నిర్వచనం: స్థిరబిందువు (S) మరియు స్థిరమైన రేఖ (l) ను ఆధారంగా చేసుకుని P అనే బిందువు అయ్యేలా చలిస్తూ ఉంటే P యొక్క బిందుపథాన్ని శాంకవం అంటారు.
* స్థిర బిందువు (S) ను నాభి అని, స్థిరమైన రేఖ (l) ను నియతరేఖ అని, 'e' ని ఉత్కేంద్రత అని అంటారు.
'e' ని ఆధారంగా చేసుకుని, శాంకవాలు మూడు రకాలు.
1) e = 1 అయితే ఆ శాంకవాన్ని పరావలయం అంటారు.
2) e < 1 అయితే ఆ శాంకవాన్ని దీర్ఘవృత్తం అంటారు.
3) e > 1 అయితే ఆ శాంకవాన్ని అతిపరావలయం అంటారు.
శాంకవ సమీకరణం :
పరావలయం
నిర్వచనం :
స్థిరబిందువు (నాభి) మరియు స్థిరమైన రేఖ (నియతరేఖ) నుంచి దూరాలు సమానమయ్యే బిందుపథాన్ని పరావలయం అంటారు.
పరావలయ సమీకరణం :
భావనాత్మక సిద్ధాంతం
1) ప్రామాణిక రూపంలో పరావలయ సమీకరణం y2 = 4ax అని చూపండి.
నిరూపణ:
'S' అనేది నాభి మరియు ' l ' అనేది పరావలయం యొక్క నియతరేఖ అనుకుందాం.
SA = AZ = a అయ్యేలా SZ మొక్క మధ్యబిందువు A అనుకుందాం
మరియు లు X మరియు Y - అక్షాలుగా ఎన్నుకుంటే
అప్పుడు A = (0, 0), S = (a, 0) మరియు Z = (-a, 0)
పరావలయం మీద P (x, y) అనేది ఏదైనా బిందువు అనుకుందాం.
PM ZZ' మరియు PN X - అక్షంగా గీస్తే
PM = ZN = ZA + AN = x + a
పరావలయ నిర్వచనం నుంచి PS = PM
* ఇదే పరావలయం యొక్క ప్రామాణిక రూపం. ఈ అధ్యాయంలో ముఖ్యమైన పాత్ర పోషించే పదాల నిర్వచనాలను నిర్వచీద్దాం.
అక్షీయరేఖ :
నియతరేఖకు లంబంగా ఉండి నాభి ద్వారా వెళ్లే రేఖ.
నాభిజ్యా :
నాభి ద్వారా వెళ్లే జ్యా.
నాభిలంబం :
అక్షీయరేఖకు లంబంగా ఉండే నాభి జ్యా.
శీర్షం :
శాంకవం మరియు అక్షీయరేఖల ఖండన బిందువు.
నాభి దూరం :
పరావలయం మీద ఉండే బిందువు నుంచి నాభికి ఉండే దూరం.
పరావలయం యొక్క విభిన్నరూపాలు
1) పరావలయం: y2 = 4ax
నాభి: S (a, 0)
శీర్షం: A (0, 0)
నియతరేఖ : x + a = 0
అక్షీయరేఖ : y = 0
నాభిలంబ సమీకరణం: x - a = 0
నాభిలంబ పొడవు: 4a
నాభిదూరం :
శీర్షం వద్ద స్పర్శరేఖ: x = 0
2) పరావలయం: y2 = - 4ax
నాభి : S(-a, 0)
శీర్షం : A (0, 0)
నియతరేఖ : x - a = 0
అక్షీయరేఖ y = 0
నాభిలంబ సమీకరణం: x + a = 0
నాభిలంబ పొడవు: 4a
నాభిదూరం :
శీర్షం వద్ద స్పర్శరేఖ : x = 0
3) పరావలయం: x2 = 4ay
నాభి: S (0, a)
శీర్షం : A (0, 0)
నియత రేఖ : y + a = 0
అక్షీయరేఖ : x = 0
నాభిలంబ సమీకరణం : y - a = 0
నాభిలంబ పొడవు : 4a
నాభి దూరం:
శీర్షం వద్ద స్పర్శరేఖ : y = 0
4) పరావలయం : x2 = - 4ay
నాభి:S (0, -a)
శీర్షం: A (0, 0)
నియతరేఖ : y - a = 0
అక్షీయరేఖ: x = 0
నాభిలంబ సమీకరణం : y + a = 0
నాభిదూరం :
శీర్షం వద్ద స్పర్శరేఖ: y = 0
5) పరావలయం : (y - β)2 = 4a (x - α)
నాభి : S (a + α, β)
శీర్షం : A (α, β)
నియతరేఖ : x + a - α = 0
అక్షీయరేఖ : y - β = 0
నాభిలంబ సమీకరణం : x - a - α = 0
నాభిలంబ పొడవు : 4a
నాభిదూరం :
శీర్షం వద్ద స్పర్శరేఖ : x - α = 0
6) పరావలయం: (x - α)2 = 4a (y - β)
నాభి: S(α, a + β)
శీర్షం: A(α, β)
నియతరేఖ: y + a - β = 0
అక్షీయరేఖ: x - α = 0
నాభిలంబ సమీకరణం: y - a - β = 0
నాభిలంబ పొడవు :4a
నాభిదూరం :
శీర్షం వద్ద స్పర్శరేఖ : y - β = 0