I. స్వల్ప సమాధాన ప్రశ్నలు
 

1. వర్గ సమీకరణం ప్రామాణిక రూపం రాయండి.

సాధన: ax² + bx + c = 0 (a, b, c   R & a ≠ 0)

2. మోనిక్ వర్గ సమాసానికి ఉదాహరణ రాయండి.

సాధన: x² + 5x + 6

3.  అనేది వర్గ సమీకరణం అవుతుందా? కాదా ? ఎందుకు ?

సాధన: కాదు. దీన్ని 

⇒ x⁴ + 1 = 2x²

⇒ x⁴ - 2x² + 1 = 0 గా రాస్తే x పరిమాణం = 4.

4. y = ax² + bx + c ను ఏమంటారు?

సాధన: y = ax² + bx + c ను వర్గ ప్రమేయం అంటారు.

5. x = 2 అయినప్పుడు kx² + 2x + 3 = 0 లో k విలువ కనుక్కోండి.

సాధన: k(2)² + 2(2) + 3 = 0

           4k + 7 = 0

           4k = -7

∴ k =  

6. 4x² - 9x = 0 ను సాధించండి.

సాధన: 4x² - 9x = 0

           x(4x - 9) = 0

           x = 0 లేదా 4x - 9 = 0

            x = 0 లేదా x = 

7. (x + 1)³ = x³ + 2 ఒక వర్గ సమీకరణం అవుతుందని చూపండి.

సాధన: x³ + 3x² + 3x + 1 = x³ + 2

     x³ + 3x² + 3x + 1 - x³ - 2 = 0

∴ 3x² + 3x - 1 = 0 ఇది వర్గ సమీకరణం అవుతుంది.

8.  x² + 10x + 7 = 0 మూలాలు కనుక్కోండి.

సాధన:  x² + 10x + 7 = 0

               x² + 3x + 7x + 7

= 0

              x(x +  ) + 7(x +  ) = 0

              (x +  )(x + 7) = 0

              x + 

 = 0 లేదా  x + 7 = 0 

              x = -   లేదా x = -7

9. x² - 16 = 0 ను సాధించండి.

సాధన: x² = 16

          x = ± 

 = ± 4

∴  సాధన సమితి = {+4, −4}

10. px² - x - 2 = 0 వర్గ సమీకరణ సాధన x =  అయితే p విలువ ఎంత?

సాధన: 

11. a²x² - 3abx + 2b² = 0 ను సాధించండి.

సాధన: a2x² - 3abx + 2b² = 0

⇒ a²x² - 2abx - abx + 2b² = 0

⇒ ax(ax - 2b) - b(ax - 2b) = 0

⇒ (ax - b)(ax - 2b) = 0

⇒ ax - b = 0 లేదా ax - 2b = 0

       ax = b లేదా ax = 2b

12. x +  = 3 మూలాలను కనుక్కోండి.

సాధన: x +

 = 3

   ⇒ x² + 2 = 3x

   ⇒ x² - 3x + 2 = 0

  ⇒ x² - 2x - x + 2 = 0

   ⇒ x(x - 2) -1(x - 2) = 0

   ⇒ (x - 1)(x - 2) = 0

∴  x = 1 లేదా x = 2

13. ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణం మూలాలు కనుక్కోండి.

సాధన:

14. x² + 6x + 5 = 0 యెక్క విచక్షణి ఎంత?

సాధన: x² + 6x + 5 = 0

            b² - 4ac = (6)² - 4(1)(5)

                  = 36 - 20

                  = 16 > 0

15. 9x² + 7x − 2 = 0 మూలాలను వర్గం పూర్తి చేయడం ద్వారా కనుక్కోండి.

సాధన:

16. 'n' భుజాలు గల ఒక బహుభుజిలోని కర్ణాల సంఖ్య ఎంత?

సాధన: కర్ణాల సంఖ్య = 

17. 20 భుజాలు గల ఒక బహుభుజిలోని కర్ణాల సంఖ్య ఎంత?

