1. ఒక సరళరేఖ  X - అక్షాల మరియు Y - అక్షాల ధన దిశలో వరుసగా   మరియు   కోణాలను చేస్తే ఆ సరళరేఖ Z - అక్షం ధన దిశలో చేసే కోణాన్ని కనుక్కోండి.

జ: ఇచ్చినది  :   α   =          β    =    

కావాల్సిన కోణం :  γ

        

2. ఒక సరళరేఖకు దిక్ నిష్పత్తులు (3, -4, 12) అయితే ఆ సరళరేఖ యొక్క దిక్  కొసైన్లును కనుక్కోండి

జ: ఇచ్చినది a  = 3,  b  = -4,   c  =  12

ఒక సరళరేఖకు దిక్ నిష్పత్తులు (a, b, c) అయితే ఆ సరళరేఖకు దిక్ కొసైన్లు 

3. (5, -2, 3) మరియు (-2, 3, 7) అనే బిందువులను కలిపే రేఖ యొక్క దిక్ నిష్పత్తులు మరియు దిక్  కొసైన్లును కనుక్కోండి

జ :  ఇచ్చిన బిందువులు: A = (5, -2, 3)

                                  B = (-2, 3, 7) 

A ( x₁,  y₁,  z₁)  మరియు  B  ( x₂,  y₂,  z₂)   అనే బిందువులను కలిపే రేఖ యొక్క దిక్ నిష్పత్తులు 

(x₂  -  x₁,  y₂  -  y₁,   z₂  -  z₁)

AB యొక్క దిక్ నిష్పత్తులు ( -2 -  5,    3  +  2,  7  -  3  )

 ⇒ ( - 7,   5,   4 )   =   ( a,  b,  c )   అనుకుందాం.

     

4. రెండు సరళరేఖలకు దిక్ నిష్పత్తులు ( 1, - 2, 1 ) మరియు ( - 1, 1, 0) అయితే ఆ సరళరేఖల మధ్య కోణాన్ని కనుక్కోండి

జ:  ఇచ్చిన దిక్ నిష్పత్తులు: (a₁, b₁, c₁)   =   (1, - 2, 1)

                                      (a₂, b₂, c₂)  =  (- 1,  1,  0)

(a₁, b₁, c₁) మరియు (a₂, b₂, c₂) లు దిక్ నిష్పత్తులయ్యే రెండు సరళరేఖల మధ్య కోణం θ అయితే
       

    

5. (2, - 3, 1) అనే బిందువు ద్వారా పోతూ (3, 2, -5) లు దిక్ నిష్పత్తులయ్యే సరళరేఖకు సమీకరణాలను కనుక్కోండి

జ: (x₁, y₁, z₁) బిందువు గుండా పోతూ ( a, b, c ) లు దిక్ నిష్పత్తులుగా ఉన్న సరళరేఖకు సమీకరణాలు కావలసిన సమీకరణాలు

    

6. (- 2,  3,  -1)  మరియు  ( 3,  4,  2 ) ల ద్వారా పోయే సరళరేఖకు సమీకరణాలు కనుక్కోండి

జ: ఇచ్చిన బిందువులు:  ( x₁,  y₁,  z₁)    =   ( - 2, 3, - 1 ) 

                                  ( x₂,  y₂,  z₂ )   =   ( 3, 4, 2 )

  

7. A ( - 1, 2, 4 ) మరియు B ( 1, 0, 5 ) అనే బిందువులను కలిపే రేఖపై P ( 3, 4, 5 ) మరియు Q ( 4 , 6, 3 ) అనే బిందువులను కలిపే రేఖ యొక్క విక్షేపాన్ని కనుక్కోండి.

జ: ఇచ్చిన బిందువులు : A ( - 1, 2, 4 ), B ( 1, 0, 5 ) P ( 3, 4, 5 ), Q ( 4, 6, 3 )

 

8. 3l + m + 5n  =  0 మరియు 6mn  -  2nl  + 5lm = 0 అనే రేఖల దిక్ కొసైన్ల మధ్య సంబంధం అయితే ఆ సరళరేఖల మధ్య కోణాన్ని కనుక్కోండి.

