రేఖీయ సమీకరణాలు

సరళరేఖ సంబంధాలకు సరైన వ్యక్తీకరణ!

ఒక వాహనం ప్రయాణించిన దూరం, దాని వేగానికి, కాలానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. వచ్చిన ఆదాయం నుంచి వ్యయాన్ని తీసేస్తే మిగులు లేదా లోటు వస్తుంది. గణితంలో ఈ అంశాలను ఒక సమీకరణ రూపంలో తెలియజేయవచ్చు. చరరాశుల మధ్య ఉండే సరళరేఖ సంబంధాలను సూచించే బీజగణిత వ్యక్తీకరణలను రేఖీయ సమీకరణాలు అంటారు. ఇంజినీరింగ్, సైన్స్, ఫైనాన్స్‌ తదితర రంగాల్లో ఎదురయ్యే సమస్యలను అర్థం చేసుకోవడానికి, పరిష్కరించడానికి ఇవి ఉపయోగపడతాయి. సంబంధిత మౌలికాంశాలను పోటీ పరీక్షార్థులు తెలుసుకోవాలి. వాటితోపాటు వివిధ రేఖీయ సమీకరణాల నిర్వచనాలను అర్థం చేసుకోవాలి. 

* చరరాశుల గరిష్ఠ ఘాతం ‘1’గా ఉన్న సమీకరణాన్ని రేఖీయ సమీకరణం అంటారు.

   ఉదా: x + y + z = 10

* ఒక రేఖీయ సమీకరణంలో ఒకే ఒక చరరాశి ఉంటే, ఆ సమీకరణాన్ని ఏకచరరాశిలో రేఖీయ సమీకరణం లేదా సామాన్య సమీకరణం అంటారు.

   ఉదా: x + 5 = 10

* సమానత్వపు (=) గుర్తు ఉండే అనిశ్చిత వాక్యాన్ని సమీకరణం అంటారు.

   ఉదా: x + y = 9

* సమీకరణాన్ని సత్యం చేయడానికి చరరాశికి బదులు ఏ విలువను ప్రతిక్షేపిస్తామో ఆ విలువను ఆ సమీకరణం యొక్క మూలం అంటారు. ఇలా చరరాశి విలువను కనుక్కోవడాన్ని సమీకరణ సాధన అంటారు.

* ఒక సమీకరణంలోని చరరాశులకు ఏ వాస్తవ విలువను ఇచ్చినా అది సత్య వాక్యమైతే ఆ సమీకరణాన్ని సర్వసమీకరణం అంటారు

   ఉదా: (a + b)² = a² + b² + 2ab

* సత్యం లేదా అసత్యమని నిర్ణయించడానికి వీలయ్యే వాక్యాలను ప్రవచనాలు అంటారు. సత్యం లేదా అసత్యమని చెప్పడానికి వీల్లేని వాక్యాలను అనిశ్చిత వాక్యాలు అంటారు.

అసమీకరణాలు

* సమాసాలను జి లేదా చీ లతో కలిపితే, వాటిని అసమీకరణాలు అంటారు.

* రెండు రాశుల మొత్తం భేదం ఇచ్చినప్పుడు  

* అయిదు వరుస గుణిజాల మొత్తాన్ని, 5తో భాగిస్తే మధ్యరాశి వస్తుంది.

* ఒక రేఖీయ సమీకరణంలో రెండు చరరాశులు ఉంటే దాన్ని రెండు చర రాశుల్లో రేఖీయ సమీకరణం అంటారు.

   ఉదా: 4x + 2y = 100

* ఒక రేఖీయ సమీకరణాన్ని మరొక రేఖీయ సమీకరణంతో జత చేస్తే అలాంటి సమీకరణాల జతను సమీకరణాల వ్యవస్థ అంటారు. ఇవి   ప్రధానంగా మూడు రకాలు.

సమన్విత సమీకరణాలు 

*  రెండు చరరాశుల్లో రెండు సమన్విత సమీకరణాలు ఉంటే, వాటి సాధన ఏకైకం. ఏకైక సాధన ఉండాలంటే ఎన్ని చరరాశులు ఉంటే అన్ని సమీకరణాలు ఉండాలి. అప్పుడే ఏకైక సాధన ఉంటుంది.  

పరస్పర ఆధార సమీకరణాలు 

* ఏదైనా ఒక సమీకరణాన్ని ఒక స్థిర సంఖ్యతో గుణించగా వచ్చే సమీకరణం, దత్త సమీకరణం పరస్పర ఆధార వ్యవస్థకు చెందుతాయి. పరస్పర ఆధార సమీకరణాలకు అనంత సాధనలు ఉంటాయి.

అసంగత సమీకరణాలు 

* సాధన లేని సమీకరణాలను అసంగత సమీకరణాలు అంటారు. రెండు సమీకరణాల్లో చరరాశుల గుణకాలు ఒకే నిష్పత్తిలో మారి, స్థిరపదం వేరే నిష్పత్తిలో ఉంటే ఆ సమీకరణాలకు సాధన ఉండదు. 