సాధన: కర్ణాల సంఖ్య =  × 20(20 − 3) = 10 × 17 = 170
 

18. x² + 6x + 6 = 0 మూలాల స్వభావం కనుక్కోండి.
సాధన: x² + 6x + 6 = 0            
            b² − 4ac  = (6)² − 4(1)(6)                                
                        = 36 − 24 = 12 > 0
∴ మూలాలు వాస్తవాలు, అసమానాలు.
 

19. ax² + bx + c = 0 వర్గ సమీకరణం యొక్క మూలాల మొత్తం, లబ్ధం ఎంత?
సాధన: మూలాల మొత్తం = 
            మూలాల లబ్ధం = 
 

20. x² + x + 1 = 0  యొక్క మూలాల స్వభావం కనుక్కోండి.

సాధన: x² + x + 1 = 0

           b² − 4ac = (1)² − 4(1)(1)

                           = 1 − 4

                          = −3 < 0

∴ మూలాలు కల్పిత సంఖ్యలు

21. 9x² + 6x + 1 = 0 మూలాల స్వభావం కనుక్కోండి.

సాధన: b² − 4ac = (6)² − 4(9)(1)

                            = 36 − 36 = 0

∴ మూలాలు సమానాలు, వాస్తవాలు.

22. α, β మూలాలుగా గల వర్గ సమీకరణాన్ని రాయండి.

సాధన: x² − x(α + β) + αβ = 0
 

23. 2, 3 మూలాలుగా గల వర్గసమీకరణం రాయండి.

సాధన: x² − x(² + 3) + (2)(3) = 0

    ⇒  x² − 5x + 6 = 0
 

24. 2x² − 5x + 6 = 0 మూలాల మొత్తం, లబ్ధం కనుక్కోండి.

సాధన:

25. k యొక్క ఏ విలువలకు 3x² + 2x + k = 0 వర్గ సమీకరణానికి వాస్తవ విలువలు ఉంటాయి?

సాధన: b² − 4ac = (2)² − 4(3)k

              = 4 − 12k

వాస్తవ విలువ కావాలంటే b² − 4ac ≥ 0 కావాలి.

  4 − 12k ≥ 0

⇒ 4 ≥ 12k

⇒ 12k ≤ 4

⇒ k ≤ 

⇒ k ≤ 

26. k యొక్క ఏ విలువలకు వర్గ సమీకరణం x² − 7kx + 4 = 0 కు సాధనలు వాస్తవాలు, సమానాలు అవుతాయి?

సాధన: b² − 4ac = (−7k)² − 4(1)(4) = 0

  ⇒ 49k² − 16 = 0

  ⇒ 49k² = 16

  ⇒ k² = 

27. b² − 4ac < 0 అయితే y = ax² + bx + c గ్రాఫ్ ఏవిధంగా ఉంటుంది?
సాధన:

28. b² − 4ac = 0 అయితే y = ax² + bx + c గ్రాఫ్ ఏవిధంగా ఉంటుంది?
సాధన:

29. ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార స్థలం వైశాల్యం 600 చ.మీ., దాని పొడవు, వెడల్పు కంటె ఒక మీటరు ఎక్కువ. పొడవు, వెడల్పులను కనుక్కోవడానికి అవసరమైన వర్గ సమీకరణాన్ని రాయండి.
సాధన: వెడల్పు = x మీటర్లు అనుకుంటే
పొడవు = (x + 1) మీటర్లు అవుతుంది.
x(x + 1) = 600
⇒ x² + x - 600 = 0
 

30. ఒక లంబకోణ త్రిభుజం ఎత్తు, భూమి కంటె 1 సెం.మీ. తక్కువ. కర్ణం పొడవు 5 సెం.మీ. అయితే భూమి, ఎత్తులను కనుక్కోవడానికి అవసరమైన వర్గ సమీకరణం రాయండి.
సాధన: భూమి = x సెం.మీ. అనుకుంటే
ఎత్తు = (x - 1) సెం.మీ. అవుతుంది.
x² + (x - 1)² = (5)²
⇒ x² + x² + 1 - 2x = 25
⇒ 2x² - 2x - 24 = 0
⇒ x² - x - 12 = 0
 

31. ఒక త్రిభుజం యొక్క భూమి, దాని ఎత్తుకు రెట్టింపు ఉంది. త్రిభుజ వైశాల్యం 25 చ.సెం.మీ. అయితే దాని భూమి, ఎత్తును కనుక్కోండి.
సాధన: ఎత్తు = x సెం.మీ. అనుకుంటే భూమి = 2x సెం.మీ. అవుతుంది.
త్రిభుజ వైశాల్యం =   × 2x × x = x²
∴ x² = 25 ⇒ x =  = 5 సెం.మీ.
∴ ఎత్తు = 5 సెం.మీ., భూమి = 10 సెం.మీ.
 