జ:  ఇచ్చిన రేఖలు : 3l  +  m  +  5n   =   0  .............  (1) 

                    m  =  - (3l  +  5n)

6mn  -  2nl   +  5lm   =  0     ..............   (2)

(1) (2) ల నుంచి

- 6n ( 3l + 5n ) - 2nl - 5l (3l + 5n) = 0

⇒ -18nl - 30n² - 2nl - 15l² - 25 ln = 0

 ⇒ -15l ² - 45nl - 30n²  =  0

 ⇒  l ²  +  3nl + 2n²  =  0

 ⇒  l ²  +  2nl  +  nl  +  2n²  =  0

  ⇒ l (l  + 2n)  + n (l  + 2n)  =  0

 ⇒ (l  +  n) (l  +  2n)  =  0

  ⇒ l + n = 0   ....................  (3)

⇒ l + 2n = 0 ....................  (4)

(1), (3) లను సాధించగా

3l  +  m  +  5n  =  0

l  +  0 .  m  +  n  =  0

మొదటి రేఖ యొక్క దిక్‌నిష్పత్తులు : 1, 2, - 1

(1), (4)లను సాధించగా

3l  +  m  +  5n   =   0

l  +  0 .  m  +  2n  = 0

రెండో రేఖ యొక్క దిశ నిష్పత్తులు : 2, - 1, - 1 రేఖల మధ్య కోణం 'θ' అనుకుందాం.

9.  ఘనంలోని కర్ణాలతో ఒక రేఖ α, β, r, δ కోణాలు చేస్తే Cos ²α + Cos ²β + Cos ²γ + Cos ²δ =  అని నిరూపించండి.

ఘనం యొక్క భుజం పొడవు 1 అనుకుందాం. మూలబిందువును ఒక మూలగా, దాని ద్వారా పోయే పక్క భుజాలను అక్షాలుగా తీసుకుందాం.

పటం నుంచి,   A = ( 1, 0, 0 ) B = ( 0, 1, 0 )

                   C = ( 0, 0, 1 ) P = ( 1, 1, 1 ) 

                   Q = ( 1, 1, 0 ) R = ( 0, 1, 1 ) 

                   S = ( 1, 0, 1 )

కర్ణం   యొక్క దిక్ సంఖ్యలు : ( 1, 1, 1 )

⇒   కర్ణం    యొక్క దిక్ కొసైన్లు :  

కర్ణం    యొక్క దిక్ సంఖ్యలు : ( - 1, 1, 1 )

⇒   కర్ణం   యొక్క దిక్ దిక్ కొసైన్లు:   

కర్ణం    యొక్క దిక్ సంఖ్యలు : ( 1, 1, 1 )

  ⇒  కర్ణం   యొక్క దిక్ దిక్ కొసైన్లు :  

కర్ణం  యొక్క దిక్ నిష్పత్తులు : (1, 1, - 1)

 ⇒  కర్ణం  యొక్క దిక్ కొసైన్లు : 

ఇచ్చిన రేఖ యొక్క దిక్ కొసైన్లు ( l, m, n) అనుకుందాం
ఆ రేఖ కర్ణాలతో చేసే కోణాలు α, β, r, δ  కాబట్టి

 

10.  A (1, 0, 3) నుండి B (4, 7, 1) మరియు C (3, 5, 3) అనే బిందువులను కలిపే రేఖ మీదకు గీసిన లంబపాదం కనుక్కోండి.

జ: లంబంగా ఉండే రెండు సరళరేఖల ఖండన బిందువును లంబపాదం అంటారు.

 లంబపాదం = D అనుకుందాం

  ని D అనేది  λ : 1 నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది అనుకుందాం.

     

  యొక్క  దిక్ నిష్పత్తులు 

   

 యొక్క  దిక్ నిష్పత్తులు:  (3 - 4, 5 - 7, 3 - 1)

                                         ⇒ (-1,  -2,  2)

                                        ⇒ (1,  2,  -2)