి?

సాధన:

అవర్గీకృత దత్తాంశానికి బాహుళకం:
* ఇచ్చిన‌ పరిశీలనల్లో లేదా రాశుల్లో ఎక్కువసార్లు పునరావృతం అయ్యే రాశిని ''బాహుళకం" అంటారు.
ఉదా: ఈ దత్తాంశానికి బాహుళకాన్ని కనుక్కుదాం. 2, 6, 4, 5, 0, 2, 1, 3, 2, 3.
* ఇచ్చిన దత్తాంశాన్ని ఆరోహణ క్రమంలో రాస్తే 0, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6 దీనిలో 2 ఎక్కువసార్లు ఆవృతమైంది కాబట్టి దీని బాహుళకం 2.
* కొన్ని సందర్భాల్లో ఇచ్చిన దత్తాంశానికి రెండు లేదా అంతకంటే ఎక్కువ రాశులు సమాన సంఖ్యలో ఆవృతమవుతుంటాయి. అప్పుడు ఆ రెండు రాశులు కూడా బాహుళకాల‌వుతాయి.
ఉదా: 20, 3, 7, 13, 3, 4, 6, 7, 19, 15, 7, 18, 3 దత్తాంశానికి బాహుళకం కనుక్కోండి?
* వీటిని ఆరోహణ క్రమంలో అమర్చగా 3, 3, 3, 4, 6, 7, 7, 7, 13, 15, 18, 19, 20. ఇక్కడ 3, 7 లు 3 సార్లు తిరిగి వస్తున్నాయి. కాబ‌ట్టి బాహుళకాలు 3, 7 అవుతాయి.
* ఒకే బాహుళకం ఉన్న దత్తాంశాన్ని ఏక బాహుళక దత్తాంశమని, రెండు బాహుళకాలుంటే ద్విబాహుళక దత్తాంశమని, రెండు బాహుళకాల కంటే ఎక్కువ బాహుళకాలుంటే దాన్ని బహు బాహుళక దత్తాంశమని అంటారు.
వర్గీకృత దత్తాంశానికి బాహుళకం:
   వర్గీకృత దత్తాంశానికి పౌన:పున్యాలను చూసి మాత్ర‌మే బాహుళకాన్ని నిర్ణయించలేం. ఇక్కడ గరిష్ఠ పౌన:పున్యం గల తరగతిని బాహుళక తరగతిగా గుర్తిస్తారు. ఈ తరగతిలో బాహుళకం విలువ ఉంటుంది దీన్ని  కింది సూత్రాన్ని ఉపయోగించి కనుక్కోవ‌చ్చు. 

ఇక్కడ l = బాహుళక తరగతి దిగువ హద్దు
           h = బాహుళక తరగతి ఎత్తు(అంతరం) 
           f₁ = బాహుళక తరగతి పౌన:పున్యం
           f₀ = బాహుళక తరగతికి ముందున్న తరగతి పౌన:పున్యం
           f₂ = బాహుళక తరగతికి తర్వాత ఉన్న తరగతి పౌన:పున్యం

6. ఒక ఆవాస ప్రాంతంలో కొంతమంది విద్యార్థుల బృందం 20 కుటుంబాలను సర్వేచేసి, కుటుంబ సభ్యుల సంఖ్యను కింది పౌన:పున్య విభాజన పట్టికలో చూపారు. అయితే ఈ దత్తాంశానికి బాహుళకం కనుక్కోండి.

సాధన:

ఇక్కడ గరిష్ఠ పౌన:పున్యం 8, ఈ పౌన:పున్యాన్ని కలిగిన తరగతి 3-5. ఇదే బాహుళక తరగతి.
కాబ‌ట్టి  (బాహుళక తరగతి దిగువ అవధి, దాని ముందున్న తరగతి ఎగువ అవధిల సరాసరి. దీన్ని బాహుళక తరగతి దిగువ హద్దు అంటారు.)
h = 2, f₁ = 8, f₀ = 7, f₂ = 2

అవర్గీకృత దత్తాంశానికి మధ్యగతం:
  మధ్యగతం అంటే ఇచ్చిన దత్తాంశంలో మధ్యవిలువ. అవర్గీకృత దత్తాంశానికి మధ్యగతం కనుక్కోవ‌డానికి ముందుగా ఇచ్చిన దత్తాంశాన్ని ఆరోహణ/అవరోహణ క్రమంలో అమర్చాలి.
ఉదా: దత్తాంశంలో 'n' పరిశీలనాంశాలు ఉన్నప్పుడు

ఉదా: (i) 2, 5, 3, 7, 9, 11, 7  (ii) 5, 11, 6, 14, 9, 18, 10, 3 ల మధ్యగతం కనుక్కోండి.

7. ఒక పరీక్షలో 50 గరిష్ట మార్కులకు, 100 మంది విద్యార్థులు సాధించిన మార్కులను కింది పట్టికలో ఇచ్చారు. ఈ దత్తాంశానికి మధ్యగతాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన:
ఇక్కడ n = 100, అది ఒక సరిసంఖ్య అప్పుడు మధ్యగతం  రాశుల సరాసరి అవుతుంది. అంటే 50వ, 51వ రాశుల సరాసరి అవుతుంది. ఈ మధ్యమ విలువల స్థానాన్ని కనుక్కోవ‌డానికి ఆరోహణ సంచిత పౌన:పున్యాల‌ను రాయాలి.

పట్టిక నుంచి
50 వ పరిశీలన 28, 51వ పరిశీలన 29.