32. ఒక తరగతిలో 10 మంది విద్యార్థుల నుంచి ఒక సేవా కార్యక్రమానికి మొత్తం రూ.48 వసూలు చేశారు. ప్రతి అబ్బాయి అమ్మాయిల సంఖ్యకు సమానమైన సొమ్మును; ప్రతి అమ్మాయి, అబ్బాయిల సంఖ్యకు సమానమైన సొమ్మును ఇచ్చారు. ఆ తరగతిలో ఎంతమంది అబ్బాయిలు ఉన్నారు?
సాధన: అబ్బాయిల సంఖ్య = x అనుకుంటే
అమ్మాయిల సంఖ్య = 10 - x అవుతుంది.
x(10 - x) + (10 - x)x = 48
⇒ 10x - x² + 10x - x² = 48
⇒ 20x - 2x² = 48
⇒ 2x² - 20x + 48 = 0
⇒ x² - 10x + 24 = 0
⇒ x² - 6x - 4x + 24 = 0
⇒ x(x - 6) -4(x - 6) = 0
 (x - 4)(x - 6) = 0
∴ x = 4 (or) 6
∴ అబ్బాయిల సంఖ్య = 4 లేదా 6
 

33. , -  మూలాలుగా గల వర్గ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన: 
⇒ 

34. రెండు సంఖ్యల భేదం 3, వాటి లబ్ధం 54 అయితే ఆ సంఖ్యలను కనుక్కోండి.
సాధన: రెండు సంఖ్యలను x, x - 3 అనుకుంటే
వాటి లబ్ధం = x(x - 3) = 54
⇒ x² - 3x - 54 = 0
⇒ x² - 9x + 6x - 54 = 0
⇒ x(x - 9) + 6(x - 9) = 0
⇒ (x - 9)(x + 6) = 0
⇒ x = -6 లేదా 9
∴ కావాల్సిన సంఖ్యలు - 9, -6 లేదా 6, 9
 

35. 26 ను రెండు బాగాలు చేస్తే వాటి లబ్ధం 165. ఆ సంఖ్యలేవి?
సాధన: కావల్సిన సంఖ్యలను x, 26 - x అనుకుంటే, వాటి లబ్ధం = x(26 - x)
లెక్కప్రకారం x(26 - x) = 165
⇒ x² - 26x + 165 = 0
⇒ x² - 15x - 11x + 165 = 0
⇒ x(x - 15) - 11(x - 15) = 0
⇒ (x - 11)(x - 15) = 0
⇒  x - 11 = 0 లేదా x - 15 = 0
∴ x = 11 లేదా x = 15
 

36. ఒక రెండంకెల సంఖ్య దానిలోని అంకెల మొత్తానికి 4 రెట్లు, అంకెల లబ్ధానికి 3 రెట్లు. ఆ సంఖ్య ఏది?
సాధన: పదుల స్థానంలోని అంకెను = x, ఒకట్ల స్థానంలోని అంకెను = y అనుకుంటే
కావాల్సిన సంఖ్య = 10x + y అవుతుంది.
లెక్కప్రకారం 10x + y = 4(x + y) ; 10x + y = 3xy

పదుల స్థానంలోని అంకె '0' కాదు కాబట్టి x ≠ 0
∴ x = 2 ⇒ y = 2(2) = 4
∴ కావలసిన సంఖ్య = 24

