1. దీర్ఘాక్షం పొడవు 8, ఉత్కేంద్రత e = 1/2 గా ఉన్న దీర్ఘ వృత్త సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన : దీర్ఘాక్షం పొడవు = 2a = 8 ∴ a = 4 e = 1/2
కానీ b2 = a2 ( 1 - e2 ) ⇒ b2 = 16 ∴ b2 = 12
∴ దీర్ఘవృత్త సమీకరణం = లేదా 3x2 + 4y2 = 48.
2. ఒక దీర్ఘవృత్తం నాభుల మధ్య దూరం 6, హ్రస్వాక్షం పొడవు 8, అయితే దాని ఉత్కేంద్రత కనుక్కోండి
సాధన : హ్రస్వాక్షం పొడవు = 2b = 8 ∴ b = 4
నాభుల మధ్య దూరం = 2ae = 6 ⇒ ae = 3 ∴ a2e2 = 9
కానీ a2e2 = 9 = a2 - b2 = a2 - 16 ∴ a2 = 25 ⇒ a = 5
ae = 3 లో a = 5 రాస్తే ఉత్కేంద్రత e = 3/5
3. అనే దీర్ఘవృత్తం నాభుల మధ్య దూరం దాని హ్రస్వాక్షం పొడవుకు సమానమైతే దాని ఉత్కేంద్రత కనుక్కోండి.
సాధన : నాభుల మధ్యదూరం = హ్రస్వాక్షం పొడవు
4. ఒక దీర్ఘవృత్తపు దీర్ఘాక్షం పొడవు హ్రస్వాక్షానికి మూడురెట్లు అయితే దాని ఉత్కేంద్రత ఎంత ?
సాధన : దీర్ఘాక్షం పొడవు = 2a = 3 ( హ్రస్వాక్షం పొడవు ) = 3 ( 2b )
5. ఒక దీర్ఘవృత్తం హ్రస్వాక్షపు శీర్షాలు వ్యాసాగ్రాలుగా ఉన్న వృత్తంపై దాని నాభులుంటే, ఆ దీర్ఘవృత్తపు ఉత్కేంద్రత కనుక్కోండి.
సాధన : వృత్త సమీకరణం x2 + y2 = b2 (ae , 0) దీనిపై ఉంటుంది.
6. దీర్ఘాక్షం పొడవు 8, నియతరేఖల మధ్యదూరంగా ఉన్న దీర్ఘవృత్త సమీకరణం తెలపండి.
సాధన : దీర్ఘాక్షం పొడవు = 2a = 8 ∴ a = 4
7. x + 4y = 4 అనే సరళరేఖకు x2 + 4y2 = 4 అనే దీర్ఘవృత్తం దృష్ట్యా ధ్రువ నిరూపకాలు కనుక్కోండి.
సాధన : ధ్రువ నిరూపకాలు
8. ఒక దీర్ఘవృత్తపు అక్షాలు నిరూపకాక్షాలు. ఒక నాభి (4, 0). దాని ఉత్కేంద్రత 4/5 అయితే ఆ దీర్ఘవృత్త సమీకరణం కనుక్కోండి.
సాధన : ae = 4, e = 4/5 ⇒ a = 5
9. 9x2 + 5y2 - 18x - 20y - 16 = 0 అనే దీర్ఘవృత్తం ఉత్కేంద్రత ఎంత ?
సాధన : దత్త సమీకరణాన్ని 9 (x - 1)2 + 5 (y - 2)2 = 45 గా రాయవచ్చు.
10. ప్రామాణిక రూపంలో దీర్ఘవృత్తపు నాభిలంబ పొడవు దీర్ఘాక్షం పొడవులో సగం ఉంటే ఉత్కేంద్రత కనుక్కోండి.
సాధన : దీర్ఘవృత్తపు నాభి లంబం పొడవు =
దీర్ఘాక్షం పొడవు = 2a
14. 9x2 + 16y2 - 36x + 32y - 92 = 0 సూచించే దీర్ఘవృత్తానికి ఉత్కేంద్రత, నాభుల నిరూపకాలు, నాభిలంబం పొడవు, నియత రేఖా సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన: 9x2 + 16y2 - 36x + 32y - 92 = 0
9( x2 - 4x + 4 ) + 16( y2 + 2y + 1 ) = 92 + 36 + 16
9(x - 2)2 + 16 ( y + 1 )2 = 144
15. ఒకటో పాదంలో నాభి లంబాగ్రం వద్ద 9x2 + 16y2 = 144 దీర్ఘవృత్తానికి స్పర్శరేఖ, అభిలంబ రేఖల సమీకరణాలు కనుక్కోండి.
సాధన: 9x2 + 16y2 = 144