3. (-1  +  i ) ³ⁿ  +  (-1  -  i ) ³ⁿ  =  (-1)³ⁿ 2³ⁿ⁺¹ cos nπ అని చూపండి.

జ:  L.H.S   =   (-1  +  i ) ³ⁿ  +  (-1  -  i

) ³ⁿ

                    =   [-1 (1 - i )] ³ⁿ  +  [-1 (1  +  i )] ³ⁿ

                    =   (-1)³ⁿ [(1  -  i) ³ⁿ  +  (1  +  i )³ⁿ]

1  +  i  యొక్క మాప - ఆయామ రూపం కనుక్కుందాం.

      1  +  i

  =  x   +   iy అనుకుందాం.

   x  =  1          y  =

4.  'n'   అనేది ఒక ధనపూర్ణాంకమైతే  

      

జ:   p + iq = r (cosθ + i sinθ) అనుకుందాం.

    అప్పుడు,   r cosθ  =  p ....... (1)     r sinθ  =  q ....... (2)

(1)² + (2)²

  ⇒ r ² cos²θ  +  r ² sin²θ  =  p²  +  q²

  ⇒ r ²  =  p²  +  q²

                                     
 

9. cos α  +  cos β  +  cos γ  =  0  =  sin α  +  sin β  +  sin γ అయితే 

i.   cos 3α  +  cos 3β  +  cos 3 γ  =  3 cos(α  +  β  +  γ)
ii.   sin 3α  +  sin 3β  +  sin 3γ  =  3 sin(α  +  β  + γ)  అని చూపండి.
సాధన :  ఇచ్చినది: cos α  +  cos β  +  cos γ  =  0  =  sin α  +  sin β  +  sin γ   .................(1) 
 a = cos α + i sin α = cis α
 b = cos β + i sin β = cis β
 c = cos γ + i sin γ = cis γ అనుకుందాం.
ఇప్పుడు , a + b + c = (cos α + i sin α) + (cos β + i sin β) + (cos γ + i sin γ)
   a + b + c = (cos α  +  cos β  +  cos γ) + i (sin α  +  sin β  +  sin γ)
   a + b + c = 0 + i(0)                                        [    (1) నుంచి]
   a + b + c = 0
   a³  +  b³  +  c³ = 3abc
  (cos α  +  i sin α)³  +  (cos β  +  i sin β)³  +  (cos γ  +  i sin γ)³  =  3  cis α  cis β  cis γ
  (cos 3α  +  i sin 3α)  +  (cos 3β  +  i sin 3β)  + (cos 3γ  +  i sin 3γ)  =  3 cis (α  +  β  + γ )
  (cos 3α  +  cos 3β  +  cos 3γ)  +  i(sin 3α  +  sin 3β  +  sin 3γ)  =  3[cos (α  +  β  +  γ) 
+  i sin  (α  +  β  +  γ)]
 ఇరువైపులా వాస్తవ, కల్పిత భాగాలను పోల్చగా
i.   cos 3α  +  cos 3β  +  cos 3γ  =  3 cos (α  +  β  +  γ)
ii.  sin 3α  +  sin 3β  +  sin 3γ   =  3 sin(α  +  β  +  γ)
10. cos α  +  cos β  +  cos γ  =  0  =  sin α  +  sin β  +  sin γ అయితే 
i.  cos² α  +  cos² β  +  cos² γ  =  3/2
ii.  sin² α  +  sin² β  +  sin² γ  =  2/3 అని చూపండి.
సాధన : ఇచ్చినది : cos α  +  cos β  +  cos γ  =  0  =  sin α  +  sin β  +  sin γ  ........  (1)

  a   =  cos α  +  i sin α     =  cos α  -  i sin α 
         b   =  cos β  +  i sin β      =  cos β  -  i sin β 
         c    =  cos γ  +  i sin γ     =  cos γ  -  i sin γ  అనుకుందాం.
        a  +  b  +  c  =  0 అని మనకు తెలుసు.
(a  +  b  +  c)²  =  0
   a²  +  b²  +  c²  +  2ab  +  2bc  +  2ca  =  0
   a²  +  b²  +  c²  =  - 2ab  -  2bc  -  2ca
   a²  +  b²  +  c²  =  -2abc  [1/c + 1/a + 1/b]
   (cos α  +  i sin α)²  +  (cos β  +  i sin β)²  +  (cos γ  +  i sin γ)2
= -2abc [(cos γ - i sin γ)  +  (cos α   - i sin α)  +  (cos β  -  i sin β)]
   (cos 2α  +  i sin 2α)  +  (cos 2β  +  i sin 2β)  +  (cos 2γ  +  i sin 2γ)
= -2abc [(cos α  +  cos β  +  cos γ)  -  i(sin α  +  sin β  +  sin γ)]
   (cos 2α  +  cos 2β  +  cos 2γ)  +  i(sin 2α  +  sin 2β  +  sin 2γ)
=  -2abc [0  -  i (0)]              [     (1) నుంచి]
  (cos 2α  +  cos 2β  +  cos 2γ)  +  i(sin 2α  +  sin 2β  +  sin 2γ)  =  0  =  0  +  i (0)
  ఇరువైపులా వాస్తవ భాగాలను సమానం చేయగా

cos ²α  +  cos ²β  +  cos ²γ  =  0
⇒  2cos² α  -  1  +  2cos² β  -  1  +  2cos² γ  -  1  =  0
⇒  2(cos² α  +  cos² β  +  cos² γ)  =  3
⇒ (i)  cos² α  +  cos² β  +  cos² γ  =  3/2
⇒  1 - sin² α  +  1 - sin² β  +  1 - sin² γ  =  3/2
⇒  sin² α  +  sin² β  +  sin² γ  =  3 - 3/2
⇒  (ii) sin² α + sin² β + sin² γ  =  3/2
11. α, βలు  x² - 2x + 4 = 0 అనే సమీకరణం యొక్క మూలాలయితే  αⁿ  +  βⁿ  =  2ⁿ⁺¹ cos nπ/3 అని నిరూపించండి.
సాధన : ఇచ్చిన సమీకరణం  : x²  -  2x  +  4  =  0

(ii)  ⇒  ab  =  cis α . cis β
       ⇒  ab  =  cis (α  +  β)
       ⇒  ab  = cos (α  +  β)  +  i sin (α  +  β)

 

15. z = cos θ + i sin θ,  అయితే    ^{అని చూపండి.}

 

 ఇదేవిధంగా,  y  =  cos β  ±  i sin β
మరియు   z  =  cos γ  ±  i sin γ
xyz  =  (cos α  ±  i sin α) (cos β  ±  i sin β) (cos γ  ±  i sin γ)
   xyz  =  cis (α  ±  β  ±  γ)
   xyz  =  cos (α  ±  β  ±  γ)  +  i sin (α  ±  β  ±  γ)  .................... (1)

17.  x¹¹  −  x⁷  +  x⁴  −  1  =  0 అనే సమీకరణాన్ని సాధించండి. 
జ:    ఇచ్చినది : x¹¹  −  x⁷  +  x⁴  −  1  =  0
   x⁷(x⁴  −  1)  +  1(x⁴  −  1)  =  0
   (x⁴  −  1) (x⁷  +  1)  =  0 
  సందర్భం   (i)  : x⁴  −  1  =  0
   x⁴  =  1