దీర్ఘసమాధాన ప్రశ్నలు
 

1. ఒక వర్తకుడు రూ.24 కు ఒక బొమ్మను అమ్మాడు. ఆ బొమ్మను ఎన్ని రూపాయలకు కొన్నాడో అంత శాతమే లాభం వచ్చింది. బొమ్మ కొన్నవెలను కనుక్కోండి.
సాధన: బొమ్మ కొన్నవెల = రూ. x అనుకుంటే లాభశాతం = x%

∴ బొమ్మ కొన్నవెల = రూ.20
 

2. రెండు కుళాయిలు కలిసి ఒక నీళ్లట్యాంకును  నిమిషాల్లో నింపుతాయి. ఆ ట్యాంకును నింపేందుకు ఒక కుళాయికి రెండో కుళాయి కంటే 3 నిమిషాలు ఎక్కువ సమయం పడుతుంది. అయితే ఒక్కో కుళాయి విడివిడిగా ఆ ట్యాంకును ఎన్ని నిమిషాల్లో నింపుతుంది?

∴ x = 5 నిమిషాలు
∴  ఎక్కువ సామర్థ్యం గల కుళాయికి ట్యాంకును నింపడానికి పట్టే కాలం = 5 నిమిషాలు
∴  తక్కువ సామర్థ్యం గల కుళాయికి ట్యాంకును నింపడానికి పట్టే కాలం = 5 + 3 = 8 నిమిషాలు.
 

3. A, B ఒక పనిని 4 రోజుల్లో పూర్తి చేస్తారు. A ఆ పనిని B కంటే 6 రోజులు తక్కువ సమయంలో పూర్తిచేస్తాడు. B ఒక్కడే ఆ పనిని ఎన్ని రోజుల్లో పూర్తి చేయగలడు?
సాధన: B ఒక్కడే ఆ పనిని పూర్తి చేయడానికి పట్టే రోజులు = x అనుకుంటే
A ఒక్కడే ఆ పనిని పూర్తి చేయడానికి పట్టే రోజులు = x - 6 అవుతుంది.
ఇద్దరూ కలిసి ఆ పనిని పూర్తి చేయడానికి పట్టే రోజులు = 4
A ఒక రోజులో చేసే పని = 
B ఒక రోజులో చేసే పని = 
ఇద్దరూ కలిసి ఒక రోజులో చేసే పని = 

x విలువ 6 కంటే తక్కువ ఉండదు.
∴ x = 12
ఆ పనిని పూర్తి చేయడానికి B కి పట్టే రోజులు = 12
 

4. ఒక రైలు 480 కి.మీ. దూరంలోని గమ్య స్థానాన్ని చేరుకోవడానికి సమవేగంతో ప్రయాణిస్తోంది. ఆ రైలు ప్రస్తుత వేగం కంటే 8 కి.మీ. తక్కువ వేగంతో ప్రయాణిస్తే గమ్యాన్ని చేరడానికి పట్టే కాలం 3 గంటలు పెరుగుతుంది. అయితే రైలు వేగం ఎంత?
సాధన: రైలు వేగం = x కి.మీ./ గంట అనుకుంటే

∴ వేగం = 40 కి.మీ./గంట (వేగం రుణాత్మకం కాదు కాబట్టి)
 

5. ఒక దీర్ఘచతురస్రం చుట్టుకొలత 30 మీటర్లు, వైశాల్యం 50 చ.మీ. అయితే దాని కొలతలను కనుక్కోండి.
సాధన: దీర్ఘచతురస్రం పొడవు = x మీటర్లు, వెడల్పు = b మీటర్లు అనుకుంటే
లెక్క ప్రకారం దీర్ఘచతురస్రం చుట్టుకొలత = 30 మీటర్లు
2(x + b) = 30
⇒ x + b = 15
∴ b = 15 - x
కానీ దీర్ఘచతురస్రం వైశాల్యం = 50 చ.మీ.
x(15 - x) = 50
⇒ x² - 15x + 50 = 0
⇒ x² - 10x - 5x + 50 = 0
⇒ (x - 10)(x - 5) = 0
⇒ x - 10 = 0 (లేదా) x - 5 = 0
x = 10 (లేదా) x = 5
∴ దీర్ఘచతురస్రం పొడవు = 10 మీ., వెడల్పు = 5 మీ.
(లేదా) పొడవు = 5 మీ., వెడల్పు = 10 మీ. అవుతుంది.
 

6. ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార స్థలం పొడవు, వెడల్పు వరుసగా 16 మీ., 10 మీ. దాని చుట్టూ బయటి వైపు ఒకే వెడల్పులో బాట ఉంది. దాని వైశాల్యం 120 చ.మీ. అయితే బాట వెడల్పు ఎంత?
సాధన: లోపలి దీర్ఘచతురస్రం వైశాల్యం = 16 × 10 = 160 చ.మీ.
బాట వెడల్పు = x మీటర్లు అనుకుంటే
బయటి దీర్ఘచతురస్రం పొడవు = 16 + x + x
                       = 16 + 2x
బయటి దీర్ఘచతురస్రం వెడల్పు = 10 + x + x
                       = 10 + 2x
బయటి దీర్ఘచతురస్రం వైశాల్యం = (16 + 2x)(10 + 2x)
                               = 160 + 32x + 20x + 4x²
                               = 4x² + 52x + 160
∴ బాట వైశాల్యం = బయటి దీర్ఘచతురస్రం వైశాల్యం - లోపలి దీర్ఘచతురస్రం వైశాల్యం
120 = 4x² + 52x + 160 - 160
⇒ 4x² + 52x - 120 = 0
⇒ x² + 13x - 30 = 0
⇒ x² + 15x  - 2x - 30 = 0
⇒ x(x + 15) -2(x + 15) = 0
⇒ (x + 15)(x - 2) = 0
⇒ x = -15 మీ., x = 2 మీ.
∴  బాట వెడల్పు = 2 మీ.    (బాట వెడల్పు రుణాత్మకం కాదు)
 

7. ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో కర్ణం పొడవు 20 మీ. దాని భూమి, రెండో భుజం మధ్య తేడా 4 మీ. అయితే ఆ రెండు భుజాల కొలతలను కనుక్కోండి.
సాధన: భూమి = x మీటర్లు అనుకుంటే
ఎత్తు = (x + 4) మీటర్లు అవుతుంది.
పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం
(20)² = x² + (x + 4)²
⇒ 400 = x² + x² + 16 + 8x
⇒ 2x² + 8x + 16 - 400 = 0
⇒ 2x² + 8x - 384 = 0
⇒ x² + 4x - 192 = 0
⇒ x² + 16x - 12x - 192 = 0
⇒ x(x + 16) - 12(x + 16) = 0
⇒ (x - 12)(x + 16) = 0
x = 12 (లేదా) x = -16
భూమి కొలత రుణాత్మకం కాదు.
కాబట్టి x = 12 మీ.; ఎత్తు = 12 + 4 = 16 మీ.
 

8. నిలకడ నీటిలో ఒక పడవ 15 కి.మీ./గంట వేగంతో ప్రయాణిస్తూ ప్రవాహ దిశలోనూ, దానికి అభిముఖంగానూ 30 కి.మీ.దూరాన్ని 4 గంటల 30 నిమిషాల్లో దాటింది. అయితే నీటి ప్రవాహ వేగం ఎంత?
సాధన: నీటి ప్రవాహ వేగం = x కి.మీ./గంట అనుకుంటే
ప్రవాహ దిశలో పడవ వేగం = (15 + x) కి.మీ./ గంట
ప్రవాహానికి వ్యతిరేక దిశలో పడవ వేగం = (15 - x) కి.మీ./ గంట
రెండు దిశల్లోనూ 30 కి.మీ. దూరం ప్రయాణించడానికి పట్టిన కాలం = 4 గంటలు

 

