ముఖ్యమైన ప్రశ్నలు
రెండు మార్కుల ప్రశ్నలు:
1. x4-3x3+7x2+5x-2 = 0 సమీకరణ మూలాల వ్యుత్ర్కమాలు మూలాలుగా ఉన్న బహుపది సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన: f(x) = x4-3x3+7x2+5x-2 అనుకుందాం.
కావాల్సిన సమీకరణం x4 f (
)= 0
⇒ x4 [()4 - 3 ()3 + 7 ()2 + 5 ()-2] = 0
⇒ 1 - 3x + 7x2 + 5x3 - 2x4 = 0 లేదా 2x4 - 5x3 - 7x2 + 3x - 1 = 0
2. x3 + 3px2 + 3qx + r = 0 సమీకరణపు మూలాలు గుణశ్రేఢిలో ఉండటానికి నియమం కనుక్కోండి.
సాధన: దత్త సమీకరణ మూలాలు గుణశ్రేఢిలో ఉన్నాయి.
కాబట్టి మూలాలు 
, a, ar అనుకోండి.
సమీకరణం నుంచి (), (a), (ar) = - r
a3 = -r ⇒ a = (-r)1/3
'a' దత్త సమీకరణం మూలం కాబట్టి a3 + 3pa2 + 3qa + r = 0
⇒ p3 r = q కావలసిన నియమం.
3. x3 - 10x2 + 6x - 8 = 0 సమీకరణపు మూలాలు α, β, γ లు అయితే α2 + β2 + γ2విలువ కనుక్కోండి.
సాధన: దత్త సమీకరణం నుంచి α + β + γ = 10
αβ + βγ + γα = 6
αβγ = 8
α2 + β2 + γ2 = (α + β + γ)2 - 2 (αβ + βγ + γα)
= (10)2 - 2(6)
= 100 - 12
= 88
4. x3 - 2x2 - 5x + 6 = 0 సమీకరణపు మూలాలు α, β, 1 అయితే α, β ల విలువలు కనుక్కోండి.
సాధన: దత్త సమీకరణం మూలాలు α, β, 1 కాబట్టి
α + β + 1 = 2 ⇒ α + β = 1
(α) (β) (1) = - 6 ⇒ αβ = - 6
(α - β)2 = (α + β)2 - 4 αβ
= 1 + 24
= 25
(α - β) = 5 & α + β = 1
⇒ α = 3, β = - 2 లేదా α = - 2, β = 3
5. x3 - 2x2 + ax + 6 = 0 సమీకరణపు మూలాలు 1, -2, 3 అయితే 'a' విలువ కనుక్కోండి.
సాధన: x3 - 2x2 + ax + 6 = 0 మూలాలు 1, -2, 3.
దత్త సమీకరణం మూలాలు α, β, γ లు అయితే
αβ + βγ + γα = a
⇒ (1) (-2) + (-2) (3) + (3) (1) = a
⇒ a = - 5
6. x3 + 2x2 - 4x + 1 = 0 సమీకరణం మూలాలకు 3 రెట్లున్న మూలాలు గల బీజీయ సమీకరణాన్ని కనుక్కోండి.
సాధన: దత్త సమీకరణాన్ని f(x) = 0 అనుకోండి.
కావలసిన సమీకరణం f(x/3) = 0
7. 1 + 5 i, 5 - i మూలాలుగా గల అకరణీయ గుణకాలు గల బహుపది సమీకరణాన్ని రూపొందించండి.
సాధన: 1 + 5 i, 5 - i కావలసిన సమీకరణపు మూలాలు
కాబట్టి 1 - 5 i, 5 + i లు కూడా ఆ సమీకరణపు మూలాలవుతాయి.
