క్షేత్రమితి

(స్తూపం, శంకువు, గోళం, అర్ధ గోళం) 

స్థిర దూరంలోని బిందువుల సమితి గోళం
 

భవనాలు, టవర్లు, స్మారక చిహ్నాలు, శిఖరాలు, శిల్పాలు, గోళాలు, డోమ్‌లు తదితరాలన్నీ చుట్టూ పరిసరాల్లో కనిపిస్తుంటాయి. భవనాలు కట్టడానికి అవసరమయ్యే మెటీరియల్, గుడారం వేసేందుకు కావాల్సిన క్లాత్‌ మొదలైన వాటిని అంచనా వేయాలంటే వైశాల్యాలు తెలియాలి. రకరకాల ఆకారాల్లో ఉండే వాటి వైశాల్యాలు కనుక్కోవాలంటే గణితంలో స్తూపాలు, శంకువులు, గోళాలు, అర్ధ గోళాలపై పోటీ పరీక్షార్థులకు అవగాహన ఉండాలి. దాంతోపాటు వ్యాసార్ధాలు, ఘనపరిమాణాలు, శీర్షాలు, పక్కతల, సంపూర్ణాంతర వైశాల్యాలు లెక్కగట్టడంపై పట్టు పెంచుకోవాలి. సంబంధిత సూత్రాలు నేర్చుకోవాలి.

 స్తూపం (Cylinder):
 

*  పక్కతలాలు వక్రతలాలుగా, చివరలు సర్వసమాన వృత్తాలుగా ఉన్న జ్యామితీయ వస్తువును స్తూపం అంటారు. 

*  వీటి వృత్తాకార చివరలు మధ్య బిందువులను కలిపే రేఖ భూమికి లంబంగా ఉంటే ఆ పటాన్ని క్రమ వృత్తాకార స్తూపం లేదా క్రమ స్తూపం అంటారు. 

*  వ్యాసార్ధం r, ఎత్తు h ఉన్న స్తూపం పక్కతల వైశాల్యం   = దీర్ఘచతురస్ర వైశాల్యం 

 శంకువు (Cone):
 

*  భూమి వృత్తంగా ఉండి, దీనికి పైభాగం శీర్షంగా ఉన్న జ్యామితీయ వస్తువును శంకువు అంటారు. 

*  శంకువు శీర్షం నుంచి దాని భూమికి గీసిన లంబం, భూమి కేంద్రం ద్వారా వెళితే ఆ శంకువును క్రమవృత్త శంకువు అంటారు.

* శంకువు భూమి అంచుపై ఏదో ఒక బిందువుతో శీర్షాన్ని కలిపే రేఖాఖండాన్ని ఏటవాలు ఎత్తు అంటారు. 

గోళం (Sphere):
 

* త్రిపరిమాణ అంతరాళంలో ఒక దత్త బిందువు నుంచి స్థిర దూరంలో ఉండే బిందువుల సమితి గోళం.

*  స్థిర బిందువును కేంద్రంగా, స్థిర దూరాన్ని వ్యాసార్ధంగా పరిగణిస్తారు.

*  గోళం రెండు సమాన భాగాలుగా విభజితమైతే, వక్రతలం కూడా రెండు సమాన భాగాలుగా విభజితమవుతుంది.

అర్ధ గోళం (Hemi-sphere):

*  గోళం యొక్క కేంద్రం ద్వారా వెళ్లే సమతలం, గోళాన్ని చేసిన రెండు సమాన భాగాల్లో ఒకదాన్ని అర్ధ గోళం అంటారు. 

మాదిరి ప్రశ్నలు 
 

1.  ఒక క్రమ వృత్తాకార స్తూపం భూవ్యాసార్ధం 14 సెం.మీ., ఎత్తు 21 సెం.మీ. అయితే పక్కతల వైశాల్యం ఎంత? (చ.సెం.మీ.లలో..) 

1) 1648     2) 1748   3) 1848   4) 1948 

2. స్తూపం ఘనపరిమాణం 308 ఘ.సెం.మీ., ఎత్తు 8 సెం.మీ. అయితే దాని సంపూర్ణతల వైశాల్యం ఎంత? (చ.సెం.మీ.లలో..) 

1) 253    2) 273    3) 186   4) 176

3.  ఒక దీర్ఘచతురస్ర ఆకారపు కాగితం   11 సెం.మీ. x 4 సెం.మీ. కొలతలతో ఉంది. దాని అంచులు అధ్యారోహణం ఉండేలా 4 సెం.మీ. ఎత్తున్న స్తూపంగా మలిస్తే, దాని ఘనపరిమాణం ఎంత? (ఘ.సెం.మీ.లలో..)

1) 28.5   2) 38.5   3) 35.8   4) 48.5

4. ఒక లోహపు దీర్ఘఘనం 22 సెం.మీ. ´15 సెం.మీ. x 7.5 సెం.మీ. కొలతలతో ఉంది. దాన్ని కరిగించి  14 సెం.మీ. ఎత్తున్న ఒక స్తూపంగా చేస్తే దాని వ్యాసార్ధం ఎంత?

1) 4.5 సెం.మీ.   2) 6.5 సెం.మీ.   

3) 7.8 సెం.మీ.    4) 7.5 సెం.మీ.

5. స్తూపం పక్కతల వైశాల్యం మారకుండా, దాని వ్యాసార్ధాన్ని రెట్టింపు చేస్తే దాని ఎత్తులో కలిగే మార్పు ఎంత?

