దత్తాంశం నుంచి నియతరేఖల మధ్య దూరం = 4=2 కానీ e =
కానీ e, a, b ల మధ్య సంభంధం నుంచి ,b2 = a2 (e2 - 1)
రెండు దత్తవృత్తాలను బాహ్యంగా స్పృశించే వృత్తకేంద్ర
బిందుపథం అతి పరావలయం అవుతుంది. ఎందుకంటే, SP =a + r
S' P = b + r
...| SP - S'P| = |a + r- b - r |
= |a- b| (ఒక స్థిరసంఖ్య)
కాబట్టి P యొక్క బిందుపథం ఒక అతిపరావలయం అవుతుంది.
...| SP - S'P| = |a + r- b - r |
= |a- b| (ఒక స్థిరసంఖ్య)
కాబట్టి P యొక్క బిందుపథం ఒక అతిపరావలయం అవుతుంది.
(రెండు స్థిరబిందువుల నుంచి ఒక చలన బిందువుకు ఉన్న దూరాల తేడా యొక్క పరమమూల్యం ఒక స్థిరసంఖ్య అయితే, ఆ బిందువు బిందుపథం అతిపరావలయం అవుతుంది)
3. ఒక అతిపరావలయ తిర్యక్ అక్షం పొడవు 2 sinθ. దీని నాభి నిరూపకాలు 3x2 + 4y2 = 12 అనే దీర్ఘ వృత్తపు నాభి నిరూపకాలకు సమానమైతే, ఆ అతిపరావలయ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన: తిర్యక్ అక్షం పొడవు = 2a = 2 sinθ ∴ a = sinθ.
కావలసిన అతి పరావలయ సమీకరణం
దీని ఉత్కేంద్రత e =
∴ b2 =1 - sin2θ = cos2θ
అతి పరావలయ సమీకరణం
= x2 cosec2θ - y2 sec2θ = 1.
4. అనే దీర్ఘవృత్తపు నాభి ఒక అతిపరావలయం మీది బిందువు. ఈ దీర్ఘవృత్త దీర్ఘాక్ష, హ్రస్వాక్షాలే అతిపరావలయం యొక్క తిర్యక్, సంయుగ్మాక్షాలు. దీర్ఘవృత్తపు, అతిపరావలయపు ఉత్కేంద్రతల లబ్ధం '1' అయితే ఆ అతి పరావలయ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
5. 4x2 - 9y2 - 8x - 32 = 0 సూచించే అతిపరావలయానికి కేంద్రం, నాభులు, నియతరేఖా సమీకరణాలు, నాభి లంబం పొడవులను కనుక్కోండి.
సాధన: 4x2 - 9y2 - 8x - 32 = 0
= 4(x2 - 2x) - 9y2 = 32
= 4(x2 - 2x + 1) - 9y2 = 32 + 4
= 4(x- 1)2 - 9y2 = 36
కేంద్రం = C = (h, k) = (1, 0)
అర్ధతిర్యక్ అక్షం పొడవు = a = 3
అర్ధతిర్యక్ సంయుగ్మాక్షం పొడవు = b = 2