కావలసిన సమీకరణం
(x - (1 + 5i)) (x - (5 - i)) (x - (1 - 5i)) (x - (5 + i)) = 0
⇒ (x - 1 - 5i) (x - 1 + 5i) (x - 5 + i) (x - 5 - i) = 0
⇒ ((x - 1)2 - (5i)2) ((x - 5)2 - i2) = 0
⇒ (x2 - 2x + 1 + 25) (x2 - 10x + 25 + 1) = 0
⇒ (x2 - 2x + 26) (x2 - 10x + 26) = 0
⇒ x4 - 12x3 + 72x2 - 312 x + 676 = 0
ఏడు మార్కుల ప్రశ్నలు:
1) x4 + 4x3 - 2x2-12x + 9 = 0 సమీకరణానికి రెండు జతల సమాన మూలాలు ఉంటే, సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన: దత్త సమీకరణం మూలాలు α, α, β, β అనుకుందాం.
మూలాల మొత్తం 2 (α + β) = - 4 ⇒ α + β = - 2
మూలాల లబ్ధం α2β2 = 9 ⇒ (αβ)2 = 9
⇒ αβ = ± 3
αβ = - 3
... α - β = 4 & α + β = - 2
⇒ 2 α = 2 ⇒ α = 1 & β = - 3
... దత్త సమీకరణపు మూలాలు 1, - 1, - 3, - 3.
2. x4 + x3 - 16x2 - 4x + 48 = 0 సమీకరణం రెండు మూలాల లబ్ధం 6 అయితే, సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన: దత్త సమీకరణపు మూలాలు α, β, γ, δ అనుకోండి.
α β = 6 అనుకోండి. ---------------- (1)
దత్త సమీకరణం నుండి α + β + γ + δ = - 1 ---------------- (2)
α β + α γ + αδ + βγ + βδ + γδ = - 16 --------------- (3)
αβγ + βγδ + γδα + δαβ = 4 --------------- (4)
αβγδ = 48 --------------- (5)
(1) & (5) నుంచి γδ = 8 --------------------------- (6)
(3) లో αβ = 6, γδ = 8 ప్రతిక్షేపించగా
(α + β) (γ + δ) = - 16 - 8 - 6
(α + β) (γ + δ) = - 30 ---------------------------- (7)
(1) & (7) ల నుండి
[(α + β) - (γ + δ)]2 = [(α + β) + (γ + δ)]2 - 4 (α + β) (γ + δ)
= (- 1) 2 - 4 ( -30)
= 1 + 120
= 121
(α + β) - (γ + δ) = ± 11
ఇప్పుడు (α + β) - (γ + δ) = 11 , (α + β) + (γ + δ) = - 1
⇒ 2 (α + β) = 10 ⇒ α + β = 5 & γ + δ = - 6
... దత్త సమీకరణపు మూలాలు - 4, - 2, 2, 3
3. 18x3 + 81x2 + 121x + 60 = 0 సమీకరణం ఒక మూలం మిగిలిన రెండు మూలాల మొత్తంలో సగమైతే, సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన: దత్త సమీకరణం 18x3 + 81x2 + 121x + 60 = 0
4. మూలాలు హరాత్మక శ్రేఢిలో ఉంటే 6x3 - 11x2 + 6x - 1 = 0 సమీకరణాన్ని సాధించండి.
సాధన: f(x) = 6x3 - 11x2 + 6x - 1 అనుకోండి.
f(x) = 0 మూలాలు హరాత్మక శ్రేఢిలో ఉన్నాయి, కాబట్టి
f() = 0 మూలాలు అంక శ్రేఢిలో ఉంటాయి.
f() = 0 ⇒ 
⇒ x3 - 6x2 + 11x - 6 = 0 ---------------- (1)
(1) మూలాలు a - d, a, a + d లు అనుకోండి.
(1) నుండి a - d + a + a + d = 6 ⇒ a = 2 -------- (2)
(a - d) a + a (a + d) + (a - d) (a + d) = 11 -------- (3)
(a - d) (a) (a + d) = 6 --------------------- (4)
a = 2 ను (4) లో ప్రతిక్షేపించగా
(2 - d) (2) (2 + d) = 6
⇒ 4 - d2 = 3 ⇒ d2 = 1 ⇒ d = ± 1
... (1) మూలాలు 1, 2, 3
... దత్త సమీకరణపు మూలాలు 