        
వర్గీకృత దత్తాంశానికి మధ్యగతం:
   వర్గీకృత దత్తాంశంలో సంచిత పౌన:పున్యాన్ని చూడగానే మధ్యవిలువను చెప్పలేం. ఎందుకంటే అది ఆ తరగతిలో ఎక్కడైనా ఉండవచ్చు. దీనికోసం తరగతిని రెండు సమాన భాగాలుగా విభజించ‌డం తప్పనిసరి. అయితే ఏ తరగతిని విభజించాలి?
   దీనికోసం సంచిత పౌన:పున్యాన్ని,

ను కనుక్కోవాలి.  విలువ దాటిన సంచిత పౌన:పున్య తరగతిని గుర్తించి ఆ తరగతిని మధ్యగత తరగతిగా గుర్తించాలి. అప్పుడు కింది సూత్రం ద్వారా మధ్యగతాన్ని కనుక్కోవచ్చు. 

                                  
ఇక్కడ l = మధ్యగత తరగతి దిగువ హద్దు
          n = పరిశీలనాంశాల సంఖ్య/పౌన:పున్యాల మొత్తం
         cf = మధ్యగత తరగతికి ముందున్న తరగతి సంచిత పౌన:పున్యం
         f = మధ్యగత తరగతి పౌన:పున్యం
         h = తరగతి అంతరం (మధ్యగత తరగతి పరిమాణం)

8.  కింది దత్తాంశానికి మధ్యగతాన్ని కనుక్కోండి.

సాధన:

ఈ 26.5 ను కలిగి ఉన్న తరగతి 60-70
60-70 తరగతిని మధ్యగత తరగతి అంటారు.
l=60; cf=22; f=7; h=10 మధ్యగతం 

మధ్యగతం = 66.4

వివిధ కేంద్రీయ స్థాన విలువలు - ప్రత్యేక సందర్భాలు:
   అంకమధ్యమం దత్తాంశంలోని అన్ని రాశుల విలువలను (అత్యల్ప, అత్యధిక విలువలు కూడా) పరిగణనలోకి తీసుకుంటుంది. కాబ‌ట్టి అంకమధ్యమాన్ని అత్యంత విశ్వసనీయమైన కేంద్రీయ స్థాన విలువ అంటారు.
   దత్తాంశంలో విడివిడి రాశులు, ప్రత్యేకంగా అంత్యమ రాశుల విలువలకు, ప్రాముఖ్యత లేనప్పుడు దత్తాంశానికి ప్రాతినిధ్య విలువను కనుక్కోవాల్సి వచ్చినప్పుడు మధ్యగతాన్ని అనువైన కేంద్రీయ స్థాన విలువగా తీసుకుంటారు.
   అనేక‌సార్లు పునరావృతమయ్యే బహు ప్రాముఖ్యం ఉన్న‌ రాశులను గుర్తించాల్సిన సందర్భాల్లో బాహుళకాన్ని కేంద్రీయ స్థాన విలువగా గణిస్తారు.
 

సంచిత పౌన:పున్యాల రేఖాచిత్రాలు:
   పదాల కంటే పటాలు ఎక్కువ అవగాహనను కల్పిస్తాయి. రేఖాచిత్రాలు దత్తాంశాన్ని సమగ్రంగా, శీఘ్రంగా అర్థం చేసుకోవడానికి ఉపయోగపడతాయి. ఇప్పుడు సంచిత పౌన:పున్యాల‌కు రేఖాచిత్రాలను గీయడం ఎలాగో చూద్దాం. దీనికోసం దత్తాంశంలోని తరగతులు అవిభాజక తరగతులై ఉండాలి. అంటే సంచిత పౌన:పున్యాలు తరగతి హద్దులతో సంబంధం కలిగి ఉంటాయి కానీ అవధులతో కాదు.

9. ఒక ప్రాంతంలోని 30 దుకాణాల ఆదాయాల‌ను కింది పట్టిక రూపంలో ఇచ్చారు. ఈ దత్తాంశానికి ఓజీవ్ వక్రాల‌ను గీయండి.

సాధన:
   దత్తాంశంలో ''ఎక్కువ లేదా సమానం'' అని ఇస్తే అవరోహణ సంచిత పౌన:పున్యం ఇచ్చినట్లు, ''తక్కువ లేదా సమానం'' అని ఇస్తే ఆరోహణ సంచిత పౌన:పున్యం ఇచ్చినట్లు అర్థం.
   ముందుగా తరగతి హద్దులను, సంచిత పౌన:పున్యాలను లెక్కించాలి. ఆరోహణ సంచిత పౌన:పున్య వక్రం గీయాలంటే ఎగువ హద్దులను, ఆరోహణ సంచిత పౌన:పున్యాన్ని తీసుకోవాలి. అవరోహణ సంచిత పౌన:పున్య వక్రం గీయాలంటే దిగువ హద్దులు, అవరోహణ సంచిత పౌన:పున్యం తీసుకోవాలి.

X - అక్షంపై తరగతి హద్దులను
Y - అక్షంపై సంచిత పౌన:పున్యాన్ని తీసుకోవాలి.
స్కేలు: X - అక్షంపై 1 సెం.మీ. = 5 యూనిట్లు.
Y - అక్షంపై 1 సెం.మీ. = 5 యూ.

 (10, 2), (15 ,4), (20, 16), (25, 20), (30, 23), (35, 27), (40, 30) ఈ విలువలను ఉపయోగించి గ్రాఫ్ పై  బిందువులను గుర్తించాలి. ఇదే గ్రాఫ్ పై అవరోహణ సంచిత పౌన:పున్య వక్రాన్ని కూడా గీయవచ్చు. ఈ రెండు రేఖల ఖండన బిందువు యొక్క ప్రథమ నిరూపకమే దత్తాంశపు మధ్యగతం. కాబ‌ట్టి మధ్యగతం 17.5.

ర‌చ‌యిత‌: టి.ఎస్‌.వి.ఎస్‌.సూర్యనారాయ‌ణ మూర్తి