దత్తాంశం నుంచి నియతరేఖల మధ్య దూరం = 4=2    కానీ e =

కానీ e, a, b  ల మధ్య సంభంధం  నుంచి ,b² = a² (e² - 1)
   
రెండు దత్తవృత్తాలను బాహ్యంగా స్పృశించే వృత్తకేంద్ర
    బిందుపథం అతి పరావలయం అవుతుంది. ఎందుకంటే, SP =a + r
              S' P = b + r
    .^..| SP - S'P| = |a + r- b - r |
     = |a- b| (ఒక స్థిరసంఖ్య)
    కాబట్టి P యొక్క బిందుపథం ఒక అతిపరావలయం అవుతుంది.  
.^..| SP - S'P| = |a + r- b - r |
               = |a- b| (ఒక స్థిరసంఖ్య)
         కాబట్టి P యొక్క బిందుపథం ఒక అతిపరావలయం అవుతుంది.  
(రెండు స్థిరబిందువుల నుంచి ఒక చలన బిందువుకు ఉన్న దూరాల తేడా యొక్క పరమమూల్యం ఒక స్థిరసంఖ్య అయితే, ఆ బిందువు బిందుపథం అతిపరావలయం అవుతుంది)
 

 

3. ఒక అతిపరావలయ తిర్యక్ అక్షం పొడవు 2 sinθ. దీని నాభి నిరూపకాలు 3x² + 4y² = 12 అనే దీర్ఘ వృత్తపు నాభి నిరూపకాలకు సమానమైతే, ఆ అతిపరావలయ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
 సాధన:     తిర్యక్  అక్షం  పొడవు = 2a  = 2 sinθ    ∴ a = sinθ.
కావలసిన  అతి పరావలయ సమీకరణం    

దీని ఉత్కేంద్రత  e =
 
  ∴ b² =1 - sin²θ  = cos²θ  
 అతి పరావలయ సమీకరణం 
 = x² cosec²θ - y² sec²θ = 1.
 

4.  అనే దీర్ఘవృత్తపు నాభి ఒక అతిపరావలయం మీది బిందువు. ఈ దీర్ఘవృత్త దీర్ఘాక్ష,  హ్రస్వాక్షాలే అతిపరావలయం యొక్క తిర్యక్, సంయుగ్మాక్షాలు. దీర్ఘవృత్తపు, అతిపరావలయపు ఉత్కేంద్రతల లబ్ధం '1'  అయితే ఆ అతి పరావలయ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి. 

 

5. 4x² - 9y² - 8x - 32 = 0 సూచించే అతిపరావలయానికి కేంద్రం, నాభులు, నియతరేఖా సమీకరణాలు, నాభి లంబం పొడవులను కనుక్కోండి.
సాధన: 4x² - 9y² - 8x - 32 = 0
       = 4(x² - 2x) - 9y² = 32

       = 4(x² - 2x + 1) - 9y² = 32 + 4
       =  4(x- 1)² - 9y² = 36

కేంద్రం = C = (h, k) = (1, 0) 
 అర్ధతిర్యక్ అక్షం పొడవు = a = 3 
 అర్ధతిర్యక్ సంయుగ్మాక్షం పొడవు = b = 2