1) రెట్టింపు అవుతుంది   2) సగమవుతుంది   

3) 4 రెట్లు అవుతుంది   4) మార్పు ఉండదు

6. ఒక స్తూపం పక్కతల వైశాల్యం  4400 చ.సెం.మీ., భూపరిధి  110 సెం.మీ. అయితే ఆ స్తూపం ఎత్తు ఎంత? (సెం.మీ.లలో..)

1) 20   2) 26.5  3) 40  4) 35.5

7. ఒక శంకువు పక్కతల వైశాల్యం  4070 చ.సెం.మీ., వ్యాసం 70 సెం.మీ. అయితే దాని ఏటవాలు ఎత్తు ఎంత?

1) 27 సెం.మీ.     2) 37 సెం.మీ.   

3) 47 సెం.మీ.    4) 33 సెం.మీ. 

8. శంకువు భూవైశాల్యం 38.5 చ.సెం.మీ., ఘనపరిమాణం 77 ఘ.సెం.మీ. అయితే దాని ఎత్తు ఎంత?

1) 3.5 సెం.మీ.       2) 5 సెం.మీ.  

3) 4 సెం.మీ.       4) 6 సెం.మీ.

9. శంకువు ఘనపరిమాణం 462 ఘ.మీ., భూవ్యాసార్ధం 7 మీ. అయితే దాని ఎత్తు ఎంత?

1) 11 మీ.  2) 9 మీ.   

3) 8 మీ.   4) 7 మీ.

10. ఒక గుడారం ఎత్తు 9 మీ., దాని వ్యాసం 24 మీ. అయితే ఆ గుడారాన్ని తయారుచేయడానికి కావాల్సిన వస్త్రం వెల చ.మీ.కు రూ.14 అయితే మొత్తం వస్త్రం వెల ఎంత?

1) రూ.7290       2) రూ.8720   

3) రూ.9720       4) రూ.72920

11. ఒక స్తూపం, శంకువు సమాన భూవ్యాసార్ధం, ఎత్తులతో ఉన్నాయి. అయితే వాటి ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి ఎంత?

1) 2 : 3  2) 3 : 1 3) 1 : 2 4) 1 : 4

12. ఒక గోళం వ్యాసార్ధం 3.5 సెం.మీ. అయితే దాని ఉపరితలవైశాల్యం ఎంత?

1) 168 చ.సెం.మీ.     2) 154 చ.సెం.మీ.   

3) 129 చ.సెం.మీ.  4) 179 చ.సెం.మీ.

13. 4.9 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంగా ఉన్న గోళం యొక్క ఘనపరిమాణం ఎంత?

1) 593 ఘ.సెం.మీ. 2) 493 ఘ.సెం.మీ.   

3) 573 ఘ.సెం.మీ. 4) 463 ఘ.సెం.మీ.

14. గ్లోబులో భూమధ్యరేఖ పొడవు  44 సెం.మీ. అయితే దాని ఉపరితల వైశాల్యం ఎంత? (చ.సెం.మీ.లలో..)

1) 616  2) 516  3) 626 4) 526

15. రెండు గోళాల ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి 8 : 27. అయితే వాటి వక్రతల వైశాల్యాల నిష్పత్తి ఎంత?

1) 2 : 3  2) 4 : 3  3) 2 : 9 4) 4 : 9

16. 3.5 సెం.మీ. వ్యాసార్ధం ఉన్న అర్ధ గోళం యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం ఎంత? (చ.సెం.మీ.లలో..)

1) 115.5 2) 11.55 3) 112.5 4) 11.25

17. 10 సెం.మీ. వ్యాసార్ధంగా ఉన్న అర్ధ గోళం యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యం ఎంత? 

1) 842 చ.సెం.మీ. 2) 962 చ.సెం.మీ.

3) 892 చ.సెం.మీ. 4) 942 చ.సెం.మీ.

18. ఒక గోళాకార బెలూన్‌ వ్యాసం  14 సెం.మీ. నుంచి 28 సెం.మీ. వరకు పెరిగేలా గాలితో నింపారు. ఈ రెండు సందర్భాల్లోని ఉపరితల వైశాల్యాల నిష్పత్తి ఎంత?

1) 1 : 2  2) 1 : 16  3) 1 : 4  4) 1 : 8

19. ఒక స్తూపం, ఒక శంకువు, ఒక అర్ధగోళం ఒకే ఎత్తు, ఒకే భూవ్యాసార్ధాలను కలిగి ఉన్నాయి. అయితే వాటి ఘనపరిమాణాల నిష్పత్తి ఎంత?

1) 3 : 1 : 2      2) 3 : 2 : 1  

3) 1 : 3 : 2      4) 1 : 2 : 3

20. శంకువు వ్యాసార్ధం, ఎత్తు 6 సెం.మీ., 7 సెం.మీ., అయితే దాని ఘనపరిమాణం ఎంత? (ఘ.సెం.మీ.లలో..)

1) 308  2) 264  3) 246  4) 380

జవాబులు: 1-3; 2-1; 3-2; 4-4; 5-2;  6-3; 7-2; 8-4; 9-2; 10-4; 11-2; 12-2; 13-2; 14-1; 15-4; 16-1;  17-4; 18-3; 19-1; 20-2.
 

 

రచయిత: సి.మధు