x² +  a² = 0,  a  R, అనే రూపంలో ఉన్న సమీకరణాన్ని, -1 యొక్క వర్గ మూలంతో సాధించవచ్చు, (లేదా)    = iగా సూచించవచ్చు.  i యొక్క పూర్ణాంక ఘాతాన్ని ఈ విధంగా రాయవచ్చు.
                                      i =    =>  i² =  -1,  i³ =  i². i. = -i.  
                    అదేవిధంగా   మొదలైనవి.
                       

        a, b ఏదైనా వాస్తవ సంఖ్యలు అయితే, వాటి సంకీర్ణసంఖ్యను a + ib అని రాయవచ్చు; z = a + ib అని అనుకుంటే 'a'ని వాస్తవ భాగమని మరియు 'b'ని కల్పిత భాగమని అంటారు. వాస్తవ భాగాన్ని Re (z)గాను, కల్పిత భాగాన్ని Im(z) గాను సూచిస్తారు.
        ఏదైనా సంకీర్ణ సంఖ్యలో Im(z) = 0 అయితే ఆ సంఖ్యను 'శుద్ధ వాస్తవ సంఖ్య' అని, Re(z) = 0 అయితే ఆ సంఖ్యని శుద్ధ కల్పిత సంఖ్య అని అంటారు.     
   సంకీర్ణ సంఖ్యల సమితిని 'C'తో సూచిస్తారు. ప్రతీ వాస్తవ సంఖ్యను z = a + 0i  రూపంలో రాయవచ్చు కాబట్టి RC.
 

ఏదైనా రెండు సంకీర్ణ సంఖ్యల్లో వాస్తవ భాగాలు మరియు కల్పిత భాగాలు సమానమైతే, ఆ సంకీర్ణ సంఖ్యలు సమానం అవుతాయి.

*   సంకీర్ణ సంఖ్యల గుణకం స్థిత్యంతర ధర్మాన్ని పాటిస్తుంది.
*   సంకీర్ణ సంఖ్యల గుణకం సహచర ధర్మాన్ని పాటిస్తుంది.
*   గుణకార పద్ధతిలో'1' అనేది సంకీర్ణ సంఖ్యల యొక్క 'సర్వసమ మూలకం' అవుతుంది. అంటే '1' సంకీర్ణ సంఖ్యల 'గుణతత్సమరాశి'.  z = a + ib   అయినచో  గుణన విలోమము
*  సంకీర్ణ సంఖ్యల గుణకం విభాగ న్యాయాన్ని పాటిస్తుంది.
4.  సంకీర్ణ సంఖ్యల భాగాహార పద్ధతిలో, ఒక సంకీర్ణ సంఖ్యను ఆ సంఖ్య యొక్క గుణన విలోమంతో గుణించాలి.
             
5.   z = a + ib అయితే = a - ib అనేది సంకీర్ణ సంఖ్య యొక్క 'సంయుగ్మ సంకీర్ణ సంఖ్య' అవుతుంది.

ధర్మాలు: 
       
         
      
6. సంకీర్ణ సంఖ్యామాపాన్ని ఈ కింది విధంగా రాయవచ్చు. అయిన 
       
7.  సంకీర్ణ సంఖ్యల యొక్క వర్గమూలాన్ని కింది విధంగా కనుక్కోవచ్చు.
         

సంకీర్ణ సంఖ్యల రేఖాపట నిరూపణ  
       సంకీర్ణ సంఖ్యలను, సంకీర్ణ తలంపై నిరూపించవచ్చు. Xను వాస్తవ అక్షమని, Yని కల్పిత అక్షమని అనుకోవచ్చు. సంకీర్ణ సంఖ్య యొక్క మాపం, ఆ బిందువు మరియు మూల బిందువు దూరానికి సమానం. 
       
                   
    ''ను zకు ఆయామం అంటారు. θ    [- ,  )  ,  z యొక్క ప్రధాన ఆయామం  యొక్క ఆయామం -  అవుతుంది.
*  నిరూపక అక్షాలపైలేని బిందువు మొదటి లేదా రెండవ పాదంలో ధన సంఖ్యగాను మరియు మూడు లేదా నాల్గవ పాదంలో రుణాత్మక సంఖ్యగాను ఉంటుంది.     
                       z = a + ib = r (cos θ + i sinθ ) ని మాప-ఆయమరూపం అని అంటారు.
                            z = r (cosθ  + i sin θ),  r = 1
                                        z = cosθ  + i sinθ
                           cosθ  + i sinθ   =  cis  = e^iθ 
           z₁ = r₁ cis(θ₁)  మరియు  z₂ = r₂cis (θ₂) అయినచో   z₁. z₂ = r₁r₂ cis (θ₁ + θ₂),