9. ఒక దీర్ఘచతురస్రాకార పార్కు పొడవు, వెడల్పునకు రెట్టింపు. పార్కు వైశాల్యం దీర్ఘచతురస్ర వెడల్పునకు సమానమైన భూమి, 10 మీ. ఎత్తు గల ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజ వైశాల్యం కంటే 25 మీ. ఎక్కువ. ఆ పార్కు పొడవు, వెడల్పులను కనుక్కోండి.
సాధన: దీర్ఘచతురస్రాకార పార్కు వెడల్పు = x మీ. అనుకుంటే
పార్కు పొడవు = 2x మీ. అవుతుంది.
దీర్ఘచతురస్రం వైశాల్యం = పొడవు × వెడల్పు
                                  = (2x)(x) = 2x² చ.మీ.
సమద్విబాహు త్రిభుజ భూమి = x మీ.
సమద్విబాహు త్రిభుజ వైశాల్యం =  × x × 10 = 5x
కానీ దత్తాంశం ప్రకారం 2x² = 5x + 25
⇒ 2x² - 5x - 25 = 0
⇒ 2x² + 5x - 10x - 25 = 0
⇒ x(2x + 5) - 5(2x + 5) = 0
⇒ (x - 5)(2x + 5) = 0
x - 5 = 0 (లేదా) 2x + 5 = 0
∴ x = 5 (లేదా) x =  (x రుణాత్మకం కాదు)
∴ పార్కు పొడవు = 2 × 5 = 10 మీ., వెడల్పు = 5 మీ.
 

10. కొంతమంది విద్యార్థులు విహారయాత్రకు వెళ్లాలని నిర్ణయించుకున్నారు. వారి భోజన ఖర్చులు రూ.300 కాగా అందులో అయిదుగురు తమ ప్రయాణాన్ని విరమించుకున్నారు. కానీ ఒక్కొక్కరి భోజన ఖర్చు రూ.5 పెరిగింది. ఎంతమంది విహారయాత్రకు వెళ్లారు?
సాధన: విహారయాత్రకు వెళ్లిన విద్యార్థుల సంఖ్య = x అనుకుంటే
ఒక్కొక్కరి భోజన ఖర్చు = 
విహారయాత్రకు వెళదామనుకున్న విద్యార్థుల సంఖ్య = x + 5
ఒక్కొక్కరికి అయిన భోజన ఖర్చు =  
కానీ లెక్కప్రకారం 

⇒ x² + 5x = 300
⇒ x² + 5x - 300 = 0
⇒ x² + 20x -15x - 300 = 0
⇒ x(x + 20) - 15(x + 20) = 0
⇒ (x + 20)(x - 15) = 0
∴ x = 15
∴ విహారయాత్రకు వెళ్లిన విద్యార్థుల సంఖ్య = 15
 

11. కొంతమంది విద్యార్థులకు రూ.250 ను సమానంగా పంచారు. ఒకవేళ 25 మంది విద్యార్థులు పెరిగితే ఒక్కొక్కరికి 50 పైసలు తక్కువగా వస్తాయి. మొత్తం విద్యార్థులు ఎంతమందో కనుక్కోండి.

12. ఒక వ్యవసాయదారుడు 180 చ.మీ. వైశాల్యం గల దీర్ఘచతురస్రాకార స్థలానికి మూడు వైపులా 39 మీటర్ల ఫెన్సింగ్ వైరుతో కంచె వేశాడు. ఎక్కువ పొడవు ఉన్న వైపు కంచె వేయలేదు. ఆ స్థలం పొడవు, వెడల్పులను కనుక్కోండి.

⇒ x² - 39x + 360 = 0
⇒ x² - 24x - 15x + 360 = 0
⇒ x(x - 24) - 15(x - 24) = 0
⇒ (x - 15)(x - 24) = 0
x - 15 = 0 (లేదా) x - 24 = 0
x = 15 (లేదా) x = 24
∴ వెడల్పు =    = 12 మీ. లేదా  = 7.5 మీ.
 

13. ఒక వ్యక్తి రూ.3600 బడ్జెట్‌లో విహారయాత్రకు వెళదామని నిర్ణయించుకున్నాడు. ఒకవేళ తన ప్రణాళిక 4 రోజులు పెరిగితే, రోజువారీ ఖర్చు రూ.30 తగ్గించుకోవాలని భావించాడు. అయితే అతడు ఎన్ని రోజులు విహారయాత్రకు వెళ్లాలనుకున్నాడు?
సాధన: ప్రణాళిక ప్రకారం మొదట అతడు వెళ్లాలనుకున్న రోజులు = x

 అతడు మొదట వెళ్లాలనుకున్న రోజులు = 20

 పి.వేణుగోపాల్