* ఒక స్వతంత్ర చలరాశి మరియు ఒకటి లేదా అంతకంటే ఎక్కువ స్వతంత్ర చలరాశుల ఆధారంగా అవకలజాలతో ఏర్పడిన సమీకరణాన్ని అవకలన సమీకరణం అంటారు.
* ఒక సమీకరణంలోని అవకలజాలు ఒకే స్వతంత్ర చలరాశిపై ఆధారపడి ఉంటే ఆ సమీకరణాన్ని సామాన్య అవకలన సమీకరణం అంటారు.

* ఒక సమీకరణంలోని అవకలజాలు రెండు (లేదా) అంతకంటే ఎక్కువ చలరాశులపై ఆధారపడి ఉంటే ఆ సమీకరణాన్ని పాక్షిక అవకలన సమీకరణం అంటారు.

ఈ అధ్యాయంలో ప్రథమ పరిమాణ, ప్రథమ ఘాతం ఉన్న నాలుగు రకాల సమీకరణాలను పరిశీలిస్తాం.
(1) విభజనీయ చలరాశుల రకం
(2) సమఘాత సమీకరణాల రకం
(3) అసమఘాత సమీకరణాల రకం.
(4) ఏకఘాత సమీకరణాల రకం.

సమఘాత సమీకరణాల రకం
    f (x,  y), g (x,  y) లు x , y లలో సమఘాత ప్రమేయాలు మరియు ప్రథమ తరగతి అయితే
సమీకరణాన్ని ప్రథమ పరిమాణపు సమఘాత సమీకరణం అంటారు.
ఆ సమీకరణాన్ని   రూపంలోకి మార్చవచ్చు.
* y = vx (v ఒక చలరాశి) మరియు  ప్రతిక్షేపణలు ఉపయోగించి v మరియు x లలో చరరాశుల విభజన రకంలో మార్చి సాధించవచ్చు.
* అవకలన సమీకరణాల సాధన సమాకలనంపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

(1) చలరాశుల విభజన రకం 
     ఒక అవకలన సమీకరణాన్ని

 (లేదా) f ( x ) dx  =  g ( y ) dy (లేదా)
f ( x ) dx  - g ( y ) dy  =  0 గా రాయగలిగితే ఆ సమీకరణాన్ని చలరాశుల విభజన రకం అంటారు.
* కొన్ని సందర్భాల్లో  సమీకరణాన్ని చలరాశుల విభజన రూపంలోకి మార్చడం వీలు కాదు.
ఆ సందర్భంలో తగిన ప్రతిక్షేపణ ద్వారా చలరాశుల విభజన రూపంలోకి మార్చి సాధిస్తాం.

(2) అసమఘాత సమీకరణాల రకం
* a, b, c, a', b', c' లు స్థిరసంఖ్యలుగా ఉన్న సమీకరణం  ను  అసమఘాత ప్రథమ తరగతి సమీకరణం  అంటారు

ఈ సమీకరణాన్ని ax + by = V ప్రతిక్షేపణతో చరరాశుల విభజన రకంలో మార్చి సాధించవచ్చు.

* ah + bk + c = 0 మరియు a'h + b'k + c' = 0 అయ్యేలా h , k లను ఎంపిక చేస్తే, సమీకరణం
  గా మారుతుంది.
* ఇది X , Y లతో సమఘాత సమీకరణం కాబట్టి Y = VX ప్రతిక్షేపణ ద్వారా సాధించవచ్చు. చివరగా, X బదులు x - h మరియు Y బదులు y - k తారుమారు చేస్తే x మరియు y లతో సాధన పూర్తవుతుంది.
ఇదేవిధంగా  ఇక్కడ P , Q లు y లో ప్రమేయాలు అనేది x లో ప్రథమ పరిమాణ ఏకఘాత సమీకరణం. ఈ సందర్భంలో సమాకలన గుణకం  (I. F.) e ∫Pdy మరియు సాధన x (I.F.)  =  ∫ Q(I.F.)dy  +  c లు అవుతాయి.

సంవృత ప్రదేశాల వైశాల్యాలు

1. సంఖ్యాత్మక సమాకలనం పరిబద్ధమైన ప్రదేశ వైశాల్యాల గురించి తెలుపుతుంది.
2. పరిబద్ధమైన ప్రదేశాలు రెండు ఖండించుకునే వక్రాల మధ్య ఉంటాయి. ఈ ప్రదేశాలు వక్రం మరియు ఒక సరళరేఖ మధ్య ఉంటాయి, ఒక వక్రం నిరూపకాక్షాలతో, ఒక సరళరేఖ అంతర్ ఖండరూపంతో మరియు నిరూపకాక్షాలతో, వర్గ సమీకరణంతో ఏర్పడే వక్రం X- అక్షం లేదా Y - అక్షం

3.  వైశాల్యాలను కనుక్కునేటప్పుడు పాటించాల్సిన అంశాలు:
(i) వక్రం యొక్క స్వభావం తెలుసుకోవడం.
(ii) సమస్యలోని ఖండన బిందువులను కనుక్కోవడం.
(iii) తగిన అవధులను ఉపయోగించి సమాకలని ∫ ydx లేదా ∫ xdy లను కనుక్కోవడం.
(iv) నిర్ణీత సమాకలన పద్ధతి ద్వారా కావాల్సిన వైశాల్యం పొందవచ్చు.
(v) వైశాల్యం కనుక్కోవలసిన ప్రదేశాన్ని రేఖా చిత్రంతో గుర్తించడం
4. ముఖ్యమైన వైశాల్యాలు
(i) x² + y² = r² వృత్త వైశాల్యం Πr²

(ii) దీర్ఘవృత్త వైశాల్యం Πab
(iii) y²  =  4ax మరియు x²  =  4by పరావలయాల మధ్య వైశాల్యం
(iv) y²  =  4ax మరియు x² = 4ay పరావలయాల మధ్య వైశాల్యం
(v) y²  =  4ax మరియు y  =  mx లతో పరిబద్ధ వైశాల్యం
(vi) y² =  4ax మరియు x  =  a లతో పరిబద్ధ వైశాల్యం
(vii) y²  =  4bx మరియు x  =  b లతో పరిబద్ధ వైశాల్యం
(viii) x²  =  4by,  x  =  a లతో మరియు X - అక్షంతో పరిబద్ధ వైశాల్యం

(ix) x²  =  4ay, x  =  a లతో మరియు X - అక్షంతో పరిబద్ధ వైశాల్యం
(x) y = sinax, X - అక్షంతో [0, Π] అంతరంలో పరిబద్ధ వైశాల్యం
(xi) y = sinax, X - అక్షంతో [0, 2Π] అంతరంలో పరిబద్ధ వైశాల్యం
(xii) y = ax² + bx + c, X - అక్షంతో పరిబద్ధ వైశాల్యం
(xiii) x = ay² + by + c, Y - అక్షంతో పరిబద్ధ వైశాల్యం