మాదిరి ప్రశ్నలు 

1.  మిథున్‌ పుట్టినప్పుడు అతడి తల్లి వయసు 29 సంవత్సరాలు. ఈ దత్తాంశానికి సరిపోయే సమీకరణాన్ని రాయండి. 

1) y = 29   2) x = y + 29

3) x + y = 29     4) పైవన్నీ 

2.  2x + 3y = 5; 6x + 9y = 10 అనే సమీకరణ వ్యవస్థకు ఎన్ని సాధనలు ఉంటాయి?

1) 2    2) 5    3) అనంతం    4) సాధనలు ఉండవు

3. 8x + 5y = 9, 3x + 2y = 4 సమీకరణ  వ్యవస్థను సాధించండి.

1) x = 2, y = 5     2) x = −2, y = −5

3) x = −2, y = 5    4) x = 5, y = −2

4.  x + y = 6, x − y = 4  సమీకరణ వ్యవస్థకు ఎన్ని సాధనలు ఉంటాయి?

1) సున్నా    2) 1    3) అనంతం    4) సాధన ఉండదు

5. 3x − 5y = 2, 4x + ky = 5  అనే సమీకరణ వ్యవస్థకు ఒకే ఒక సాధన ఉంటే k విలువ దేనికి సమానం కాకూడదు?

6.    14 ను సాధించండి. 

 

7. 8x + 4 = 3(x − 1) + 7 8x + 4 = 3(x − 1) + 7 ను సాధించండి.     

1) x = 1   2) x = −1   3) x = 0   4) x = 2

8.    సాధించండి. 

9.    ఒక రెండంకెల సంఖ్యలోని అంకెల భేదం 3. అంకెలను తారుమారు చేయగా వచ్చే సంఖ్యను ఆ సంఖ్యకు కలిపితే 143 వస్తుంది. అయితే ఆ సంఖ్య ఎంత?

1) 85    2) 69     3) 47    4) 36

10. లత ఒక సంఖ్యను తలచుకుని దాని నుంచి  5/2 ను తీసివేసి, వచ్చిన ఫలితాన్ని 8తో గుణించింది. వచ్చిన ఫలితం తాను తలచుకున్న సంఖ్యకు 3 రెట్లు అయితే ఆ సంఖ్య ఏది?

1) 24    2) 12     3) 36     4) 18

11. 15(y − 4) − 2(y − 9) + 5(y + 6) = 0 ను సాధించండి.

12. ఒక అకరణీయ సంఖ్య యొక్క హారం దాని లవం కంటే 8 ఎక్కువ. లవాన్ని 17 ఎక్కువ చేసి  హారాన్ని 1 తగ్గిస్తే వచ్చే సంఖ్య 3/2 అయితే ఆ అకరణీయ సంఖ్య ఎంత?

13. శ్రీకళ, వాణిల వయసులు 5 : 7 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి. నాలుగేళ్ల తర్వాత వారి వయసుల నిష్పత్తి 3 : 4. అయితే వారి ప్రస్తుత వయసులు ఎంత?

1) 20, 26    2) 20, 28    3) 18, 28    4) 22, 28

14. తాత వయసు మనవరాలి వయసుకు 10 రెట్లు. అతడు ఆమె కంటే 54 ఏళ్లు పెద్దవాడు. అయితే  మనవరాలి వయసు ఎంత?

1) 6 సంవత్సరాలు     2) 4 సంవత్సరాలు 

3) 8 సంవత్సరాలు     4) 10 సంవత్సరాలు

15. అమన్‌ వయసు అతడి కొడుకు వయసుకు 3 రెట్లు. 10 సంవత్సరాల కిందట అతడి వయసుకు 5 రెట్లు. అయితే అమన్‌కు ఎన్నేళ్లు?

1) 20 సంవత్సరాలు     2) 40 సంవత్సరాలు

3) 50 సంవత్సరాలు     4) 60 సంవత్సరాలు

16. జింకల గుంపులో సగం పొలంలో మేస్తున్నాయి,  3/4 వ వంతు ఆడుకుంటున్నాయి. మిగిలిన 9  కొలనులో నీరు తాగుతున్నాయి. అయితే గుంపులోని మొత్తం జింకలు ఎన్ని?

1) 68     2) 70     3) 72     4) 74

17. ఒక రెండంకెల సంఖ్యలోని అంకెల మొత్తం 9. అంకెలను తారుమారు చేయగా వచ్చే సంఖ్య ఆ సంఖ్య కంటే 27 ఎక్కువ. అయితే ఆ సంఖ్య ఏది?

1) 36     2) 63     3) 72     4) 27

18. ఒక రెండంకెల సంఖ్యలోని ఒక అంకె మరొక అంకెకు మూడు రెట్లు. ఈ రెండంకెల సంఖ్యలోని అంకెలను తారుమారు చేయగా వచ్చే సంఖ్యను ఆ సంఖ్యకు కలిపితే 88 వస్తుంది. అయితే ఆ సంఖ్య ఏది?

1) 26     2) 62     3) 48    4) 1, 2

19. ఒకసంఖ్య నుంచి 1/2 ను తీసివేసి, ఫలితాన్ని 1/2తో గుణిస్తే 1/8 వస్తుంది. అయితే ఆ సంఖ్య ఏది?