నిర్వచనం:  n ఏదైనా ఒక పూర్ణాంకమయితే (cosθ+i sinθ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ ను డీమాయర్ సిద్ధాంతం అంటారు.

భావనాత్మక సిద్ధాంతం

1. డీమాయర్ సిద్ధాంతం నిర్వచనం, నిరూపణ :
     నిర్వచనం :  n ఏదైనా ఒక పూర్ణాంకమయితే (cosθ+i sinθ)n = cos nθ + i sin nθ .
    నిరూపణ : సందర్భం  (i) : 'n' ఒక ధన పూర్ణాంకం అనుకుందాం.గణితానుగమనాన్ని ఉపయోగించి నిరూపిద్దాం.
    p(n) = {nN / (cosθ + i sinθ)n = cos nθ + i sin nθ}
         n = 1 ను ప్రతిక్షేపించగా
 (cosθ + i sinθ)1 = cos (1)θ + i sin (1)θ
 cosθ + i sinθ = cosθ + i sinθ
 n = 1 అయినప్పుడు ఇచ్చిన ప్రతిపాదన  నిజం.
 n = k  ను ప్రతిక్షేపించగా
 (cosθ + i sinθ)k = cos kθ + i sin kθ
    n = k అయినప్పుడు ఇచ్చిన ప్రతిపాదన  నిజం అనుకుందాం.
 

ఇప్పుడు  n = k + 1అయినప్పుడు ఇచ్చిన ప్రతిపాదన  నిజమని నిరూపిద్దాం
 (cosθ + i sinθ)^k+1 = (cosθ + i sinθ)^k (cosθ + i sinθ)
 (cosθ + i sinθ)^k+1 = (cos kθ + i sin kθ) (cosθ + i sinθ)
 (cosθ + i sinθ)^k+1 = cos kθ cosθ + i cos kθ sinθ + i sin kθ cosθ − sin kθ sin θ
 (cosθ + i sinθ)^k+1 = (cos kθ cos θ − sin kθ sin θ) + i (sin kθ cos θ + cos kθ sin θ)
 (cos θ + i sin θ)^k+1 = cos (kθ + θ) + i sin(kθ + θ)
 (cos θ + i sin θ)^k+1 = cos (k+1)θ + i sin(k+1)θ
    n = k+1 అయినప్పుడు ఇచ్చిన ప్రతిపాదన  నిజం
  కాబట్టి , n  N కు p (n) నిజం
  (cosθ + i sinθ)n = cos nθ + i sin nθ
  సందర్భం(ii): 'n'  ఒక  రుణ పూర్ణాంకం   అనుకుందాం.
  n = −m  అనుకుందాం.  ఇక్కడ  'm'  ఒక  ధన పూర్ణాంకం.
  (cosθ + i sinθ)ⁿ = (cosθ + i sinθ)^−m
  
    

  (cosθ + i sinθ)ⁿ = cos mθ − i sin mθ
  (cosθ + i sinθ)ⁿ = cos (−m)θ + i sin(−m)θ
        (cosθ + i sinθ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ 

సందర్భం (iii):    n=0 అనుకుందాం
            (cosθ + i sinθ)ⁿ = (cosθ + i sinθ)0
                                       = cos 0 + i sin 0
                                       = 1
                                       = cos (0)θ + i sin (0)θ
      (cosθ + i sinθ)n = cos nθ + i sin nθ
       (i), (ii) మరియు (iii) సందర్భాల  నుంచి
            (cosθ + i sinθ) = cos nθ + i sin nθ
గమనిక  (1):   (cos nθ + i sin nθ) (cos nθ − i sin nθ) = 1 అని తెలుసు             
        

 గమనిక (2):  (cosθ + i sinθ)⁻ⁿ = cos (−n)θ + i sin (−n)θ
                      (cosθ + i sinθ)⁻ⁿ = cos nθ − i sin nθ
 గమనిక (3):  (cosθ − i sinθ)ⁿ = [cosθ + i (−sinθ)]ⁿ
                      = [cos (−θ) + i sin (−θ)]ⁿ
                      = cos (−nθ) + i sin (−nθ)
                      (cosθ − i sinθ)n = cos nθ − i sin nθ
 గమనిక (4):  z = (cosθ₁ + i sinθ₁)  (cosθ₂ + i sinθ₂)  ........  (cosθ_n + i sinθ_n)  అయితే
       అప్పుడు   z = cos (θ₁ + θ₂ + ........ + θ_n) + i sin (θ₁ + θ₂ + ...... + θ_n)

 గమనిక (5):  z = r  (cosθ + i sinθ)  మరియు  'n'  ఒక  ధనపూర్ణాంకం  అయితే ,  అప్పుడు
         
                ఇక్కడ k = 0, 1, 2 ....... (n−1)

ఒకటి యొక్క ఘనమూలాలు
   x³ = 1 అనే సమీకరణం 3 మూలాలను కలిగి  ఉంటుంది. అవే ఒకటి యొక్క ఘనమూలాలు.
                            x³ = 1        x³ − 1 = 0
                            (x−1) (x² + x + 1) = 0
                  
              రెండో మూలాన్ని ω తో సూచిస్తే అప్పుడు మూడో  మూలం  ω² అవుతుంది.
                     ...  ఒకటి యొక్క ఘనమూలాలు: 1, ω, ω²
  ధర్మాలు:   (1) 1+ ω + ω² = 0
                   (2) ω³ = 1
                   (3) ω³ⁿ = 1
                          ω³ⁿ⁺¹ = ω
                          ω³ⁿ⁺² = ω²
   eg:           ω²⁰¹¹ = ω³ × 670 +1 = ω
                    ω²⁰¹² = ω³ × 670 +2 = ω²
                     ω²⁰¹³ = ω³ × 671 = 1 
                         (4)   = ω² , ()²  = ω

ఒకటి యొక్క nవ మూలలు
   xⁿ = 1 అనే సమీకరంణం n  మూలాలు కలిగి ఉంటుంది. అవే ఒకటి యొక్క  nవ మూలాలు.  
   xⁿ = 1
   xⁿ = cos 0 + i sin 0
   xⁿ = cos (2kπ + 0) + i sin (2kπ + 0)
   x = (cos 2kπ + i sin 2kπ)^1/n
   x = cos  + i sin

 ; k = 0, 1, 2 ..... n−1
   α = cos  + i sin  అనుకుందాం.
అప్పుడు ఒకటి యొక్క nవ  మూలాలు
            α^s (s = 0, 1, 2, ........ n−1)
అంటే  α⁰, α¹, α², .... α^n-1అనేవి ఒకటి యొక్క nవ మూలాలు అవుతాయి.అవి గుణశ్రేణిలో ఉంటాయి.
          
            ఒకటి యొక్క n మూలాల మొత్తం = 0