(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a + b)³ = a³ + 3a2b + 3ab² + b³ లాంటి విస్తరణలను కింది తరగతుల్లో నేర్చుకున్నారు.
         వీటిలో, LHS ని గమనిస్తే రెండు పదాల మొత్తానికి ఘాతం ఉంది. ఇలాంటి విస్తరణలను ద్విపద విస్తరణలు అంటారు. ఈ పాఠ్యాంశంలో, రెండు పదాలకు ధనాత్మక పూర్ణసంఖ్య ' n ' ఘాతంగా ఉన్నప్పుడు విస్తరణకి సంబంధించిన సాధారణ సూత్రాన్ని నేర్చుకుంటారు.

ధనాత్మక పూర్ణ ఘాతానికి ద్విపద సిద్ధాంతం:
       n ధనాత్మక పూర్ణ సంఖ్య అయితే
(x + a)ⁿ = ⁿC₀xⁿ  +  ⁿC₁xⁿ -1a + ⁿC₂x^n-2a²  +  ........  +  ⁿC_r x^n-r a_r  + ......... + ⁿC_naⁿ దీన్నే ద్విపద సిద్ధాంతం అంటారు. 
     దీన్ని గణితానుగమన సూత్రం ద్వారా నిరూపించవచ్చు.

గమనిక:
1.  (x + a)ⁿ విస్తరణలోని పదాల సంఖ్య (n + 1)
2.  విస్తరణలో సాధారణ పదం T_r+1 = ⁿC_r x^n-r . a^r

(ఇక్కడ T_{r + 1} అనేది విస్తరణలోని (r + 1) వ పదాన్ని సూచిస్తుంది)

ఉదా : (2x  +  3y)⁵ విస్తరణ కనుక్కోండి.

సాధన సమస్యలు:
1.  (3a  -  4b)⁸ విస్తరణలో నాలుగో పదాన్ని కనుక్కోండి.
2.   విస్తరణలో x⁹ గుణకాన్ని కనుక్కోండి.
3. (x + a)ⁿ విస్తరణలో 2, 3, 4వ పదాల గుణకాలు వరుసగా 240, 720, 1080 అయితే, x, a, n ల విలువలు కనుక్కోండి.
4. (1  +  x)ⁿ విస్తరణలోని, r వ, (r  +  1), (r  +  2) వ పదాల గుణకాలు అంకశ్రేఢిలో ఉంటే,
      n² - (4r  +  1)ⁿ + 4r²  -  2  =  0 అని చూపండి.
5. ద్విపద సిద్ధాంతం ద్వారా,    n

 N,  50ⁿ - 49^{n - 1} ని 49 నిశ్శేషంగా భాగిస్తుందని చూపండి.

(x + a)ⁿ విస్తరణలో మధ్య పదాలు :
        n సరిసంఖ్యలున్న, (x  +  a)ⁿ విస్తరణలోని పదాల సంఖ్య (n + 1), అంటే బేసి సంఖ్య. వీటిలో ఒక మధ్యపదం ఉంటుంది. దానికి ఇరువైపులా  పదాలుంటాయి. కాబట్టి మధ్యపదం  పదమవుతుంది.
మరియు 
మరియు, 'n' బేసి సంఖ్య అయినప్పుడు, పదాల సంఖ్య (n + 1) అంటే సరి సంఖ్య. వీటిలో రెండు మధ్య పదాలుంటాయి.

ఉదా : 1. (2a + 3b)¹⁰ విస్తరణలో మధ్య పదాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన: ఇక్కడ n = 10 సరిసంఖ్య. కాబట్టి ఒక మధ్యపదం ఉంటుంది.

2. (3x  +  5y)²⁵ విస్తరణలోని మధ్య పదాలను కనుక్కోండి.
సాధన: ఇక్కడ n  =  25, బేసి సంఖ్య.

సంఖ్యాత్మక గరిష్ఠ పదాలు:
      (1 + x)ⁿ విస్తరణలో, ఏ పదం విలువైనా ' n ', ' x 'ల విలువలపై ఆధారపడి ఉంటుంది. ' x ' రుణాత్మకమైన విస్తరణలోని కొన్ని పదాలు రుణాత్మకంగానూ, మరికొన్ని ధనాత్మకంగా ఉంటాయి. వీటిని సంఖ్యాత్మక విలువలుగా పరిగణిస్తే, 

 విలువను బట్టి, ఈ విలువ పూర్ణ సంఖ్య ' p ' అయితే, T_p, T_p+1 లు సంఖ్యాత్మకంగా గరిష్ఠంగా ఉంటాయి. వాటి సంఖ్యాత్మక విలువలు సమానంగా ఉంటాయి.  
లేదా ఆ విలువ పూర్ణ సంఖ్య కానట్టయితే, p + f రూపంలో ఉంటే (p  =  పూర్ణ సంఖ్య p, f  =  దశాంశ భాగం i.e. 0  <  f  <  1)
               T_p+1 మాత్రమే సంఖ్యాత్మకంగా గరిష్ఠ విలువ కలిగి ఉంటుంది.

సాధన సమస్యలు